《2020版高考数学（理）大一轮核心素养提升练 二十三 4.6正弦定理和余弦定理 含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学（理）大一轮核心素养提升练 二十三 4.6正弦定理和余弦定理 含解析（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 核心素养提升练 二十三正弦定理和余弦定理(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在ABC中,a=2,b=2,B=45,则A为()A.60或120B.60C.30或150D.30【解析】选A.在ABC中,由正弦定理得=,所以sin A=.又ab,所以AB,所以A=60或A=120.2.(2016全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=, c=2,cos A=,则b等于()A.B.C.2D.3【解析】选D.在ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A,即5=b2+4-,解得b=3或b=-(舍去).3.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的
2、对边,若a=2bcos C,则此三角形一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】选C.在ABC中,因为cos C=,所以a=2bcos C=2b,所以a2=a2+b2-c2,所以b=c,所以此三角形一定是等腰三角形.4.在ABC中,A=60,a=,b=,则ABC解的情况是()A.无解B.有唯一解C.有两解D.不能确定【解析】选B.因为在ABC中,A=60,a=,b=,所以根据正弦定理得sin B=,因为A=60,得B+C=120,所以由sin B=,得B=30,从而得到C=90,因此,满足条件的ABC有且只有一个.5.(2019郑州模拟)在ABC
3、中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,b=4,则ABC面积的最大值为()A.4B.2C.3D.【解析】选A.因为=,所以(2a-c)cos B=bcos C,由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,所以2sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C=sin(B+C)=sin A.又sin A0,所以cos B=.因为0B,所以B=.由余弦定理得b2=16=a2+c2-2accos=a2+c2-ac2ac-ac=ac,所以ac16,当且仅当a=c时等号成立.所以SABC=acsin16=4.故ABC面积的最大值为4.【变式备选】在锐角
4、ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=, a=3,SABC=2,则b的值为()A.6B.3C.2D.2或3【解析】选D.因为SABC=2=bcsin A,所以bc=6,又因为sin A=,所以cos A=,又a=3,由余弦定理得9=b2+c2-2bccos A=b2+c2-4,b2+c2=13,可得b=2或b=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2017全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=_.【解析】由正弦定理可得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+
5、C)=sin B,所以cos B=,又因为0B,所以B=.答案:7.在ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bcos A=sin B,且a=2,b+c=6,则ABC的面积为_.【解析】由题意可得:abcos A=asin B,所以asin Bcos A=sin Asin B,所以tan A=a=,所以A=.利用余弦定理有cos A=,结合a=2,b+c=6可得:bc=8,则SABC=bcsin A=8=2.答案:2【变式备选】在ABC中,三个内角A,B, C所对的边分别是a,b,c,若(b+2sin C)cos A=-2sin Acos C,且a=2,则ABC面积的最大值是_.
6、【解析】因为(b+2sin C)cos A=-2sin Acos C,所以bcos A=-2(sin Ccos A+sin Acos C)=-2 sin(A+C)=-2sin B,则=,结合正弦定理得=,即tan A=-,A=,由余弦定理得cos A=-,化简得b2+c2=12-bc2bc,故bc4,SABC=bcsin A4= .答案:8.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A+bsin B+bsin A= csin C,a=2,b=2,则sin B=_.【解析】因为asin A+bsin B+bsin A=csin C,所以a2+b2+ab=c2.由余弦定理得co
7、s C=-,又0C,所以C=.c2=a2+b2-2abcos C=22+(2)2-222=20,所以c=2.由正弦定理得=,即=,解得sin B=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.在ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,3(c-acos B)=bsin A.(1)求角A.(2)若sin Bcos C=,求角C.【解析】(1)由3(c-acos B)=bsin A得3(sin C-sin Acos B)=sin Bsin A,得:3sin(A+B)-sin Acos B=sin Bsin A,得:3cos Asin B=sin Bsin A,得tan A=,所以A=.(2
8、)因为B+C=,所以sincos C=,cos2C+sin Ccos C=,所以(1+cos 2C)+sin 2C=,即cos 2C+sin 2C=-,所以sin=-,又因为2C+b,sin Asin C=,ABC的周长为3+,求ABC的面积.【解析】(1)因为bcos A=(a-2c)cos(-B),由正弦定理得sin Bcos A=(sin A-2sin C)(-cos B),所以sin(A+B)=2sin Ccos B,所以cos B=,因为B(0,),所以B=.(2)因为A+C=,所以sin Asin=sin A=,所以 sin Acos A=cos2 A,cos A(sin A-co
9、s A)=0,即cos A=0或tan A=,解得:A=或,因为ab,所以A=,C=,所以c=,b=a,因为a+b+c=3+,所以a=2,c=1,b=,所以SABC=bcsin A=.5.(13分)(2019郑州模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且 acos C=(2b- c)cos A.(1)求角A的大小.(2)若a=2,求ABC面积的最大值.【解析】(1)由正弦定理可得: sin Acos C=2sin Bcos A- sin Ccos A,从而可得: sin(A+C)=2sin Bcos A,即 sin B=2sin Bcos A,又B为三角形的内角,所以sin B0,于是cos A=,又A为三角形的内角,所以A=.(2)由余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A得4=b2+c2-2bc2bc- bc,所以bc4(2+),所以S=bcsin A2+.所以ABC面积的最大值为2+.
