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1、第二章 连续时间系统 的时域分析,本章的主要讲授内容,1、微分方程的建立和求解,2、起始点的跳变从0-到0+状态的转换,3、自由响应和强迫响应,4、零输入响应和零状态响应,5、冲激响应和阶跃响应,6 、卷积,7 、卷积的性质,8 、用算子符号表示微分方程,第一节 引言,一、连续时间系统分析方法,连续时间系统,输入输出法 或端口描述法,高阶微分方程（t及t的导数）,系统分析的任务：对给定的系统模型和输入信号求系统的输出响应。,二、时域分析法,时域法：不通过任何变换，直接求解系统的微分、积分方程。,系统的分析与计算全部在时域内进行。,时域分析法优点：直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析方法的基
2、础。,目前计算机技术的发展，各种算法软件的开发，使这一经典的方法重新得到广泛的关注和应用。,三、时域分析法手段,时域分析法有两种：,一种经典法直接求解微分方程；,另一种是卷积法；即已知系统的单位冲激响应，将冲激响应与输入激励信号进行卷积积分。,1、经典法,经典法求微分方程：求齐次解和特解。,经典法着重说明物理意义。,建立自由响应和强迫响应、零输入响应和零状态响应概念。它使线性系统分析在理论上更完善，为解决实际问题带来方便。,2、卷积法,卷积法：用卷积积分只能求到系统的零状态响应。零输入响应仍要用经典法求得。,卷积法：物理概念明确，运算过程方便，是系统分析的基本方法。是近代计算分析系统的强有力工
3、具。,卷积法也是时域与变换域分析线性系统的一条纽带，通过它把变换域分析赋清晰的物理概念。,3、算子符号法,微分方程的算子符号表示法： 它使微分、积分方程的表示及某些运算简化。 也是时域经典法向拉普拉斯变换法的一种过渡。,第二节 微分方程式的建立与求解,一、微分方程的建立,线性时不变系统,线性的常系数微分方程,具体系统物理模型,也即：,常系数微分方程建立,例2-1,如图所示RLC并联电路，求并联电路的端电压v(t)与激励源is(t)间的关系。,解：把v(t)作为变量，根据元件的电压电流关系有：,电阻：,电感：,电容：,将上三式化简得：,根据基尔霍夫电流定律有：,例2-2,如图所示机械位移系统，质
4、量为m的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦系数为f，外加牵引力为Fs(t)，求外加牵引力Fs(t)与刚体运动速度v(t)间的关系。,解：由机械系统元件特性：弹簧在弹性限度内，拉力k与位移x成正比。,设刚度系数为k，有,其中f为摩擦系数。,刚体在光滑表面滑动，摩擦力f(t)与速度v(t)成正比。,运动物体的惯性力由牛顿第二定律决定：,化简得：,此为机械位移系统的微分方程。,整个系统力的平衡由达朗贝尔原理确定：,作业,P81，2-1,二、微分方程的求解,1.微分方程表达式,、微分方程的经典法全解形式,则由时域经典法求解可得其完全解为,、齐次方程的求解,齐次方程为：,将其
5、解代入齐次方程，并化简：,（1）特征根的求解,（2）特征根的情况分析,（）特征根各不相同（无重根）的情况下，微分方程的齐次解为,则相应于1的k阶重根，有k项：,其中常数A1,A2,An由初始条件决定。,（）特征根（有重根）的情况下，如1是方程的k阶重根，即：,例2-3,求如下所示的微分方程的齐次解。,对应的齐次解为：,特征根：,解：系统的特征方程为,因式分解：,其中A1，A2，A3为待定系数。,4、微分方程的特解,微分方程的特解rp(t)的函数形式与激励信号的形式有关。,将激励e(t)代入方程式的右端，化简后右端函数式称为“自由项”。,通过观察自由项的函数形式，试选特解函数式。,代入方程，求得
6、特解函数式中的待定系数。即求出特解rp(t)。,（1）求特解的步骤,（2）几种典型激励信号对应特解的形式,若表中的特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项：t倍乘表中特解。,例子2-4,给定微分方程式,如果已知：,分别求两种情况下此方程的特解。,为使等式两端平衡，设特解函数式：,为待定系数，将此式代入方程：,等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：,联立解得：,特解为：,为待定系数，将此式代入方程：,特解：,系统方程的完全解：,为待定系数，由边界条件决定。,第三节 起始点的跳变从0-到0+状态的转换,一、响应区间,在系统分析中，定义：,响应区间：确定激励信号e(t)加入后系统的状态变化区间。,一
7、般激励e(t)都是从t=0时刻加入，此时系统的响应区间定为：,二、起始状态,系统在激励信号加入前瞬间的一组状态：,称为系统的起始状态，简称0-状态.,起始状态包含了计算未来响应的全部“过去”信息。,由于受激励的影响，这组状态从t=0-到t=0+时刻可能发生变化。,系统0-状态：就是系统中储能元件的储能情况。,三、初始条件,确定系统完全响应：,通常为了确定系统的待定系数，须根据系统的0-状态和激励信号情况求出0+的状态。,初始条件：（导出的起始状态）：由响应区间t=0+时刻组成的一组状态：,四、初始条件的求取,五、冲激函数匹配法,冲激函数匹配法原理：根据t=0时刻微分方程左右两端的(t)及其各阶
8、导数应该平衡相等。,系统的0-状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t) 及其各阶导数。,如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0-到0+状态发生了跳变，即,冲激函数匹配法步骤： 函数只匹配(t)及其各阶导数项，使方程两端这些函数项对应相等。 （1）先从最高阶项开始匹配； 匹配从方程左端r(k)(t)的最高阶项开始，首先使方程右端函数最高阶次项得到匹配。,（2）最高阶项匹配好后对低阶项的影响； 每次匹配方程低阶函数项时，如果方程左端所有同阶次函数各项系数之和不能和右端匹配，则由左端r(k)(t)最高阶项中补偿。 （3）匹配低阶项。已匹配好的高阶次函数项系数不变。,例子,则
9、代入方程得,(2)法：可设,举例2：,解：,如图所示电路，t0时开关S处于1位置且达稳态，t=0时开关S由1位置转向2位置。建立i(t)微分方程并求解。,求待定系数。因为,作业,P82，2-5,自由响应：微分方程的齐次解表示系统的自由响应。它的形式由表示系统特性的特征方程根i决定。 系数由系统0时刻的初始状态决定。i又称为系统的“固有频率”（或“自由频率”、“自然频率”）。,从系统分析的角度，线性常系数微分方程描述的系统为线性时不变系统。,回顾：线性常系数微分方程的经典解法。,强迫响应：微分方程的特解表示系统的强迫响应。 可见强迫响应只与激励函数的形式有关。,六、自由响应与强迫响应,系统的完全
10、响应：包括系统自身特性决定的自由响应、与外加激励信号有关的强迫响应两部分。,第四节 零输入响应和零状态响应,一、零输入响应与零状态响应,1.微分方程的求解,2.零输入响应,零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。,表21 二阶常系数齐次线性微分方程求解,表22 其它高阶微分方程,3、零状态响应,零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号所产生的响应。,4、系统全响应,系统全响应的表达式：,举例2.6,解：1）求零输入响应,描述某LTI系统的微分方程为,2）求零状态响应,例28,作业,P81，2-4，2-6，2-7,
11、5.瞬态响应和稳态响应,6.系统的线性时不变性,第五节 冲激响应与阶跃响应,1.冲激响应,冲激响应的求解方法,法1：根据H(p)求 法2：将冲激激励的影响看成是 时的初始条件，按求零输入响应的方法求解。 法3：拉普拉斯变换法,2.冲激响应求解: t0+时的零输入响应（法2）,3. 利用H(p)求冲激响应,系统微分方程用算子法表示为： 先假设nm,这时，用转移算子表示的冲激响应为：,1. 设系统特征方程的根均为单根，则 故冲激响应为： 2. 若特征方程的根有2重根（较常见），则与之对应的冲激响应的形式为：见第五章拉普拉斯反变换,n=m时，有 nm时，h(t)包括 ，还包含有直到 的冲激函数的各阶
12、导数。 例如,4.阶跃响应,举例2.9：,解：系统的微分方程为：,求例2.5中系统的电流i(t)对激励e(t)=(t)的冲激电流响应h(t)和阶跃响应g(t).,它的齐次解形式为：,求系统的冲激响应h(t) 其满足上方程：,利用冲激函数匹配法求h(0+)及其导数h(0+)。由于方程右端自由项(t)的最高阶导数为(t),求阶跃响应,作业,P2-9,2-11,2-20，2-21，,第六节 卷积,1.卷积积分定义及物理意义,卷积方法最早的研究可追溯到19世纪初：数学家欧拉(Euler)、泊松(Poission)、杜阿美尔(Duhamel)等人。,卷积方法的原理：是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的
13、冲激响应h(t)，求解系统对任意激励信号的零状态响应。,卷积积分中积分极限很关键，务必在运算中注意。,2.用卷积积分法求零状态响应,3.卷积方法,若将此信号作用到冲激信号为h(t)的线性时不变系统，则系统的响应为,原理：任意信号可以用冲激信号的组合表示：,这就是卷积方法。,4.卷积积分图解法,卷积积分图解法：可以把卷积运算中一些抽象的关系形象化，便于理解卷积的概念及方便运算。,卷积积分图解法五个步骤： 、反折 、平移 、相乘 、相加,具体地： （）改换图形中的横坐标，由t改为，变成函数的自变量； （）把其中一个信号反折（反褶）。 （）把反折后的信号做位移，移位量是t，这样t是一个参变量。在坐标
14、系中，t0图形右移；t0图形左移。 （）两信号重叠部分相乘e()h(t- ); （）完成相乘后图形的积分。,举例2.10,（）反折,（）平移（左移到与另一信号没有重合后，再右移。,（）相乘,t-2,（4）相加：以上各图中的阴影面积，即为相乘积分的结果。最后，若以t为横坐标，将与t对应积分值描成曲线，就是卷积积分e(t)*h(t)函数图像。,作业,P84,2-15，2-19，2-24，,第七节 卷积的性质,卷积性质,卷积性质可以使卷积运算简化。,作为一种数学运算，卷积运算具有某些特殊性质，这些性质在信号分析中有重要作用。,1.卷积代数,2.卷积的微分与积分,3.与冲激函数或阶跃函数的卷积,举例2
15、.11:,注意,举例2.12: 如图所示系统的e(t)、h(t)，求其零状态响应,解：,注意,举例2.13:,冲激函数当t0后为零,卷积积分的上、下限讨论 （1）若 （2）若 为因果信号， 为一般信号，则上、下限可写为 （3）若 为一般信号， 为因果信号，则上、下限可写为 （4）若 均为一般信号，则上、下限应为 注：因果信号：,第八节 LTI系统的响应,全响应零输入响应零状态响应 例28：用卷积的方法求零状态响应,齐次解,解：先求单位冲激响应h(t),然后求系统的零状态响应 t0时，e(t)=4u(t) 则：,作业,P84，2-13，2-14，2-16,第九节 用算子符号表示微分方程,一、算子
16、符号,1.算子符号概念,2.算子符号基本规则,算子多项式仅仅是一种运算符号，代数方程中的运算规则有的适用算子多项式，有的不适用，这里提出两条基本规则：,3.用算子符号建立方程,举例2.14,用算符建方程举例：如图1所示系统。,画出含算符电路图如图2所示。,解：,举例2.15:,4.传输算子概念,用输入输出描述系统时，关心的是输入激励对输出响应的影响，它们之间的关系是通过微分方程形式相联系，即：,把响应r(t)与激励e(t)之间关系表示成显式形式：,可通过此算子完整地建立描述系统的数学模型。,作业,P87，2-28,总结,本章主要讲授的内容有：连续时间系统的时域分析,1、微分方程的建立和求解,2、起始点的跳变从0+到0-状态的转换,3、零输入响应和零状态响应,4、冲激响应和阶跃响应,5 、卷积,6 、卷积的性质,7 、用算
