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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II）数学（理科）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2013年全国，理1，5分】已知集合，则 （ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】因为，所以，故选A（2）【2013年全国，理2，5分】设复数满足则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A 【解析】，故选A（3）【2013年全国，理3，5分】等比数列的前项和为，已知，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】设数列的公比为，若，则由，得，此时，而，不满足题意，因此时，整理得，即，故选C（4）【20
2、13年全国，理4，5分】已知，为异面直线，平面，平面，直线满足，则（ ）（A）且 （B）且 （C）与相交，且交线垂直于 （D）与相交，且交线平行于【答案】D【解析】因为，所以同理可得又因为，为异面直线，所以与相交，且平行于它们的交线，故选D（5）【2013年全国，理5，5分】已知的展开式中的系数是5，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】因为的二项展开式的通项为，则含的项为，所以，故选D（6）【2013年全国，理6，5分】执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】由程序框图知，当，时，；当时，；当时，；当时，；当时，增加1
3、变为11，满足，输出，所以B正确，故选D（7）【2013年全国，理7，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系的图像为下图：则它在平面上的投影 即正视图为A图形，故选A（8）【2013年全国，理8，5分】设，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】根据公式变形，因为，所以，即，故选D（9）【2013年全国，理9，5分】已知，满足约束条件，若的最小值是1，则（ ）（A） （B） （C）1 （D）2【答案】B【解析
4、】由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示，作直线，因为直线 与直线的交点坐标为，结合题意知直线过点， 代入得，故选B（10）【2013年全国，理10，5分】已知函数，下列结论中错误的是（ ） （A）， （B）函数的图象是中心对称图形 （C）若是的极小值点，则在区间单调递减（D）若是的极值点，则【答案】C【解析】若则有，所以A正确由得，因为函数的对称中心为，所以的对称中心为，所以B正确由三次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间单调递减是错误的，D正确，故选C（11）【2013年全国，理11，5分】设抛物线的焦点为，点在上，若以为直径的圆过点，则的方程为（ ）（A）或
5、 （B）或 （C）或 （D）或【答案】C【解析】设点的坐标为，由抛物线的定义，得，则又点的坐标为， 所以以为直径的圆的方程为将，代入得，即，所以由，得，解之得，或所以的方程为或，故选C（12）【2013年全国，理12，5分】已知，直线将分割为面积相等的两部分，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B第II卷本卷包括必考题和选考题两部分第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答第（22）题第（24）题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上（13）【2013年全国，理13，5分】已知正方形的边长为，为的中点，
6、则_【答案】2【解析】解法一：在正方形中，,所以解法二：以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点的坐标为，点B的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则， ，所以（14）【2013年全国，理14，5分】从个正整数，中任意取出两个不同的数，若其和为的概率是，则_ _【答案】8【解析】从1,2，n中任取两个不同的数共有种取法，两数之和为5的有， 2种，所以，即，解得（15）【2013年全国，理15，5分】设为第二象限角，若，则_【答案】【解析】由，得，即将其代入，得因为为第二象限角，所以，（16）【2013年全国，理16，5分】等差数列的前项和为，已知，则的最小值为_【答案】【解析
7、】设数列的首项为，公差为，则， 联立，得，所以令，则，令，得或当时，,时，所以当时，取最小值，而，则，所以当时，取最小值 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）【2013年全国，理17，12分】的内角的对边分别为已知（1）求；（2）若，求的面积的最大值解：（1）由已知及正弦定理得 又，故 由，和得，又，所以（2）的面积由已知及余弦定理得又，故，当且仅当时，等号成立因此面积的最大值为（18）【2013年全国，理18，12分】如图，直三棱柱中，分别是，的中点（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值解：（1）连结交于点，则为中点又是中点，连结，则因为平面，平面，所以平面（2）由得
8、，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图 所示的空间直角坐标系设，则， ，设是平面的法向量，则即，可取同理，设是平面A1CE的法向量，则可取从而，故即二面角的正弦值为（19）【2013年全国，理19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品以(单位：，)表示下一个销售季度内的市场需求量，(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润（1）将表示为的函数；（2）根据直方图估计利润不少于57000元的概率；（
9、3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量，则取，且的概率等于需求量落入的频率)，求T的数学期望解：（1）当时，当时，所以 （2）由（1）知利润不少于元当且仅当由直方图知需求量的频率为，所以下一个销售季度内的利润不少于元的概率的估计值为（3）依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以（20）【2013年全国，理20，12分】平面直角坐标系中，过椭圆M：()右焦点的直线交于，两点，为的中点，且的斜率为（1）求的方程；（2），为上两点，若四边形的对角线，
10、求四边形面积的最大值解：（1）设，则，由此可得因为，所以又由题意知，的右焦点为，故因此，所以的方程为（2）由，解得或，因此由题意可设直线的方程为：，设，由得于是因为直线的斜率为1，所以由已知，四边形的面积当时，取得最大值，最大值为所以四边形面积的最大值为（21）【2013年全国，理21，12分】已知函数 （1）设是的极值点，求并讨论的单调性；（2）当时，证明解：（1）由是的极值点得，所以于是，定义域为，函数在单调递增，且因此当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增（2）当，时，故只需证明当时，当时，函数在单调递增又，故在有唯一实根，且当时，；当时，从而当时，取得最小值由得，故综上，当时，请考生
11、在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号（22）【2013年全国，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，为外接圆的切线，的延长线交直线于点，分别为弦与弦上的点，且，四点共圆 （1）证明：是外接圆的直径；（2）若，求过，四点的圆的面积与外接圆面积的比值解：（1）因为为外接圆的切线，所以，由题设知，故，所以因为，四点共圆，所以，故所以，因此是外接圆的直径（2）连结，因为，所以过，四点的圆的直径为，由，有，又，所以而，故过，四点的圆的面积与外接圆面积的比值为（23）【2013年全国，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与（），为的中点（1）求的轨迹的参数方程；（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点解：（1）依题意有，因此的轨迹的参数方程为(为参数，)（2）点到坐标原点的距离当时，故的轨迹过坐标原点（24）【2013年全国，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设，均为正数，且，证明：（1）；（2）解：（1）由，得由题设得，即，即（2）因为，故，即所以7
