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1、 矩矩 阵阵 论论 讲讲 稿稿 讲稿编者： 讲稿编者： 张张 凯凯 院院 使用教材：矩阵论（第 2 版） 使用教材：矩阵论（第 2 版） 西北工业大学出版社 西北工业大学出版社 程云鹏 等编 程云鹏 等编 辅助教材：矩阵论辅助教材：矩阵论导教导学导考导教导学导考 矩阵论 矩阵论典型题解析及自测试题典型题解析及自测试题 西北工业大学出版社 西北工业大学出版社 张凯院 等编张凯院 等编 课时分配：课时分配：第一章第一章 17 学时学时 第四章第四章 8 学时学时 第二章第二章 5 学时学时 第五章第五章 8 学时学时 第三章第三章 8 学时学时 第六章第六章 8 学时学时 第一章 线性空间与线性变
2、换（第 1 节） 1 第一章第一章 线性空间与线性变换 线性空间与线性变换 1.1 线性空间线性空间 一、集合与映射一、集合与映射 1集合：能够作为整体看待的一堆东西集合：能够作为整体看待的一堆东西 列举法：列举法：, 321 LaaaS = = 性质法：性质法：所具有的性质所具有的性质aaS = = 相等相等(：指下面二式同时成立：指下面二式同时成立 ) 21 SS = = 2121 ,SSSaSa 即即 1212 ,SSSbSb 即即 交：交： 2121 SaSaaSS=且=且I 并：并： 2121 SaSaaSS=或=或U 和：和：, 22112121 SaSaaaaSS+=+=+ 例例
3、 1 R 0 2221 11 1 = = ji a aa a AS R 0 22 1211 2 = = ji a a aa AS， 21 SS R, 0 0 2211 22 11 21 = =aa a a ASS I R, 0 2112 2221 1211 21 = = = ji aaa aa aa ASS U R 2221 1211 21 =+ =+ ji a aa aa ASS 2数域：关于四则运算封闭的数的集合数域：关于四则运算封闭的数的集合 例如：实数域例如：实数域R，复数域，复数域C，有理数域，等等，有理数域，等等 Q 3映射：设集合与，若对任意的映射：设集合与，若对任意的 1 S
4、2 S 1 Sa ，按照法则，按照法则 ，对应唯一的，对应唯一的 第一章 线性空间与线性变换（第 1 节） 2 .)(, 2 baSb= = 记作记作 称称 为由到的映射；称为的象，为由到的映射；称为的象， 1 S 2 Sba a 2 为为b的象源的象源 变换：当变换：当 1 SS= =时，称映射时，称映射 为上的变换为上的变换 1 S 例例 2 )2(R)(= = naaAS jinnji 映射映射 1 ：AAdet)( 1 = = (R)S 变换变换 2 ： n IAA)det()( 2 = = ()SS 二、线性空间及其性质二、线性空间及其性质 1线性空间：集合线性空间：集合V非空，给定
5、数域非空，给定数域K，若在，若在V中中 () 定义的定义的加法运算封闭加法运算封闭, 即即 VyxVyx + +)(,元素对应唯一元素对应唯一, 且满足 且满足 (1) 结合律： (1) 结合律：)()()(Vzzyxzyx + + += =+ (2) 交换律： (2) 交换律：xyyx+=+=+ (3) 有零元： (3) 有零元：)(,VxxxV = =+ + 使得使得 (4) 有负元： (4) 有负元： = = + + )(,)(,xxVxVx使得使得. . () 定义的() 定义的数乘运算封闭数乘运算封闭, 即即 VkxKkVx )(,元素对应唯一 元素对应唯一, 且满足 且满足 (5)
6、 数对元素分配律： (5) 数对元素分配律：)()(Vykykxyxk + += =+ + (6) 元素对数分配律： (6) 元素对数分配律：)()(Kllxkxxlk + += =+ + (7) 数因子结合律： (7) 数因子结合律：)()()(Klxkllxk = = (8) 有单位数：单位数 (8) 有单位数：单位数xxK= = 1,使得使得1. . 则称则称V为为K上的线性空间上的线性空间 例例 3 R= =K时，时， n R向量空间；向量空间； nm R矩阵空间矩阵空间 第一章 线性空间与线性变换（第 1 节） 3 tPn多项式空间；多项式空间；函数空间函数空间 ,baC C= =K
7、时，时，复向量空间；复向量空间； C复矩阵空间复矩阵空间 n C nm 例例 4 集合集合是正实数是正实数mm= + = + R，数域，数域R是实数是实数kk= = 加法：加法： mnnmnm= + = + ,R, 数乘：数乘： k mmkkm= + = + R,R 验证验证 + + R是是R上的线性空间上的线性空间 证证 加法封闭，且 加法封闭，且(1)(2)成立成立 (3) 1= = mmmm (4) mmmmm1)(1)()(m= = = = = 数乘封闭，数乘封闭，(5)(8)成立故成立故 + + R是是R上的线性空间上的线性空间 例例 5 集合集合R),( 21 2 = i R，数域
8、，数域R设设R),( 21 = =k 运算方式运算方式 1 加法：加法： ),( 2211 + + += =+ + 数乘：数乘： ),( 21 kkk= = 运算方式运算方式 2 加法：加法： ),( 112211 + + + += = 数乘：数乘： )1( 2 1 ,( 2 121 +=+=kkkkko 可以验证与都是可以验证与都是)(R 2 + +)(R 2 o R上的线性空间上的线性空间 注注 在在R中中, )( 2 o )0,0(= = , ),( 2 121 +=+= Th1 线性空间线性空间V中的零元素唯一，负元素也唯一中的零元素唯一，负元素也唯一 证证 设设与与 2 都是都是V的
9、零元素的零元素, 则则 212211 = =+ += =+ += = 1 设与都是的负元素设与都是的负元素, 则由则由 1 x 2 xx = =+ + 1 xx及及 = =+ + 2 xx可得可得 212111 )()(xxxxxxxx+ + += =+ +=+=+=+= 22221) (xxxxxx= =+ += =+ += =+=+= 第一章 线性空间与线性变换（第 1 节） 4 例例 6 在线性空间在线性空间V中，下列结论成立中，下列结论成立 = =x0： = = =+=+=+xxxxx01)01(01 = =k： = = =+ +=+=+kkxxkk)(kx )()1(xx=：()()
10、(1)1()()1()1xxxxxxxx=+=+ + = = + + + = 2减法运算：线性空间减法运算：线性空间V中，中，)(yxyx + += = 3线性组合：线性组合：KcVxx ii 若存在若存在, 使使 mmx cxcx+ + += =L 11 , 则称则称 x 是的线性组合，或者可由线性表示是的线性组合，或者可由线性表示 m xx, 1 Lx m xx, 1 L 4线性相关：若有不全为零，使得线性相关：若有不全为零，使得 m cc, 1 L = =+ + + mmx cxcL 11 ，则称，则称 m xx, 1 L线性相关线性相关 5线性无关：仅当全为零时，才有线性无关：仅当全为
11、零时，才有 m cc, 1 L = =+ + + mmx cxcL 11 ，则称，则称 m xx, 1 L线性无关线性无关 注注 在在R中中, )( 2 o )1 , 1( 1 = = , )2,2( 2 = = 线性无关；线性无关； )1 , 1( 1 = = , )3,2( 2 = = 线性相关线性相关（自证）（自证） 三、基与坐标三、基与坐标 1基与维数：线性空间基与维数：线性空间V中，若元素组满足中，若元素组满足 n xx, 1 L (1) 线性无关；线性无关； n xx, 1 L (2) Vx都可由线性表示都可由线性表示 n xx, 1 L 称为称为 n xx, 1 LV的一个基的一
12、个基, 为为nV的维数的维数, 记作记作nV= =dim，或者，或者V. n 例例 7 矩阵空间 矩阵空间 nm R中中, 易见易见 (1) ), 2 , 1;, 2 , 1(njmiE ji LL= = =线性无关；线性无关； (2) = = = = m i n j jijinmji EaaA 11 )( 故故), 2 , 1;, 2 , 1(njmiE ji LL= = =是是 nm R的一个基的一个基, . mn nm = = dimR 第一章 线性空间与线性变换（第 1 节） 5 2坐标：给定线性空间坐标：给定线性空间V的基，当时，有的基，当时，有 n n xx, 1 L n Vx n
13、nx xx +=+=L 11 称称 n , 1 L为在给定基下的为在给定基下的 x n x, 1 Lx 2 坐标，记作列向量坐标，记作列向量 1 ),( n L= = 例例 8 矩阵空间矩阵空间 2 R 中，设中，设 22 )( = = ji aA (1) 取基取基 ， 22211211 ,EEEE 2222212112121111 EaEaEaEaA+ + + += = 坐标为 坐标为 22211211 ),(aaaa= = (2) 取基 取基 , , , , = = 11 11 1 B = = 11 10 2 B = = 11 00 3 B = = 10 00 4 B 422432132122111 )()()(BaBBaBBaBBaA+ + + + +=+= 421223122121112111 )()()(BaaBaaBaaBa + + + + + += = 坐标为 坐标为 21221221111
