《1997-09,13华东师大高等代数考研真题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1997-09,13华东师大高等代数考研真题（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 华东师范大学 1997 年攻读硕士学位研究生入学试题 一.（10 分）计算下列行列式： 1122 222 1122 111 1122 11.1 (1)(1).(1) (1)(1).(1) (1)(1).(1) nn nn nnn nn x xx xx x x xx xx x xxxxxx MMM 二.（15 分）设 5200 2000 0052 0022 A = ，求正交矩阵 T，使 1 T ATTAT =为对角形 矩阵，并写出这个对角形矩阵. 三.(15 分)设是复矩阵. 1.求出 A 的一切可能的 Jordan 标准形； 2.给出 A 可对角化的一个充要条件. 200 20 1 Aa b
2、c = 四.(15 分)已知 3 阶实数矩阵() ij Aa=满足条件( ,1,2,3) ijij aA i j=， 其中 ij A是 的代数余子式，且，求：1. ij a 33 1a= A 2.方程组的解. 1 2 3 0 0 1 x A x x = 五.（15 分）证明：一个非零复数是某一有理系数非零多项式的根存在一 个有理系数多项式 ( )f x使得 1 ( ).f = 六.（15 分）设 A 是 n 阶反对称阵。证明： 1.当n为奇数时|A|=0.当n为偶数时|A|是一实数的完全平方; 2.A的秩为偶数 . 七.（15 分）设 V 是有限维欧氏空间.内积记为( ,) .又设是 V 的一
3、个正交变 换。记 12 |,|VVV =V，求证： 1.是 v 的子空间; 2. 12 ,V V 12. VVV= 八.（15 分）设 n 阶实数方阵的特征值全是实数且 A 的所有 1 阶主子式之和为 0， 2 阶主子式之和也为 0.求证：0 n A = 九.（15 分）设 A，B 均是正定矩阵，证明： 1 .方程0AB=的根均大于 0； 2 .方程0AB=所有根等于 1A=B. 1 华东师范大学 1998 年攻读硕士学位研究生入学试题 一.（10 分）计算下列行列式: 13 13 13 2222.222 3333.336 . nn nn nn nnnnnnnn MMMM 2 二 .(10分
4、) 证 明 ： 方 程 组的 解 全 是 方 程 的解的充分必要条件是： 11 11221 21 12222 1 122 .0 .0(1) .0 nn nn sssnn a xa xa x a xa xa x a xa xa x += += += 1 122 .0(2) nn b xb xb x+= 12 ( ,.,) n b bb=可由向量组 12 ,., s 线性表示，其中 12 (,.,)(1,2,., ). iiiin is= 三（15 分）设 32 ( )f xxaxbxc=+是整系数多项式，证明：若 ac+bc 为奇数， 则 f(x)在有理数域上不可约. 四（15 分）设 A 是非
5、奇异实对称矩阵，B 是反对称实方阵。且 AB=BA。证明：A+B 必是非奇异的。 五（15 分）A 为阶方阵，n( ) |fEA=是 A 的特殊多项式。并令 ( ) ( ), ( ( ), ( ) f g ff = （ ( )f称为( )f的一阶微商） 。证明：A 与一个对角矩阵相似 的充要条件是 ( )0.g A = 六（15 分）假设 A 是维欧氏空间 V 的线性变换，n * 是同一空间 V 的变换。且 对,V 有 * (, )( ,). =证明： 1 * 是线性变换。 2 的核等于 的值域的正交补。 * 七（15 分）证明：任意方阵可表为两个对称方阵之积，其中一个是非奇异的。 八 （15
6、 分） 设 f(x)为数域 P 上多项式， 且有 12 ( )( )( ),f xf xf x=? 12 ( ( ),( )1.f xf x= 又设 D 为 P 上 N 维线性空间。为 V 的一个线性变换。K 为( )f 的核， 1 为 的核， 1( ) f 2 为的核。证明： 2( ) f 12. K= 九 （15 分） 设1ab+是阶实方阵 A 的任一特征值。是实数。 如的 个特征值是 n , a b + n 12 ,., n 。证明：必有 11 minmax 22 ii ii a （是 A 的转置矩阵） 。 2 华东师范大学 1999 年攻读硕士学位研究生入学试题 一（15 分）计算行列
7、式： 123210 232101 341012 105432 01432 nn nn nn nnnn nnnn L L L LLLLLLL L L1 二 （15 分） 设 P 是一个素数， 多项式 12 ( ).1. pp f xxxx =+ + + 证明：( )f x 在有理数域上不可约。 三（15 分）设 11 1 11 x Axy y = 与相似， 000 010 002 B = （1）求的值。 （2）求一个正交矩阵 T，使 , x y 1 T ATT ATB =. 四（15 分）设 A 是实矩阵，是 A 的转置矩阵，求证： （1） 与 A 的秩相等。 （2）当 A 是满秩时，是正定的。
8、 五（20 分）设 A 是阶方阵，证明：(1）A 的特征多项式n( )f x与 A 的最小多项 式的根相同。 （2）若 A 的特征根互异，则( )m x( )( )m xf x=。 六（20 分）设 V 是数域 F 上任一线性空间，A 是 V 上一个线性变换，是数 域 F 上一元多项式的集合。证明：设是 F x ( )d x( ), ( )f x g x的最大公因式， ( ), ( ) ,f x g xF x则k其中kerer ( )ker ( )ker ( ),dfg = 是的核。 七（20 分）设维欧氏空间 V 的线性变换n满足 3 0. + = 证明：的迹（即在 V 的某一基下对应矩阵的
9、迹数）等于零。 3 华东师范大学 2000 年攻读硕士学位研究生入学试题 一（15 分）已知下列非齐次线性方程组（1） （2） （1） （2） 124 1234 123 26 41 33 xxx xxxx xxx += = = 1234 234 34 5 21 21 xmxxx nxxx xxt 1 += = = + 1 求方程组（1） ，用其导出组的基础解系表示通解。 2 当方程组（2）中的参数为何值时，方程组（1）与（2）同解。 , ,m n t 二（15 分）设阶方阵 A，B 满足条件 A+B=AB。(1). 证明：A-E 为可逆矩阵，E 为阶单位矩阵。(2). 证明：AB=BA。(3)
10、 已知：，求 A. n n 130 210 002 B = 三（15 分）设向量；都是非零向量，且满 足条件，令阶方阵 12 ( ,.,)T n a aa= 12 ( ,.,)T n b bb= 0 T = n T =。(1) 求 2 A；(2) 矩阵 A 的特征值和特征 向量。(3) 说明 A 是否与对角矩阵相似。 四 （ 15分 ） 求 一 个 可 逆 线 性 替 换 把 22 11 221 3 22544 2 3 xx xxx xx+与 22 11 2223 3 2342 2 2 3 xx xxx xx+同时分别化成标准形。 五（10 分）试证：设( )f x是整系数多项式，且(1)(2
11、)(3)fffP=（P 是 素数）则不存在整数，使m( )2f mP=成立。 六（15 分）设 A 是阶半正定矩阵，B 是阶正定矩阵。 nn 试证：| | |ABB+ ，且等号成立当且仅当 A=0。 七（15 分）设A是线性空间 V 的线性变换，试证：秩 2 A=秩AA的值 域与核的交为零空间。即。 1(0) 0AVA= 4 华东师范大学 2001 年攻读硕士学位研究生入学试题 一（15 分）计算行列式 231 131 121 123 1231 0 0 0 0 0 nn nn nn n n aaaa baa bbaa bbba bbbb L L L L L L LLL L L a 1 二（15
12、 分）设 11222311 ,., nnnnn =+=+=+=+,试证： （1）当 n 为偶数时， 12 ,., n 线性相关。 （2）当 n 为奇数时， 12 ,., n 线性无关 12 ,., n 线性无关。 三 （ 15分 ） 设为 互 不 相 同 的 整 数 ， 证 明 ： 多 项 式 在有理数域上不可约。 12 ,., n a aa 12 ( )()().() 1 n f xxaxaxa= 四（20 分）已知： 123 ,A A A是三个非零的三阶方阵，且， 2 (1,2,3 ii AA i=) 0() ij AAi= j).证明： （1）(1,2,3 i A i = 的特征值只有
13、1 和 0； （2） i A属于特征 值 1 的特征向量是 j A属于特征值 0 的特征向量； （3） 若 123 ,x x x分别是 123 ,A A A 属于特征值 1 的特征向量。则 123 ,x x x线性无关。 五（15 分）若存在正整数，使m, m AE=（E 单位矩阵，A 是阶方阵） ， n 证明：A 相似于对角形矩阵。 六（20 分）A 为阶实矩阵，且m n,mna( )0af( )xf的系数都是正数。 9 正交变换的属于不同的特征值的特征向量正交。 （ ） 10如果有有理根，则( )2 3 +=axxxf=a 。 11ax =为多项式的重根的充分必要条件是( )xfkax =
14、为( )x f 的重根。 （ ） 1k 12设A是的矩阵，)(nmnmB是维列向量，则下列命题正确的是（ ） m (A) 当有非零解时，则0=AXBAX =也有解； (B) 当BAX =有解时，则必有无穷多解； 0=AX (C) 当有唯一时，则0=AXBAX =也有唯一解； (D) 当BAX =无解时，则仅有零解。 0=AX 13已知矩阵A的特征多项式，则( )2 23 +=xxxfEA2+的逆矩阵是 。 14实二次型的正、负惯性指数分别是() 3121 2 3 2 2 2 1321 232,xxxxxxxxxxf+= 。 15已知A是阶方阵，如果，则。 （ ） n0 2 = n A0= n A 第二部分第二部分 计算题、证明题计算题、证明题 （共（共 6 题，共题，共 90 分）分） 16 （20 分）设A是由数域K上一个nm矩阵，B是一个维非零列向量。 m 令 tBAKtKW n =使存在, （1）证明：W关于 n K的运算构成 n K的一个子空间； （2）设线性方程组BAX =的增广矩阵的秩为r，证明W的维数； 1dim+=rnW （3）对于非齐次线性方程组 =+ =+ =+ 3734 232 132 4321 4321 4321 xxxx xxx
