《无理数的大小比较及估算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《无理数的大小比较及估算（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、解题方法 20 无理数的大小比较及估算 江苏省宝应县画川中学 朱月丹 自从 “第一次数学危机”,即古希腊人希伯索斯发现了无理数 以来,人们对无理数的探究就从来没有停止过.而比较两个无理数 的大小,则是其中重要内容之一.无理数是无限不循环小数,所以 无法直接写出某个无理数,人们想到了用符号准确地表示一个无 理数,如:,2等等,但这给比较它们的大小带来了一定的困难. 那么,究竟如何比较两个无理数的大小呢?要比较两个无理数的 大小,首先应明确以前学过的有理数大小比较方法对于实数也适 用,即: (1)借助数轴:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的 数大; (2)根据数的符号性质:正数大于零和一切负
2、数,零大于一 切负数;两个正数相比较,绝对值大的较大;两个负数相比 较,往往先求其绝对值,其中绝对值大的反而小. 其次,对于无理数常用的比较方法还有:用近似值代替无理数 进行比较,或根据被开方数的大小确定一些无理数的大小. 下面以两个正无理数的大小比较为例,介绍一些常用的比较 方法. 1.两个含有根号的无理数,若根指数相同,则被开方数大的这 个数就大. 例1 比较32与23的大小. 分析 此题看似不能直接比较,但若将根号外的数平方 后移入根号,问题就迎刃而解了. 解 32 =322 =18, 23 =223 =12, 而18 12,32 23. 解题方法 21 2.关联不大的无理数可借助计算器
3、(机 ) , 用其近似值加以 比较. 例2 比较 22 3 与 2 的大小. 分析 此题显然不能通过比较被开方数的大小来解决, 我们可以用计算器求出其近似值加以比较. 解 22 3 1.563 472, 2 1.570 796 33, 而1.563 472 11+10,故 1 12+11 0,1 -a2 0, a3-a5 0,即a3a5. 同理可得,当a=3 - 1时, a3a5. 请思考:当a=2 -3时,结论如何?此题如果改成:设a= 2 - 1,试比较a2+ 2a+ 3与4a+ 2的大小,你能解决吗? 上题中无理数的大小比较用到了对无理数范围的估计.新课 程提高了对同学们估算能力的要求,
4、因为在不少情况下,并不需要 知道其准确值.在涉及无理数的有关问题中尤为明显. 例6 估计 5 - 1 2 与0.5哪个大. 解题方法 23 分析 将0.5写成 1 2 ,故本题实际只需估计5 - 1与1 哪个大,而2 0.5. 在这里估计2 5 3是关键.请利用本题的思想解答: 已知10的整数部分为a,小数部分为b,试比较a+b与a-b 的大小. 其实,这种用 “夹逼” 的思想估计无理数大小的方法,其本质是 利用了开平方与平方是互为逆运算的原理. 请尝试解答下列问题: 不用计算器解答: 下列各数最接近13.95的是( ) . A.3.5B. 3.6C. 3.7D. 3.8 (上接第16页) 解
5、 设RtAB C的三边B C , CA , AB的长分别为a , b, c,则c2=a2+b2. (1 ) S 1=S2+S3. (2 ) S 1=S2+S3.证明如下: 由于三个正三角形相似,故S2 S1 = b2 c2 , S3 S1 = a2 c2 ,所以 S2+ S3 S1 = a2+ b2 c2 =1,即S1= S2+ S3. (3)当所作的三个三角形相似时, S1=S2+S3,证明同(2) . (答 案不惟一,请自己思考 . ) (4)分别以RtAB C三边为一边向外作相似图形,其面积分 别用S1, S2, S3表示,则S1=S2+S3. 评注 例4为探索从特殊到一般的方法的开放性题.解 题的关键是要类比特殊情况下的分析与解题方法,使之运用到一 般情形中去.(本文特约编辑:胡鸿斌)
