《2020版高考数学（理）大一轮核心素养提升练 六十八 12.9离散型随机变量的均值与方差 含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学（理）大一轮核心素养提升练 六十八 12.9离散型随机变量的均值与方差 含解析（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 核心素养提升练 六十八离散型随机变量的均值与方差(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若离散型随机变量X的分布列为X01P则X的数学期望E(X)等于()A.2 B.2或C.D.1【解析】 选C.由题意,+=1,a0,所以a=1,所以E(X)=0+1=.2.已知X的分布列为X-101P则在下列式子中E(X)=-;D(X)=;P(X=0)=,正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.由E(X)=(-1)+0+1=-,知正确;由D(X)= +=,知不正确;由分布列知正确.3.节日期间,某种鲜花进货价是每束2.5元,销售价为每束5元;节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价
2、格处理.根据前五年销售情况预测,节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布:X200300400500P0.200.350.300.15若购进这种鲜花500束,则利润的均值为()A.706元B.690元 C.754元D.720元【解析】选A.由分布列可以得到E(X)=2000.2+3000.35+4000.3+5000.15=340,所以利润是(3405+1601.6)-5002.5=706(元).4.已知X是离散型随机变量,P(X=1)=,P(X=a)=,E(X)=,则D(2X-1)=()A.B.C.D.【解析】选B.因为X是离散型随机变量,P(X=1)=,P(X=a)=,E(X)=,所以
3、由已知得1+a=,解得a=2,所以D(X)=1-2+2-2=,所以D(2X-1)=22D(X)=4=.【变式备选】已知离散型随机变量的概率分布如下:012P0.33k4k随机变量=2+1,则的数学期望为()A.1.1B.3.2C.11kD.22k+1【解析】选B.由0.3+3k+4k=1得k=0.1,所以E()=00.3+10.3+20.4=1.1,E()=2E()+1=21.1+1=3.2.5.如果XB(20,p),当p=且P(X=k)取得最大值时,k的值为()A.9B.10C.11D.12【解析】选B.当p=时,P(X=k)=,显然当k=10时,P(X=k)取得最大值.二、填空题(每小题5
4、分,共15分)6.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3件,若X表示取到次品的次数,则D(X)=_.【解析】因为XB,所以D(X)=3=.答案:【变式备选】设随机变量XB(8,p),且D(X)=1.28,则概率p的值是_.【解析】由D(X)=8p(1-p)=1.28,所以p=0.2或p=0.8.答案:0.2或0.87.设随机变量的分布列如下表所示:012Pabc其中a,b,c成等差数列,若随机变量的均值为,则的方差为_.【解析】由题意有a+b+c=1,2b=a+c,b+2c=,解得a=,b=,c=,则其方差为D()=+=.答案:8.据统计,一年中一个家庭万元以上的财产被窃的
5、概率为0.005,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,交保险费100元,若一年内万元以上财产被窃,保险公司赔偿a元(a1 000),为确保保险公司有可能获益,则a的取值范围是_.【解题指南】转化为求保险公司在参保人身上的收益的期望问题,由此列不等式求解.【解析】X表示保险公司在参加保险者身上的收益,其概率分布列为:X100100-aP0.9950.005E(X)=0.995100+(100-a)0.005=100-.若保险公司获益,则期望大于0,解得a20 000,所以a(1 000,20 000).答案:(1 000,20 000)三、解答题(每小题10分,共20分)9.若n是一个三位正
6、整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”; (2)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望E(X).【解析】(1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为=84,随机变量X
7、可能的取值为0,-1,1,因此P(X=0)=,P(X=-1)=,P(X=1)=1-=,所以X的分布列为X0-11P则E(X)=0+(-1)+1=.10.某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,且运费由厂商承担.若厂商恰能在约定日期(月日)将牛奶送到,则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂20万元;若在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给牛奶厂1万元;若在约定日期后送到,每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂1万元.为保证牛奶新鲜度,汽车只能在约定日期的前两天出发,且只能选择其中的一条公路运送牛奶,已知下表内的信息:统计信息汽车行驶路线在不堵车的情况下到达
8、城市乙所需时间(天)在堵车的情况下到达城市乙所需时间(天)堵车的概率运费(万元)公路1231.6公路2140.8(1)记汽车选择公路1运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为(单位:万元),求的分布列和均值E().(2)选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多?(注:毛收入=销售商支付给牛奶厂的费用-运费)【解析】(1)若汽车走公路1,不堵车时牛奶厂获得的毛收入=20-1.6=18.4(万元);堵车时牛奶厂获得的毛收入=20-1.6-1=17.4(万元),所以汽车走公路1时牛奶厂获得的毛收入的分布列为:18.417.4PE()=18.4+17.4=18.3(万元).(2)设汽车走公路2时牛奶厂
9、获得的毛收入为,则不堵车时牛奶厂获得的毛收入=20-0.8+1=20.2(万元);堵车时牛奶厂获得的毛收入=20-0.8-2=17.2(万元).所以汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入的分布列为20.217.2PE()=20.2+17.2=18.7(万元).因为E()E(),所以选择公路2运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多.【变式备选】有甲、乙两个建材厂,都想投标参加某重点建设,为了对重点建设负责,政府到两建材厂抽样检查,他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标,其分布列如下:X8910P0.20.60.2Y8910P0.40.20.4其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时
10、要求选择较高抗拉强度指数的材料,越稳定越好.试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料.【解析】E(X)=80.2+90.6+100.2=9,D(X)=(8-9)20.2+(9-9)20.6+(10-9)20.2=0.4;E(Y)=80.4+90.2+100.4=9,D(Y)=(8-9)20.4+(9-9)20.2+(10-9)20.4=0.8.由此可知,E(X)=E(Y)=9,D(X)D(Y),从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同,但甲厂材料相对稳定,应选甲厂的材料.(20分钟40分)1.(5分)某运动员投篮命中率为0.6,他重复投篮5次,若他命中一次得10分,没命中不得分;命中次数为X,得
11、分为Y,则E(X),D(Y)分别为()A.0.6,60B.3,12C.3,120D.3,1.2【解析】选C.XB(5,0.6),Y=10X,所以E(X)=50.6=3, D(X)=50.60.4=1.2.D(Y)=100D(X)=120.2.(5分)有10件产品,其中3件是次品,从这10件产品中任取两件,用表示取到次品的件数,则E()等于()A.B.C.D.1【解析】选A.服从超几何分布P(=x)=(x=0,1,2),则P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=.故E()=0+1+2=.3.(5分)已知X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1x2,若E(X)=,D(X)=,
12、则x1+x2=_.【解析】由题意得,E(X)=x1+x2=,D(X)=+=,由得x1+x2=3.答案:34.(12分)某班同学利用国庆节进行社会实践,对25,55岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组25,30)1200.6第二组30,35)195p第三组35,40)1000.5第四组40,45)a0.4第五组45,50)300.3第六组50,55150.3(1)补全频率分布直方图,并求n,a,p的值.(2)从40,50)岁年龄
13、段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动,其中选取3人作为领队,记选取的3名领队中年龄在40,45)岁的人数为X,求X的分布列和均值E(X).【解析】 (1)因为第二组的频率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)5=0.3,所以高为=0.06.频率分布直方图补全如下:因为第一组的人数为=200,频率为0.045=0.2,所以n=1 000.第二组的频率为0.065=0.3,故第二组的人数为1 0000.3=300,因此p=0.65.由题意可知,第四组的频率为0.035=0.15,故第四组的人数为1 000 0.15=150,因此a=1500.4=60.(2)因为40,45)岁年龄段的“低碳族”与45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为6030=21,所以采用分层抽样法抽取18人,40,45)岁中有12人,45,50)岁中有6人.可知随机变量X服从超几何分布,所以P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以随机变量X的分布列为:X0123P所以E(X)=0+1+2+3=2.【变式备选】(2018山东师大附中模拟)为增强市民的
