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1、第52讲空间角及其计算1理解两异面直线所成角、直线与平面所成角及二面角的平面角的概念3会解决一些关于异面直线所成角、线面角及二面角的简单问题 知识梳理1两条异面直线所成的角过空间 任意一点分别引两条异面直线的 平行直线，那么这两条相交直线所成的 锐角或直角叫做这两条异面直线所成的角，若记这个角为，则 (0，90.当两条异面直线所成的角为 90时，这两条异面直线互相垂直2直线与平面所成的角(1)射影自一点P向平面引垂线，垂足P叫做点P在平面内的正射影(简称射影)PP的长度称为点P到平面的距离.图形F上所有点在平面上的射影构成的图形F，叫做图形F在平面上的射影.(2)平面的斜线如果一条直线m与平面
2、相交但不和这个平面垂直，则直线m叫做平面的斜线，交点称为斜足.(3)直线与平面所成的角平面的一条斜线PA和它在平面上的射影OA所成的锐角，叫做斜线与平面所成的角；平面的垂线与平面所成的角为90；直线在平面内或直线与平面平行，此直线与平面所成的角为0.记任一直线与平面所成的角为，则0，90.3二面角从一条直线l出发的两个半平面(和)所组成的图形叫做二面角.记作二面角l，l叫做二面角的棱，两个半平面(和)叫做二面角的面.二面角的平面角：在二面角的棱AB上任取一点O，过O分别在二面角的两个面，内作与棱垂直的射线OA，OB，我们把AOB叫做二面角l的平面角，用它来度量二面角的大小二面角的取值范围为0，
3、180.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 热身练习1在三棱锥ABCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角为60，那么FEG为(D)A30 B60C120 D60或120 FEG为两异面直线AD与BC所成的角或其补角2正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为 60. 平移EF到AD1，则AD1B1为异面直线EF与B1D1所成的角或其补角，易知AB1D1为正三角形，所以AD1B160，所以EF与B1D1所成的角为60.3过ABC所在平面外一点P，作PO，垂足为O，连接PA，PB，PC.(1)若PAPBPC，
4、C90，则点O是三角形AB边的中点(2)若PAPBPC，则点O是ABC的外心(3)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的垂心4如图，棱长都为a的正四棱锥中(1)侧棱与底面所成的角为45；(2)侧面与底面所成的锐二面角的平面角的正弦值为. (1)此正棱锥的高为a，故侧棱与底面所成的角为45.(2)设侧面与底面所成的角为，则sin .5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中(1)B1B与平面A1BC1所成的角的余弦值为；(2)二面角D1BCA的大小为45. (1)三棱锥B1A1BC1为正三棱锥，设B1B与平面A1BC1所成的角为，则cos .(2)二面角D1BCA的平面角为D1CD，其
5、大小为45. 异面直线所成的角(2018全国卷)在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. B.C. D. 如图，因为ABCD，所以AE与CD所成的角为EAB.在RtABE中，设AB2，则BE，则tanEAB，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为. C 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种：利用图形中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移最终将空间角转化为平面角，利用解三角形的知识求解1(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异
6、面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(C)A. B.C. D. 将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.由题意知ABC120，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60.在ABD中，由余弦定理知BD22212221cos 603，所以BD，所以B1D1.又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角，所以cos . 直线与平面所成的角棱长都为2的直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，BAD60，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成的角的正弦值为 . 过点A1作直线A1MD1C1，交C1D1的延长线于点M，连
7、接CM，可得A1M平面DD1C1C，则A1CM就是直线A1C与面DD1C1C所成的角由所有棱长均为2及A1D1C1120，得A1MA1D1sin 60，又A1C4，所以sin A1CM.所以对角线A1C与侧面DCC1D1所成的角的正弦值为. (1)求线面角的方法：找角，通过射影，作出直线与平面所成的角；计算，将所作出的角放入到某一三角形中，通过解三角形得解(2)作角的关键是确定射影的位置，常利用面面垂直的性质定理及图形的特征2(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C 1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为(C)A8 B6C8 D8 如图，连接BC1
8、，AC.因为AB平面BB1C1C，所以AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，所以AC1B30.又ABBC2，在RtABC1中，AC14，在RtACC1中，CC12，所以V长方体ABBCCC12228. 二面角的平面角如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上(1)证明：APBC；(2)已知BC8，PO4，AO3，OD2.求二面角BAPC的大小 (1)证明：由ABAC，D是BC的中点，得ADBC，又PO平面ABC，得POBC.因为POADO，所以BC平面PAD.又PA平面PAD，故BCPA.(2)如图，在平面PAB内作BMPA于M，连接CM
9、. 因为BCPA，BMBCB，得PA平面BMC.所以PACM.故BMC为二面角BAPC的平面角在RtADB中，AB2AD2BD241，得AB，在RtPOD中， PD2PO2OD2，在RtPDB中， PB2PD2BD2，所以PB2PO2OD2BD236，得PB6.在RtPAO中， PA2AO2OP225，得PA5.又cos BPA，从而sinBPA，所以BMPBsin BPA4.同理CM4.因为BM2MC2BC2，所以BMC90，即二面角BAPC的大小为90. 求二面角的平面角的方法：作角，根据图形特点作出二面角；证明，依据二面角的平面角的定义，证明所成角是二面角的平面角；计算，将所作出的角放入
10、到某一三角形中，通过解三角形得解3如图，AD平面BCD，BCD90，ADBCCDa，求二面角CABD的大小. 如图，取BD的中点E，连接CE，则CEBD，因为AD平面BCD，所以ADCE，又ADBDD，所以CE平面ABD，作EFAB，垂足为F，连接CF，因为CE平面ABD，所以CEAB，又CEEFE，所以AB平面CEF，所以CFAB，所以CFE为二面角CABD的平面角由题意易得CEa，CFa，所以sinCFE，所以CFE60.即二面角CABD的大小为60.1异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角是刻画线线位置关系、线面位置关系及面面位置关系的重要方式，其重点应了解其定义，掌握作角
11、的基本方法及其求法2求空间角的一般步骤：一作(找)，二证，三计算作(找)出所求角是计算的基础(1)异面直线所成的角，一般通过作平行线来求，要注意异面直线所成角的取值范围是(0，(2)直线与平面所成的角：利用定义作出角，关键是寻找到相关平面的垂线与射影，作出角后可在相应的三角形中求出角的大小，要注意其取值范围是0，(3)二面角：求二面角的平面角，首先要作出角，然后在相应的三角形中求解，注意二面角的取值范围是0，作二面角的平面角的方法很多，常见的有：定义法：即在棱上取点O，在两个半平面内作与棱垂直的射线，两射线所夹的角即是二面角的平面角(如图)；三垂线法：若二面角l的一个半平面内一点A在另一平面内的射影是B，则过A作AOl于O，连接BO，则AOB即是二面角l的平面角(如图)
