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1、第七章 离散信号与系统时域分析,7-1 离散时间信号 一、定义: 只在一系列离散的时间点上才有确定值的信号。,取样间隔一般取均匀间隔,而在其它的时间上无意义，因此它在时间上是不连续的序列,并是离散时间变量的tk函数。,获取方法： 1）直接获取 2）连续信号取样,表示方法： 1）图形表示 2）数据表格,3）序列表示,一般简化记为f(n)或f(k),例:,试写出其序列形式并画出图形。,解：序列形式,波形：,序列的几种形式,单边序列：,双边序列：-k, f(k)0,有限序列：k1kk2,f(k)0,左序列： k0，f(k)=0,右序列： k0，f(k)=0,二、离散信号时域运算,1.相加: 用同序号
2、的值对应相加后构成新的序列。,y(k)=f1(k)+f2(k),2.相乘: 同序号的数值对应相乘后构成新的序列。,y(k)=f1(k)f2(k),3、数乘: 完成序号值的比例运算。,y(k)=Af(k),4、累加和: 序号前k项值累加得到一个新序列。,三、离散信号时域变换,1.移序: y(k)=f(k-m),2.折叠: y(k)=f(-k),3.倒相: y(k)=-f(k),4.展缩: y(k)=f(ak),5.差分: 序列与其移序序列的差而得到一个新序列。,y(k)=f(k)-f(k-1),y(k)=f(k+1)-f(k),（后向差分）,（前向差分）,(横坐标k只能取整数),即：展缩后序列y
3、(k)可能会出现 k为非整数情况，此时舍去非整数的k及其值,1.单位序列（单位取样序列、单位脉冲序列、单位函数）,推广：,性质：,可见，(k)作用类似于(t)， 但二者有较大差别：,四、常用离散信号,(t) ：奇异信号，数学抽象函数； (k)：非奇异信号，可实现信号。,利用单位序列(k)表示任意序列,例：,注意：,(t)用面积（强度）表示， (幅度为,但强度为面积),(k)的值就是k=0时的瞬时值（不是面积）,2.单位阶跃序列,U(k)可以看作是无数个出现在不同序号上的单位序列信号之和。,推广：,性质：,U(t) ：奇异信号，数学抽象函数； U(k)：非奇异信号，可实现信号。,可见，U(k)作
4、用类似于U(t)， 但二者有较大差别：,3.单位矩形序列（单位门序列）,4.斜变序列,5.单边指数序列,6.正弦序列,(T为抽样间隔时间),（模拟角频率）,令,（数字角频率）,离散正弦序列的周期,注意：,7-2 离散时间系统基本概念,一、定义： 激励、响应均为离散时间信号的系统。,二、分类：,线性系统 非线性系统,线性系统：,时不变系统：,因果系统 非因果系统,因果系统,时不变系统 时 变 系 统,y(k)=Tf(k),三、离散时间系统模型,1、差分方程描述：,例1：y(k)表示一个国家在第k年的人口数， a、b分别代表出生率和死亡率，是常数。设f(k)是国外移民的净增数，则该国在第k+1年的
5、人口总数y(k+1)为多少？,y(k+1)=y(k)+ay(k)-by(k)+f(k),=(a-b+1)y(k)+f(k),所以，有 y(k+1)+(b-a-1)y(k)=f(k),例2：某人每月初均存入银行固定款f(k) ，月息为a ，每月本息不取，试求第k个月的初存入款时的本息和y(k) 为多少？,有 y(k)-(1+a)y(k-1)=f(k),例3：,例4：图示电路，写出节点电压关系。,讨论：,（1）差分方程： 由激励序列f(k) 、响应序列y(k)以及其移序序列组成的方程。 含y(k)，y(k-1)，的差分方程: 后向差分方程 含y(k)，y(k+1)，的差分方程: 前向差分方程 （2
6、）差分方程 阶数：响应最高序号与最低序号的差值。 （3）离散自变量k不一定限于时间。,2、传输算子描述 （1）移序算子,y(k-1)E-1 y(k),y(k+1)Ey(k),y(k-N)E-N y(k),y(k+N)EN y(k),E-1 : 单位延迟算子,（2）算子形式的差分方程,2） y(k)-(1+a)y(k-1)=f(k),1-(1+a)E-1 y(k)=f(k),对于一般n阶离散系统，有,（3）传输算子,3. 模拟框图,（1）模拟单元 1）加法器,f1(k),y(k),f2(k),2) 比例器,y(k)=f(k-1),3) 延迟器,f(k),y(k),f(k),y(k),（2）模拟框
7、图,4、信号流图,例1：图示框图，写出差分方程。,系统的差分方程为,例2：图示信号流图，写出传输算子。,一、齐次差分方程时域解,7-3 离散系统时域经典分析,传输算子,1）自然频率全部为单根：,2）自然频率含重根： E1=E2=Er，其余单根,齐次差分方程：f(k)及其各依序项均为零，即求解方程：,例1：已知某系统激励为零，初始值y(0) =1 ， y(1)=4，描述系统的差分方程为,求系统的响应 y(k)。,解：,系统自然频率为：,=1,=4,例2：已知某离散系统初始值为y(0)=2，y(1)=0，传输算子,求激励为零时系统的响应y(k)。,解：,=2,=0,例3：如图所示离散时间系统模拟框
8、图，当f(k)=0，y(1)=1，y(2)=0，y(3)=1，y(5)=1。求响应y(k)。,解：,由图可求得传输算子为,解：,由图可求得传输算子为,由题目给定条件，有,二、非齐次差分方程时域解,传输算子,齐次方程通解形式取决于系统的自然频率，即特征根的形式； 非齐次方程特解形式取决于系统的激励形式，不同激励有不同的特解形式。,时域解为,特征方程,（自然频率）,齐次方程通解,非齐次方程特解,几种典型信号激励下相应特解的形式：,(含有r重等于1的特征根),(不含等于1的特征根),(不含等于a的特征根),(含一个等于a的特征根),(含有r个等于a的特征根),例：已知描述系统的差分方程为 初始条件y
9、(0)=0， y(1)=2，求系统的响应 y(k)。,代入差分方程，可得,解：,经典法基本步骤：,1）求系统数学模型（差分方程、传输算子等）； 2) 写出特征方程，并求出特征根（自然频率）； 3）根据特征根，求对应齐次方程通解y0(k)； 4）根据激励形式、特征根，写出差分方程的特解形式，代入差分方程，求非齐次方程特解yt(k) ； 5）写出非齐次方程通解 y(k)= y0(k) + yt(k) ： 6）根据初始值确定y(k)中y0(k) 部分待定系数； 7）写出给定条件下非齐次方程解。,三、差分方程递推求解法, ,优点：任意形式激励，计算机求解容易、直观。,四、全响应分解形式,全响应=自由响
10、应+强迫响应,全响应=零输入响应+零状态响应,全响应=暂态响应+稳态响应,缺点：难以形成封闭形式（解析式），响应规律性难以确定。,五、离散系统的初始状态,y(0)=yzi(0) +ysi(0),yzi(0): 零输入初始值，表示激励信号作用之前（零输入）系统的初始条件，与系统激励无关，是系统的初始储能，是系统真正的初始状态,y(0)： 系统在有了激励信号之后系统的初始条件，既有零输入时初始状态（初始储能），也有激励信号的贡献,ysi(0)： 零状态的初始值，仅有激励信号产生,六、初始状态的应用,1、求零输入响应时，应采用零输入初始值yzi(0),2、求零状态响应时，即yzi(0)=0，而不是y
11、(0)=0,3、求全响应时，用初始条件确定常数，采用y(0),例：已知某系统初始状态y(-1)=0， y(-2)=0.5，描述系统的差分方程为,求系统的响应 y(k)。,解：,零状态下：y(-1)=y(-2)=0，并代入上式，有,一、单位序列响应定义,7-4 离散系统单位序列响应,二、单位序列响应求解 1、 一阶系统,激励为单位序列信号时离散系统的零状态响应.,当 f(k)=(k), y(k)=h(k)时，有,（1） 递推法：,（2）等效初值法：,（3）传输算子法：,由于单位序列(k)仅在k=0处等于1，而在 k0时为零，因而在k 0时，系统的单位序列响应与该系统的零输入响应的函数形式相同。这
12、样就把求单位序列响应的问题转换为求差分方程齐次解的问题，而k=0处的值h(0)可按零状态的条件由差分方程确定。,2、高阶系统：递推法、等效初值法、传输算子法,传输算子法求解h(k)步骤：,2、高阶系统：递推法、等效初值法、传输算子法,解：,例1：求单位序列响应h(k)，已知描述系统的差分方程为,递推求初值：,代入通解求待定系数：,例2：求系统单位序列响应h(k)，已知描述系统的传输算子分别为,解：,一、系统零状态响应,7-5 离散系统时域卷积和分析法,y(k)=yx (k)+ yf (k),记作： yf (k)=f(k)*h(k),yx (k): 取决于系统自然频率和初始值 yf (k): 取
13、决于系统自然频率和激励,(k),h(k),(k-m) h(k-m) f(m)(k-m) f(m)h(k-m),此称为f(k)与h(k)的卷积和 (Convolution),f (k)=f(k)* (k),二、常用信号的卷积和,2、f(k)与单位阶跃序列卷积,1、f(k)与单位序列信号卷积,三、卷积和的性质,1交换律,2. 分配律,3. 结合律,3、U(k)与akU(k) 卷积,四、卷积和的计算,例：f(k)=akU(k) ， h(t)=bkU(k) ，求卷积和y(k)=f(k)*h(k).,1利用定义计算,2. 利用常用信号卷积与有关性质计算,3. 利用卷积求和表计算,4. 利用图解法计算,1
14、）f(k)、h(k) f(m)、h(m) 2） h(m) h(-m) （折叠） 3） h(k-m) （平移） 4） f(m) h(k-m) （相乘） 5） 求和计算,5. 利用数值求和法计算,例：用图解法求图示信号的卷积和y(k)=f(k)*h(k)。,0.12,0.09,0.06,0.03,0,0.08,0.06,0.04,0.02,0.08 0.06 0.04 0.02 0.08 0.06 0.04 0.02 0.04 0.03 0.02 0.01,6. 利用列表法计算,7、序列相乘法,f(k) : 0 0.4 0.3 0.2 0.1 0 h(k): 0 0.3 0.2 0.2 0.2 0
15、.1,X,0.04 0.03 0.02 0.01 0 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.08 0.06 0.04 0.02 0,0.12 0.09 0.06 0.03 0,0.12 0.17 0.20 0.21 0.16 0.09 0.04 0.01 0,说明：若f(k)非零值N个，位于,h(k)非零值M个，位于,则：y(k)=f(k)*h(k)的非零值有(N+M-1)个，位于,离散系统的零状态响应等于系统激励与系统单位序列响应的卷积和。即,分析步骤： 1）求单位序列响应； 2）计算卷积和,五、离散系统卷积和分析,例1,解:,例2,解:,例3：,单位阶跃响应：当激励为U（k）时系统的零状态响应即：,例4:,解:,本章要点,1、离散信号基本概念：定义、分类、常用离散信号特性(k)、U(k)、ak(k)、GN(k)等 ； 2、离散信号时域变换与运算：折叠、时移、展缩、倒相；相加、相乘、数乘、差分和累加和； 3、离散系统的基本概念：定义、分类、线性时不变系统的特性； 4、时域经典法：差分方程与传输算子、差分方程求解、系统自然频率及其求解方法、全响应三种分解形式； 5、时域卷积和法： h(k)求解方法、零状态响应卷积和计算（卷积和定义、运算规律、主要性质、计算方法）,
