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1、9.9 曲线与方程一、填空题1方程(xy)2(xy1)20表示的是_解析(xy)2(xy1)20或故此方程表示两个点答案两个点2方程|y|1表示的曲线是_解析原方程等价于或答案两个半圆3. 动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为_解析 考查抛物线定义及标准方程,知P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线,p=2,所以其方程为. 答案 4设P为圆x2y21上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，若(其中为正常数)，则点M的轨迹为_解析设M(x，y)，P(x0，y0)，则Q(x0,0)，由得(0)，由于x20y201，x2(1)2y21，M的轨迹为椭圆答案椭圆5
2、.设P为双曲线上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是 . 解析 设M(x,y),则P(2x,2y)代入双曲线方程即得. 答案 6如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是_解析由条件知PMPF.POPFPOPMOMROF.P点的轨迹是以O、F为焦点的椭圆答案椭圆7若ABC的顶点A(5,0)、B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是_解析如图ADAE8，BFBE2，CDCF，所以CACB826.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实
3、轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x3)答案1(x3)8对于曲线C：1，给出下面四个命题：曲线C不可能表示椭圆；当1k4时，曲线C表示椭圆；若曲线C表示双曲线，则k1或k4；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1k.其中所有正确命题的序号为_解析 根据椭圆和双曲线的定义，可得当即时，表示椭圆；当k4时，表示双曲线答案 9在ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C(a0)，且满足条件sin Csin Bsin A，则动点A的轨迹方程是_解析由正弦定理得，ABACBC，由双曲线的定义知动点A的轨迹为双曲线右支答案1(x0且y0)10已知P是椭圆1(ab0)上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为
4、坐标原点，则动点Q的轨迹方程是_解析由，又22，设Q(x，y)，则(x，y)，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有1，即1(ab0)答案1(ab0)11已知两条直线l1：2x3y20和l2：3x2y30，有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2都相交，且l1、l2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是_解析设动圆的圆心为M(x，y)，半径为r，点M到直线l1，l2的距离分别为d1和d2.由弦心距、半径、半弦长间的关系得，即消去r得动点M满足的几何关系为d22d2125，即25.化简得(x1)2y265.此即为所求的动圆圆心M的轨迹方程答案(x1)2y26512直线1与x、y轴交点的中
5、点的轨迹方程是_解析(参数法)设直线1与x、y轴交点为A(a,0)、B(0,2a)，A、B中点为M(x，y)，则x，y1，消去a，得xy1，a0，a2，x0，x1.答案xy1(x0，x1)13到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是_解析在边长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，DC与A1D1是两条相互垂直的异面直线，平面ABCD过直线DC且平行于A1D1，以D为原点，分别以DA、DC为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设点P(x，y)在平面ABCD内且到A1D1与DC之间的距离相等，|x|，x2y2a2，故该轨迹为双曲线答案双曲线二、解答题14
6、.求过直线x-2y+4=0和圆1=0的交点,且满足下列条件之一的圆的方程: (1)过原点; (2)有最小面积. 解析 设所求圆的方程是+4)=0, 即. (1)因为圆过原点,所以即. 故所求圆的方程为. (2)将圆系方程化为标准式,有: . 当其半径最小时,圆的面积最小,此时为所求. 故满足条件的圆的方程是. 点评:(1)直线和圆相交问题,这里应用了曲线系方程,这种解法比较方便;当然也可以用待定系数法.(2)面积最小时即圆半径最小;也可用几何意义,即直线与相交弦为直径时圆面积最小. 15如图，椭圆C：1的右顶点是A，上、下两个顶点分别为B、D，四边形OAMB是矩形(O为坐标原点)，点E、P分别
7、是线段OA、AM的中点(1)求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上；(2)过点B的直线l1，l2与椭圆C分别交于点R、S(不同于点B)，且它们的斜率k1，k2满足k1k2，求证：直线RS过定点，并求出此定点的坐标解析(1)由题意，得A(4,0)，B(0,2)，D(0，2)，E(2,0)，P(4,1)所以直线DE的方程为yx2，直线BP的方程为yx2.解方程组得所以直线DE与直线BP的交点坐标为.因为1，所以点在椭圆1上即直线DE与直线BP的交点在椭圆C上(2)设直线BR的方程为yk1x2.解方程组得或所以点R的坐标为.因为k1k2，所以直线BS的斜率k2.直线BS的方程为yx2.解方程组得或
8、所以点S的坐标为.所以点R，S关于坐标原点O对称故R，O，S三点共线，即直线RS过定点O.16已知圆O：x2y22交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F.若点P是圆O上的一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(1,1)，求证：直线PQ与圆O相切；(3)试探究：当点P在圆O上运动时(不与点A、B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由解析(1)因为a，e，所以c1.则b1，即椭圆C的标准方程为y21.(2)因为P(1,1)，所以kPF，所以kOQ2，所以直
9、线OQ的方程为y2x.又椭圆的左准线方程为x2，所以点Q(2,4)所以kPQ1.又kOP1，所以kOPkPQ1，即OPPQ，故直线PQ与圆O相切(3)当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆O保持相切证明如下：设P(x0，y0)(x00，1)，则y2x，所以kPF，kOQ.所以直线OQ的方程为yx.所以点Q.所以kPQ，又kOP，所以kOPkPQ1，即OPPQ，故直线PQ始终与圆O相切17如图，在直角坐标系中，A、B、C三点在x轴上，原点O和点B分别是线段AB和AC的中点，已知AOm(m为常数)，平面的点P满足PAPB6m.(1)试求点P的轨迹C1的方程；(2)若点(x，y)在曲线C1上，求证：点一
10、定在某圆C2上；(3)过点C作直线l与圆C2相交于M、N两点，若点N恰好是线段CM的中点，试求直线l的方程解析(1)由题意可得点P的轨迹C1是以A、B为焦点的椭圆，且半焦距长cm，长半轴长a3m，则C1的方程为1.(2)若点(x，y)在曲线C1上，则1.设x0，y0，则x3x0，y2y0.代入1，得xym2，所以点一定在某一圆C2上(3)由题意，得C(3m,0)设M(x1，y1)，则xym2.因为点N恰好是线段CM的中点，所以N.代入C2的方程得22m2.联立，解得x1m，y10.故直线l有且只有一条，方程为y0.18在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(4,0)，B(4,0)，动点P与点A、
11、B连线的斜率之积为.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为r.求圆M的方程；当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，请说明理由解析(1)设P(x，y)，则直线PA、PB的斜率分别为k1，k2.由题意，知，即1(x4)所以动点P的轨迹方程是1(x4)(2)由题意，得C(0，2)，A(4,0)，所以线段AC的垂直平分线方程为y2x3.设M(a,2a3)(a0)，则M的方程为(xa)2(y2a3)2r2.圆心M到y轴的距离da，由r2d22，得a.所以M的方程为2(yr3)2r2.假设存在定直线l与动圆M均相切当定直线的斜率不存在时，不合题意设直线lykxb，则r对任意r0恒成立由r，得2r2(k2)(b3)r(b3)2(1k2)r2.所以解得或所以存在两条直线y3和4x3y90与动圆M均相切
