拓扑优化

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1、Topology Optimization 拓扑优化,简介,拓扑优化是用来描述优化设计特性的一个词汇，可以预测结构和机械系统的布局规划。也就是说，结构的拓扑或者布局应该是一个过程的结果。 原则上讲，拓扑优化的结果相对于尺寸优化和形状优化得到的结果来说也是最优的；但是，我们在这里也有必要提及一下，由于基本的设计参数上的不同，那么直接对这几种优化的结果比较仍是比较困难的。 而且，拓扑优化一般只能用于那些有适度数量约束条件的设计情况。我们应该把拓扑优化当做是那种可以直接给使用者提供新的设计方法或者进一步限制尺寸和形状优化的一种伴随的设计方法。,经典的拓扑优化的概念是在20世纪初期，由Michell提

2、出的，并且，这个概念是伴随着桁架结构设计的弹性极限设置所提出的。这时的拓扑优化主要是基于分析法。 很久之后，数学分析的方法得到普及，更多的明确的线性程序的技术和单一性方法被用于分析桁架结构设计最小重量下的应力。 通过考虑到下限到0的变量横截面积，单一载荷，桁架的拓扑优化最小柔顺度可以通过解一个线性问题就可得到。 这里，拓扑表示那些连在一起的节点，来自由一组给定的节点和与之相连的杆件组成的所谓的ground-structure。,这种给定一个参考域的想法ground-structure，随后被应用于连续结构的例子。这其中的一些基本想法首先在一些理论研究中得到阐释，这些理论主要是与那些为了获得适定

3、问题的公式化表达的均质化技巧的应用和存在性相关的。 反过来，这个成果构成了数值计算方法的基础，这个方法现在代表性地可以被称作材料分布方法，并且那些参数化设计的成果可以预测在给定参考域内材料分布的优化。 尽管最初的计算的结果主要依靠优化的最优准则，但现在代表性的方法是基于有限元分析的数学规划。这意味着许多材料分布法的基本求解技巧和尺寸优化发展出的方法很相似，但是有一系列与拓扑优化特有的参数化设计的特殊形式相关的复杂难点。而且，拓扑优化所要求的大规模的设定，当公式化设计问题要求解时，需要更多的注意。,在这个领域的最近的一个发展是对于设计的描述应用水平集的方法。这其中包含了一个隐含的对设计的描述，通

4、过有水平集函数所确定的水平集曲线。这意味着这样的方法依靠院子形状设计的精度分析，但是与标准形状设计方法相反的是，这个水平集法在拓扑上允许变化。 接下来，我们把精力集中于结构问题的材料分布法的发展并且给出几个在工业设置上的使用方法的实例。而且，当前有很多与多物理场设计问题以及水平集法和新的数学求解方法的多种发展相关的研究问题被提出。 为了总结这个领域的历史，我们参考了Eschenauer和Olhoff的详尽的回顾性文章，并且读者也参考了这个领域的多种专题著作。这包括大量的拓扑方面的著作，特别是在所谓的均质化方法和多样性方法的方面。,三种优化的直观区别,尺寸优化的设计变量是板的厚度，二力杆的截面积

5、以及梁截面的高度等结构的尺寸参数，尺寸优化的目的是要在满足结构的力学控制方程，周长约束以及诸多性态约束条件的前提下，寻求一组最优的结构尺寸参数，使得关于结构性能的某种指标函数达到最优。板在体积约束下，使得柔顺性最小的最优厚度分布设计，桁架结构在应力、位移约束下的重量极小化设计，Bemouli梁在体积约束下，使得基频最大化的最优高度分布设计都属于此类优化设计问题。,形状优化的优化变量为杆系结构的节点坐标或连续体的边界形状。形状优化力图通过调整结构的内外边界形状，来达到改善结构性能，节省材料使用的目的。如果结构的边界形状可以用一条曲线(曲面)的方程来描述，那么形状优化的目的就是要求得最佳边界形状所

6、对应的曲线(曲面)方程。对于大多数实际的形状优化问题，结构的边界形状常常采用一组适当的基函数并附加一些可以自由变化的参数来描述，此时，这些自由参数就可以选作形状优化的设计变量。对于平面桁架结构，节点的位置亦可以作为形状优化的设计变量，变化节点的位置坐标可以大大改善结构的力学性能。,而对于结构拓扑优化来说，其所关心的是离散结构中杆件之间的最优连接关系或连续体中开孔的数量及位置等。拓扑优化力图通过寻求结构的最优拓扑布局(结构内有无孔洞，孔洞的数量、位置、结构内杆件的相互联接方式)，使得结构能够在满足一切有关平衡、应力、位移等约束条件的情形下，将外荷载传递到支座，同时使得结构的某种性能指标达到最优。

7、拓扑优化的主要困难在于满足一定功能要求的结构拓扑具有无穷多种形式，并且这些拓扑形式难以定量的描述即参数化。,Michell在1904年在桁架理论中首次提出了拓扑优化的概念，用解析 分析的方法研究了应力约束、单荷载作用下的结构，得到最优桁架所应 满足的条件，后称为Michell准则，并将符合Michell准则的桁架称为 Michell桁架也称最小重量桁架这被认为是结构拓扑优化设计理论研 究的一个里程碑,发展概况,变厚度法几何描述方式 其基本思想是以基结构中单元厚度为拓扑设计变量，以结果中的厚度分布确定最优拓扑，是尺寸优化方法的直接推广。优点是方法简单，但不能用于三维连续体结构拓扑优化，一般用于处

8、理平面弹性体、受弯薄板、壳体结构的拓扑优化问题。 变密度方法材料（物理）描述方式 其基本思想是人为地引入一种假想的密度可变的材料，材料物理参数(如许用应力，弹性模量)与材料密度间的关系也是人为假定的。优化时以材料密度为拓扑设计变量，这样结构拓扑优化问题被转换为材料的最优分布问题。,水平集方法 基本思路是引入一个水平集函数 ，然后采用如下的方式对结构的拓扑形式加以描述：,采用水平集方法求解拓扑优化问题最大的优点在于它可以用一种隐含的方式灵活地描述结构的拓扑变化，可以很好的描述二维空间中的曲线运动和三维空间中的曲面运动。所有有关结构拓扑和结构边界的信息都体现在了这个水平集函数之中。在整个结构优化过

9、程之中，我们无需显式的提取出结构的边界。,结构渐进优化法(简称ESO法) 通过将无效的或低效的材料一步步去掉，获得优化拓扑，方法通用性好，可解决尺寸优化，还可同时实现形状与拓扑优化(主要包括应力，位移刚度和临界应力等约束问题的优化)。,2.问题的设定,柔顺机构的拓扑优化 首先假设线性弹性材料有微小的变形 柔顺结构的一个重要运用在于机电系统（MicroElectroMechanical Systems(MEMS),在该系统中小规模的计算使得很难利用刚体结构来实现铰链、轴承以及滑块处的机动性。 该问题可以表示为在输入端有一个外力作用下输出端的最大位移。为了满足几何最优和结构最优的假定，输出端用到了

10、弹簧刚度系数为kout的线性弹簧。刚度越大，则输出位移越小，输出载荷越大；相反，弹簧刚度越小，则输出位移越大，输出载荷越小。同时为了模拟输入端的激励，我们基于弹簧刚度系数为kin的线性弹簧，输入载荷为fin来建立线性应变模式,如果我们只考虑线性弹性材料（只发生微小变形）的分析问题，则决定输出位移的的有限元方法公式为：,其中K为刚度矩阵，f为载荷矢量，u是位移矢量，l是单元载荷矢量。 在平衡方程（1）中，刚度矩阵K由设计变量 决定,（1）,2.1. 0-1规划问题,对于拓扑优化设计的一个基本问题就是决定分析域中的哪些单元来作为最终的结构，设计变量 (在有限元网格中每个单元的真实变量)为离散值，且

11、 因此在定义域 内的优化问题可以写成如下形式：,（2）,当分析网格与栅格吻合时，刚度矩阵就可以写成如下形式:,其中Ke为单元刚度矩阵，下标lin表示它与设计变量是线性关系。 如果我们希望将问题设定成一个标准的嵌套式方程，其中要求平衡条件能排除使刚度矩阵奇异的情况，可以用一个很小但非零的值 来代替 ，其刚度矩阵可以写成：,（3）,（4）,现在我们可以把优化设计问题写成：,（5）,式（5）的优点是所分析的问题可以在一个定义域内解决，也就是说如果放松整数约束条件，那么问题就可以转化成标准的尺寸优化问题。,然而，式（5）是一个带整数变量的非凸数学规划问题，此外由于我们是从网格表示的方法来定义该拓扑优化

12、问题的，所以其计算规模非常大，因此为了找到一个有效的解决方法，必须运用大量的单元，如果是三维问题，情况就更厉害了。 这不仅意味着需要处理大量的设计变量，而且也影响到有限元分析的计算成本。些为了得到高精度的设计，运用模拟退火法、遗传算法、或是确定性方法计算成本都是很高的，而且这些方法只适用于相对较小的规模，或是些特定的设计问题，如最小柔顺性问题。 在式（2）的连续性问题假设中可以看出，寻求结构拓扑的基本思想是通过寻找一个在定义域 的子集上定义的指示函数来得到的，很明显这一问题很难解决，我们可以通过限制子集的等级或是扩展设计集来获得一个适当的模式。对于柔度，均匀的多尺度层状微结构组成了一个扩展的设

13、计空间，同时也意味着整数约束 松弛 为连续约束。,2.2 解决灰色尺度：差值模式,由于整数模型的计算求解非常困难，通常采用变量连续化方法，将0-1整数变量问题变为01间的连续变量优化模型，获得方程（在设计变量上松弛整数约束）的最直接方式是考虑以下问题：,其中 可取0-1之间的值,（6）,然而这种方程会导致较大区域内 是在0-1之间的值，所以必须添加额外的约束来避免这种“灰色”区域。要求是优化结果基本上都在 或 ，即密度变量要收敛到0-1， 若取中间密度值是要被惩罚的，必须选择一个惩罚函数直接加到目标函数中，其形式为：,一种有效的避免上述问题的方式称为采用中间材料密度惩罚模型，最常用的为SIMP

14、(固体各向同性材料惩罚法)模型，这种方式的刚度矩阵为：,（7）,（8）,其中指数p1,也就意味着设计问题变为：,（9）,在SIMP模式中选择P1是为了使中间密度值不可取，也就是说中间密度的刚度矩阵与体积相比是很小的，当体积约束在优化问题中起主导作用时，如果我们将p取的足够大（根据经验可取p3），这将会导致黑白（即0-1）设计问题。,式（9）优化设计问题是一种标准的连续变量的尺寸优化问题，并且是在一个固定域定义的。所以前一节提到的方法也可以应用到该问题上。 人们也提出了多种以上问题的替代形式，都是基于同样的原来，即可以在0-1之间差值或是根据材料特性，在弱材料 和强材料 之间差值。这种模型称为R

15、AMP模型，其刚度矩阵为：,其中q应该适当的取大一点，这种方法是为了得到一个方程，使最小柔顺性问题在设计变量上变成凹的（这就要求 ），因此产生了可以保证整数值的方法。,（10）,2.3 灰色尺度的解释：材料模式,如果我们将公式（9）中的p=1，则又回到了式（6）的假定，这个问题在二维空间里可以解释成是一个薄盘的结构设计问题，其中每个单元的厚度是由 决定的。对于SIMP方法，如果这种模式可以从物理的角度来解释，那么“灰色”区域就可以理解成是由混合材料组成的区域。这种对比主要是为了更好的理解计算流程，然而，如果数值方法导致了0-1规划，那就可以忽略这一目的。 如果我们想构造一种材料模式来模拟SIM

16、P模式的话，我们至少应该满足著名的二阶材料特性的 Hashin-Shtrikman 边界，这表示了带有微结构（由两种给定的材料，即线弹性材料和各向同性材料构成）的各向同性材料的边界。为了满足这样的边界条件，SIMP模式中的指数p应该要满足一定的条件，这些条件是由空间维度和泊松比决定的。比如说，在二维和三维空间中，p 应该满足的条件是,3. 求解方法,3.1 计算框架,解决式（9）的方法是基于有限元分析，并结合数值规划算法来进行迭代的，式（9）的迭代形式为：,这意味着我们将分析结果作为调用函数，并进行灵敏度分析，这都是为了运用基于梯度的优化算法。,（11）,3.1.1 有限单元法（FEM）,有限元法模式涉及到材料分配法，这使计算规模变大，尤其是在三维问题中。然而我们是在一个固定的网格上进行计算的，所以无需在设计域上重新画网格，此外特定的刚度矩阵也就是所有单元的矩阵是可以预先计算的，设计变量的改变只相对影响整体刚度矩阵。如果定义域是矩形