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1、一：随机事件的概率（1）必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件（certain event）,简称必然事件.（2）不可能事件：在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件（impossible event）,简称不可能事件.（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件.（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件（random event）,简称随机事件；确定事件和随机事件统称为事件,用A,B,C,表示.（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次
2、数na为事件A出现的频数（frequency）；称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率（relative frequency）;对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P（A）,称为事件A的概率（probability）.（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率,指此事件发生的次数与试验总次数n的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件
3、的概率. 频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.在实际问题中,通常事件的概率未知,常用频率作为它的估计值. 频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复实验得到事件的频率会不同.概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5,与做多少次实验无关.例1 为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法,先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设
4、有40尾.试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.分析：学生先思考,然后交流讨论,教师指导,这实际上是概率问题,即2 000尾鱼在水库中占所有鱼的百分比,特别是500尾中带记号的有40尾,就说明捕出一定数量的鱼中带记号的概率为,问题可解.解：设水库中鱼的尾数为n,A=带有记号的鱼,则有P(A)=. 因P(A)， 由得,解得n25 000.所以估计水库中约有鱼25 000尾.二：概率的意义1、 概率是对随机事件发生的可能性的描述，概率越大随机事件发生的可能性越大，概率越小随机事件发生的可能性就越小。对于高概率的事件也有可能不会发生，低概率的事件也有可能会发生。例如：1、如果某种彩票中奖的概率为,那么
5、买1 000张彩票一定能中奖吗2、“天气预报说昨天降水概率为90%,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确了.”学了概率后,你能给出解释吗？答：1、不一定能中奖,因为买1 000张彩票相当于做1 000次试验,因为每次试验的结果都是随机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1 000张彩票中可能没有一张中奖,也可能有一张、两张乃至多张中奖. 2、天气预报的“降水”是一个随机事件,因此,“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的.三：概率的基本性质若A、B为随机事件，则如果事件A发生,则事件B一定发生,这时我们说事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）,记为BA（
6、或AB）,不可能事件记为,任何事件都包含不可能事件.如果事件A发生,则事件B一定发生,反之也成立,（若BA同时AB）,我们说这两个事件相等,即A=B.如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与B的并事件（或和事件）,记为AB或A+B.如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与B的交事件（或积事件）,记为AB或AB.如果AB为不可能事件（AB=）,那么称事件A与事件B互斥,即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.如果AB为不可能事件,AB为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生.基本性质：（1
7、）概率的取值范围是01之间,即0P(A)1.（2）必然事件的概率是1.如在掷骰子试验中,E=出现的点数小于7,因此P(E)=1.（3）不可能事件的概率是0,如在掷骰子试验中,F=出现的点数大于6,因此P(F)=0.（4）当事件A与事件B互斥时,AB发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和,即P(AB)=P(A)+P(B),这就是概率的加法公式.也称互斥事件的概率的加法公式.（5）事件A与事件B互为对立事件,AB为不可能事件,AB为必然事件,P(AB)=1.所以1=P(A)+P(B),P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).如在掷
8、骰子试验中,事件G=出现的点数为偶数与H=出现的点数为奇数互为对立事件,因此P(G)=1-P(H).例题：1.一口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球,从中一次任意摸出2只球.记摸出2只白球为事件A,摸出1只白球和1只黑球为事件B.问事件A和B是否为互斥事件？是否为对立事件？解：事件A和B互斥，因为从中一次可以摸出2只黑球,所以事件A和B不是对立事件.2.在一个盒子内放有10个大小相同的小球,其中有7个红球、2个绿球、1个黄球,从中任取一个球,求：（1）得到红球的概率；（2）得到绿球的概率；（3）得到红球或绿球的概率；（4）得到黄球的概率.（5）“得到红球”和“得到绿球”这两个事件A、B之间有
9、什么关系,可以同时发生吗？（6）（3）中的事件D“得到红球或者绿球”与事件A、B有何联系？答案：（1） （2） （3） （4） （5）互斥事件 不可以 （6）P(D)=P(A)+P(B)3.在一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个.试求：(1)取得两个红球的概率；(2)取得两个绿球的概率；(3)取得两个同颜色的球的概率；(4)至少取得一个红球的概率.答案：(1) （2） (3) (4)4.盒中有6只灯泡,其中2只次品,4只正品,有放回地从中任取两次,每次取一只,试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各一只；(3)取到
10、的2只中至少有一只正品.解：从6只灯泡中有放回地任取两只,共有36种不同取法.(1)取到的2只都是次品情况为4种.因而所求概率为.(2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品,第二次取到次品；及第一次取到次品,第二次取到正品.因而所求概率为P=.(3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件.因而所求概率为P=.5.若A表示四件产品中至少有一件是废品的事件,B表示废品不少于两件的事件,试问对立事件、各表示什么?解：表示四件产品中没有废品的事件；表示四件产品中没有废品或只有一件废品的事件.6.回答下列问题：(1)甲、乙两射手同时射击一目标,甲的
11、命中率为0.65,乙的命中率为0.60,那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.65+0.60=1.25,为什么?(2)一射手命中靶的内圈的概率是0.25,命中靶的其余部分的概率是0.50,那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.25+0.50=0.75,为什么?(3)两人各掷一枚硬币,“同时出现正面”的概率可以算得为.由于“不出现正面”是上述事件的对立事件,所以它的概率等于,这样做对吗?说明道理.解：(1)不能.因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥.(2)能.因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件.(3)不对.因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件,故其概率和不为1.7
12、.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲、乙两队夺取冠军的概率分别是和.试求该市足球队夺得全省足球赛冠军的概率.答案：8.在房间里有4个人.问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少?答案：9.某单位36人的血型类别是：A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人.现从这36人中任选2人,求此2人血型不同的概率.答案：四：古典概型1、基本事件 ：随机事件的每一个可能结果，称为基本事件.例如：抛一枚硬币的基本事件有，A=“正面朝上”，B=“反面朝上”。任何两个基本事件是互斥的；任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.2、古典概率模型试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性
13、）每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classical models of probability）,简称古典概型.2、 古典概率模型的概率计算公式古典概型计算:事件A的概率计算公式为：P（A）=.注意点：要判断该概率模型是不是古典概型；要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.例题：1、向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这是古典概型吗?为什么？答：不是，因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点,而圆内的点的个数是无限的，所以试验的所有可能结果数是无限的,虽然每一个试验结果出现的“可
14、能性相同”,但这个试验不满足古典概型的第一个条件.2、如下图,某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗？为什么？不是古典概型,因为试验的所有可能结果只有7个,而命中10环、命中9环命中5环和不中环的出现不是等可能的,即不满足古典概型的第二个条件练习：1.在40根纤维中,有12根的长度超过30 mm,从中任取一根,取到长度超过30 mm的纤维的概率是（ ）A. B. C. D.以上都不对解析：在40根纤维中,有12根的长度超过30 mm,即基本事件总数为40,且它们是等可能发生的,所求事件包含12个基本事件,故所求事件的概
15、率为.答案：B2.盒中有10个铁钉,其中8个是合格的,2个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )A. B. C. D.解析：（方法1）从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10,其中抽到合格铁钉（记为事件A）包含8个基本事件,所以,所求概率为P（A）=.（方法2）本题还可以用对立事件的概率公式求解,因为从盒中任取一个铁钉,取到合格品（记为事件A）与取到不合格品（记为事件B）恰为对立事件,因此,P（A）=1-P（B）=.答案：C3.在大小相同的5个球中,2个是红球,3个是白球,若从中任取2个,则所取的2个球中至少有一个红球的概率是_.解析：记大小相同的5个球分别为红1,红2,白1,白2,白3,则基本事件为：（红1,红2）,（红1,白1）,（
