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1、海森堡的不确定原理及其它的数学推导今年12日5日是德国著名物理学家沃纳海森伯(W.Heisenbery1901-1976)诞辰100周年纪念日；1901年12月5日, 海森伯出生于维尔茨堡古希腊语教师的家庭,19岁时成为慕尼里大学著名理论物理学家索末菲(Sommerfeld) 的弟子,1924年取得博士学位.1925年率先从修改经典分析力学的途径为创立量子力学矩阵形式作出了开拓性的工作，1927年提出了著名的“不确定原理”；这便成为20世纪物理学发展的一个重要里程碑。同时，他对原子核、铁磁性、宇宙射线、基本粒子等概念的理解作出了重大的改进，并于1932年获得诺贝尔物理学奖金，他被公认为20世纪
2、最具创新能力的思想家之一；本文重在对海森伯在量子力学的矩阵形式和“不确定原理”这两项重要贡献作简单的历史性回顾，以示对这位伟人最真挚的纪念。 不确定原理海森伯非常注重量子力学的物理图象和原理，他早就认识到，把经典的电子坐标换成量子的跃迁振幅，相当于要从量子理论来重新解释运动学，亦即要从量子论的图象来重新描述电子的运动1926年薛定谔（Schrodinger）创立了波动力学，随后又证明了波动力学与量子力学完全等价实际上，海森伯的量子力学选择了力学量随时间改变而态不随时间改变的物理图象，薛定谔的波动力学则选择了态随时间改变而力学量不随时间改变的物理图象电子运动的量子特征在海森伯图象中表现得很突出，
3、而电子运动的波动特征在薛定谔图象中表现得十分清楚，电子运动的量子性和波动性已经被纳入了一个自洽和完整的理论体系紧接着薛定谔的工作，玻恩用薛定谔波动方程研究量子力学的散射过程，提出了波函数的统计诠释，指出薛定谔波函数是一种几率振幅，它的绝对值的平方对应于测量到电子的几率分布认识到了量子力学规律的统计性质，这就为海森伯提出量子力学的不确定原理在观念上奠定了基础使海森伯疑惑不解的是：既然在量子力学中不需要电子轨道的概念，那又怎么解释威尔逊（C.Wilson）云室里观察到的粒子径迹呢？经过几个月的思索，1927年初海森伯忽然想起，年前在一次讨论中，当他向爱因斯坦（Einstein）表示“一个完善的理论
4、必须以直接可观测量作依据”时，爱因斯坦说道：“在原则上，试图单靠可观测量去建立理论那是完全错误的实际上正好相反，是理论决定我们能够观测到什么东西”7在这一回忆的启发下，海森伯仿效爱因斯坦在狭义相对论里对同时性的定义方法，马上领悟到：云室里的径迹不可能精确地表示出经典意义下的电子路径或轨道，它原则上至多给出电子坐标和动量的一种近似的、模糊的描写在这种想法指导下，他用高斯型波函数来研究量子力学对于经典图象的限制，立即导出了同时测量粒子的坐标和动量所受到的限制：海森伯引用狄拉克约尔丹变换理论如下对于位置坐标q的一个高斯型波函数(或海森堡所称的“几率振幅”)由下式给出：8 （11） 其中q是高斯凸包的
5、半宽度，根据玻恩的几率诠释，它表示一个距离的范围粒子几乎肯定处于此范围中，因而表示位置的测不准量（q为标准偏差）。按照交换理论，动量分布应为，其中通过傅里叶变换得出： （12） 或 （13）令 积分海森堡得到 （14） 它表明动量的测不准量为 （15） 因此 （16） 或 （17）这就是海森伯关于位置和动量的“不确定关系” . 后来,海森伯还通过对确定原子磁矩的斯特恩盖拉赫(Stem Gerlach)实验的分析证明，原子穿过偏转场所费的时间越长，能量测量中的不确定性就越小。若我们要测量某几个定态的能量，那么因为偏转力的位能在原子束的宽度d内的变化不允许大于这些定态的能量差，所以偏转力之最大值为
6、d；于是动量为p的原子束的角偏转由pd给出；但是，因为至少必须等于决定原子束宽度d的狭缝所引起的衍射角d，其中按照德布罗意关系=hp，于是海森伯得到结论： （18） 或 （19） 海森伯认为，这个方程“表明，能量的准确测定如何只有靠相应的对时间的不确定量才能得到”。1正如他在1929年春天他在芝加哥大学发表了题为“量子论的物理原理”的演讲时指出的：“一般说来，任何一个测定某些物理量的实验，同时也就会改变以前所获得的另一些物理量的知识即使定量地追溯这种影响，我们仍会发现，在很多情况下，同时测量两个不同物理量总是存在一个不能再提高的精度下限相对论对经典概念进行批判的出发点，是假设不存在大于光速的信
7、号速度类似地，我们可以把同时测量两个不同的物理量有一个精度下限，即所谓不确定关系，假设为一条自然定律，并以此作为量子论对经典概念进行批判的出发点这个不确定关系告诉我们，要对原子过程作出一致描述，必须在多大程度上摆脱经典概念的限制” 9海森伯后来很富有哲学意味地对他的不确定原理进行如下阐述：人在认识微观客体时，就如同一个瞎子想知道雪花的形状，于是用手摸一摸雪花，但是雪碰到手就化了，所以瞎子永远无法知道雪花的真正形状。同样，覌测过程中主体对客体的干扰，也使我们不可能真正知道客体的状况。 对射线显微镜实验的圆满的分析，应当从阿贝光学衍射理论的下述定理出发：显微镜的分辨本领的表示式为12sin（在空气
8、。rl），其中为所用的光的波长，2为透镜的直径在物点所张的角。因此任何位置测量都包含有物平面的方向上的一个不确定量 若一个波长为从而动区为h的光于沿轴射到一个电子处，电子在方向的动量分量为Px，则在碰撞前之总动量为=(h) px。对于用显微镜能观察到的电子。光量子必须被散射到角度上之内。即PA与PB(极端向前散射与极端向后散射)之间的某个方向，其波长由于康普顿效应相应地在与之间。因此，被散射的光量子的动量x分量处于hsin与hsin。从”之间。如果用px和px相应表示在这两种极端的散射情况下电子量显的x分量那么动量守恒就要求 或 其中用代替和，因为我们只对数量级感兴趣由于无法这是整个事情的关键
9、精密判明光量子究竟是被散射到角2内的哪个方向，碰撞后电子动量的x分量的不确定性不能更小了，这个px和x一起，使得不能对碰撞后(换句话说测量之后)则粒子轨道作任何准确的确定或预言。显然，xph。 海森堡在他在芝加哥的讲演中，沿用了肯纳德对他自已的推导（见上）的改进，对测不准关系证明如下。（我们把缩写为缩写为，并假定已归一化）。从关系式， ， ， 和不等式 (其中是一个任意的实常数) 可得 选并在等式中假定=0，海森堡得出了关系式。特哈尔和尼科耳认为上述推导“不够严格”，因为的选择是特殊的，并且“选择不同的值时人们所导出的x与p之间的关系将和海森堡关系完全不同”。为了严格地得出关系式（1），他们指
10、出，应当取满足 的(x)2和(p)2最小组合，即上式中等号成立时(亦即时)所发生的(x)2和(p)2的组合；因为在所有其他情况下事情要更不利一些，因此普遍成立。戈米德和布拉加雷戈33反过来又批评这种推导“不完余余人满意” ，他们从上面关于的二次三项式的判别式，恒不为正出发推导出(1)式，并且论证说海森堡的推导过程“永远成立，与的本性无关”。 后来对测不准关系的推导 康敦研究了海森堡关系是否适用于任何一对非对易算符的问题他争议说；（1）非对易性并不一定隐含有这种关系，（2）事实上，可以精确知道两个非对易算符的某些同时的值，以及（3）即使算符对易，精确度也可能受到限制。为了证明第一点，康敦考虑角动
11、量分量Lx有确定值m的氢原子波函数 ， 因为对这个态，显然LxLz=0，虽然Lx和Lz并不对易。为了证明上述第二点，康敦选取态noo，这个态的Lx=Ly=Lz=0，因此也有Lx = Ly =Lz =0，最后，为了证明第三点。康敦指出，对于态（即 Lx=0）有LxLy-LyLz=0，虽然Lx0及Ly0。 在康敦完成他的论文之后五个星期，他在普林斯顿的巴耳末物理实验室的一个同事罗伯逊在一篇短文中首次普遍地证明，两个自伴算符A和B的标准偏差之积绝不会小于它们的对易子c=I(AB BA)的平均的绝对值之半。他的证明已为大多数现代教科书所采用。令A1为A1=A因而标准偏差A为(B1同样定义)，并定义D为
12、D=A1+iB1，其中为一实效，易得 由于这个关于的二次多项式的判别式不能为正，因此有 对于A=q和B=p，罗伯逊得到，从而qph4，同海森堡的结果一致”。对于分母中的表面上的不符合(在海森堡的公式中分母为2)狄奇本立即作了澄清，他还证明了（与JL辛格合作）当而且仅当散布是高斯型分布（正如海森堡所假定的川等号才成立。 对普遍公式的进一步改进是薛定愕得到的。我们从他同玻尔和爱因斯坦的通信“中得知他曾对测不准关系的各种含意则如它们和一容器内的理想气体的原子的分立能级的可分辨性的关系）极感兴趣。1930年春天，他研究了下述问题：在一次最佳的对P、q的问则测量中，不可避免的不确定性h4应如何在两个变量
13、p、q之间分配，以使得在给定的一个后来时刻位置不确定性最小。他同素末菲讨论了这个问题。索末菲让他注意康敦和罗伯逊的论文。薛定愕立即看出罗伯逊的结果可以得到加强，因为对于任何两个自伴算符A和B以及对于任何态小都有 虽然薛定谔的公式中的最后一个平方项常常为零，如同在一切对正则共轭变量的最佳同时测量的情形那样，薛定谔的公式还是对罗伯逊的结果重要改进。有好些的早期的量子力学教科书把海森堡的理想实验当成量子力学的“实验”基础或“逻辑”基础。不过，虽然如我们将看到的，这些理想实验对量子力学理论及其诠释的发展起过极其重要的作用，但是，主要由于这些理想实验对测不准关系的所谓操作解释，它们也容易受到这样的责难：虽然它们公开是想要否定古典物理学的本体论，但是暗中却又在某种程度上采用了它。4
