《复变函数2.3初等多值解析函数资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数2.3初等多值解析函数资料（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 初等多值解析函数,2.3.1 根式函数,2.3.2 对数函数,2.3.3 一般幂函数与一般指数函数,2.3.4 具有多个有限支点的情形,2.3.5 反三角函数和反双曲函数,2.3.6 小结与思考,2,定义2.8(单叶函数） 设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不 同的两点z1及z2都有f(z1)f(z2),则称函数 f(z)在D内 是单叶的.并且称区域D为f(z)的单叶性区域. 显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z) 就是D 到G的一一变换. f(z)=z2不是C上的单叶函数. f(z)=z3是C上的单叶函数,3,2.3.0幂函数的变换性质及其单叶性区域,设有幂函数: w
2、=zn 令z=rei,w=ei ,则： w=zn ei = rnein= rn, =n 于是得到幂函数有如下的变换性质：,z平面,w平面,射线 =0,射线 =n0,圆周r=r0,圆周= r0n,4,W=zn,z平面,w平面,射线 =0,射线 =n0,圆周r=r0,圆周= r0n,0,n0,角域00,射线0 n0,),),),5,从原点起沿负实轴剪开的w平面,G0,z平面,w平面,W=zn,角域 00,角域0 n0,上岸,下岸,6,映射特点:,幂函数w=zn (n1) 单叶性区域是顶点在原点，张度不超过2/n的角形区域,的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.,是幂函数的单叶性区域的一种分法,总
3、之：,把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点,7,2.3.1根式函数,定义2.9 若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为：,i.e. 根式函数,为幂函数z=wn 的反函数.,(1) 根式函数的多值性.,8,(2) 分出根式函数的单值解析分支.,1) 产生多值的原因.,产生多值的原因是:当z取定后，其辐角不固定，可以连续改变2的整数倍，对应的函数值连续改变到下一个值,9,2) 解决的办法.,限制z的辐角的变换，使其辐角的该变量argz2,理论上的的做法：,从原点O起到点任意引一条射线将z平面割破，该直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边界的区域，记为G)上，argz2，从而可将其转
4、化为单值函数来研究,常用的做法：,从原点起沿着负实轴将z平面割破：,z,G,10,结论：,从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:,分成如下的n个单值函数：,定义域为,wk在Gk上解析,且,11,G1,3,G0,-,-,T0,T1,T2,G2,3,5,12,2.3.2 对数函数,1. 定义,说明：,w=Lnz是指数函数ew=z的反函数,Lnz一般不能写成lnz,2.计算公式及多值性说明：,13,由于Argz的多值性导致w=Lnz 是一个具有无穷多值的多值函数,规定：,为对数函数Lnz的主值,于是：,z的主辐角,14,特殊地,15,例4,解,注意: 在实对数函数中, 零和负数无对数, 这
5、一点 在复对数函数中不再成立.,16,例5,解,17,例6,解,18,19,2. 性质,20,证 (3),证毕,21,(3)(4)错了,例：,错了，同志哥！,决不会相等！,原因,Bernoulli悖论,Lnz是集合记号，应该理解为两个集合相加,A=0,1 A+A=0,1,2 2A=0,2 A+A2A,22,3. 分出w=Lnz的单值解析分支,从原点起沿着负实轴将z平面割破，就可将,对数函数w=Lnz分成如下n个单值解析分支：,定义域为,wk在Gk上解析,且,23,2.3.3 一般幂函数与一般指函数,1. 一般幂函数,称为z的一般幂数函数,2. 一般指数函数,称为z的一般指数函数,都是多值函数，
6、适当割破z平面，都可转化为单值函数,24,注意:,1. 一般幂函数,称为z的一般幂数函数,25,26,特殊情况:,27,28,例7,解,答案,课堂练习,29,例8,解,30,2. 幂函数的解析性,它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,31,它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,32,2.3.4 反三角函数和反双曲函数,1. 反三角函数的定义,两端取对数得,33,同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式:,2. 反双曲函数的定义,34,例14,解,35,2.3.6 小结与思考,复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如:,1. 分成单值解析分支的方法,2. 负数无对数的结论不再成立,
