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1、二次函数图象对称性的应用 一、几个重要结论:1、抛物线的对称轴是直线_。 2、对于抛物线上两个不同点P1(),P2(),若有,则P1,P2两点是关于_对称的点,且这时抛物线的对称轴是直线_;反之亦然。 3、若抛物线与轴的两个交点是A(,0),B(,0),则抛物线的对称轴是_(此结论是第2条性质的特例,但在实际解题中经常用到)。 4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A(,0),且其对称轴是,则另一个交点B的坐标可以用表示出来(注:应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定,在应用时要把图画出)。 5、若抛物线与轴的两个交点是B(,0),C(,0),其顶点是点A,则ABC是三角形,且ABC的外接圆
2、与内切圆的圆心都在抛物线的上。二、在解题中的应用: 例1已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),且函数有最小值-8,试求二次函数的解析式。 例2已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标,且满足.(1)求抛物线的解析式; (2)设点P(,),Q(,)是抛物线上两个不同的点,且关于此抛物线的对称轴对称,求的值。 例3已知抛物线经过点A(-2,7)、B(6,7)、C(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是。 例4已知抛物线的顶点A在直线上。 (1)求抛物线顶点的坐标; (2)抛物线与轴交于B、C两点,求B、C两点的坐标; (3)求ABC的外接圆的面积。 yOx-1-21
3、2-33-112-2二次函数专题训练对称性与增减性一、选择1、若二次函数,当x取,()时,函数值相等,则当x取+时,函数值为( )(A)a+c (B)a-c (C)-c (D)c2、抛物线的一部分如图所示,该抛物线在轴右侧部分与轴交点的坐标是(A)(,0) (B)(1,0) (C)(2,0) (D)(3,0)3、已知抛物线与轴交于两点,则线段的长度为()113O4、抛物线的部分图象如图所示,若,则的取值范围是( ) A. B. C. 或 D.或5、函数y=x2-x+m(m为常数)的图象如图,如果x=a时,y0;那么x=a-1时,函数值( )Ay0B0ymCym Dy=m6、抛物线y=ax2+2
4、ax+a2+2的一部分如图所示,那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是( )A(0.5,0) B(1,0) C(2,0) D(3,0)7、老师出示了小黑板上的题后(如图),小华说:过点(3,0);小彬 说:过点(4,3);小明说:a=1;小颖说:抛物线被x轴截 得的线段长为2你认为四人的说法中,正确的有( )A1个B2个C3个 D4个8、若二次函数,当取、()时,函数值相等,则当取 时,函数值为()9、二次函数的图象上有两点(3,8)和(5,8),则此拋物线的对称轴是( ) A4 B. 3 C. 5 D. 1。10、已知关于x的方程的一个根为=2,且二次函数的对称轴直线是x=2,则抛物线的顶
5、点坐标是( )A(2,3 ) B(2,1) C(2,3) D(3,2)11、已知函数,设自变量的值分别为x1,x2,x3,且-3 x1 x2y2y1By1y3y2 Cy2y3y1Dy3y2y10212、小明从右边的二次函数图象中,观察得出了下面的五条信息:,函数的最小值为,当时,当时,你认为其中正确 的个数为()234513、若的为二次函数的图像上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是( )A. y1y2y3 B. y3y2y1 C. y3y1y2 D. y2y1y2y3 B.y2y3y1 C.y3y1y2 D.y3y2y116、下列四个函数中,y随x增大而减小的是( )Ay=2x B.y=-
6、2x+5 C Dy=-x2+2x-117、下列四个函数:y=2x;y=3-2x;y=2x2+x(x0),其中,在自变量x的允许取值范围内,y随x增大而增大的函数的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 418、已知二次函数的图象如图所示,则下列结论: a,b同号;当和时,函数值相等;当时, 的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个19、已知二次函数的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两根分别是(). B.-2.3 C.-0.3 D.-3.320、已知函数y=3x2-6x+k(k为常数)的图象过点A(0.
7、85,y1),B(1.1,y2),C(,y3),则有( )(A) y1y2y2y3 (C) y3y1y2 (D) y1y3y2133121、已知二次函数,设自变量x分别为,且,则对应的函数值的大小关系是( )A. B. C. D. 22、如图,抛物线的对称轴是直线,且经过点(3,0),则的值为 A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 二、填空1、已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,7),B(6,7),C(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_2、已知二次函数,其中满足和,则该二次函数图象的对称轴是直线3、二次函数(,、是常数)中,自变量与函数的对应x0y1请你观察表中
8、数据,并从不同角度描述该函数图象的特征是: 、 、 (写出3条即可) 4、一元二次方程的两根为,且,点在抛物线上,则点关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为 5、抛物线的对称轴是x=2,且过点(3,0),则a+b+c= 6、y=a+5与X轴两交点分别为(x1 ,0),(x2 ,0) 则当x=x1 +x2时,y值为_7、请写出一个的值,使函数在第一象限内的值随着的值增大而增大,则可以8、当时,下列函数中,函数值随自变量增大而增大的是(只填写序号);9、一个关于x的函数同时满足如下三个条件 x为任何实数,函数值y2都能成立; 当x1时,函数值y随x的增大而增大;当x1时,函数值y随x的增大而减小;符合条件的函数的解析式可以是 。10、已知(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)是二次函数y=x2-4x+m上的点,则y1,y2,y3从小到大用 “”排列是 .11、一个函数具有下列性质:图象过点(1,2),当0时,函数值随自变量的增大而增大;满足上述两条性质的函数的解析式是 (只写一个即可)。