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1、四川省雅安中学高二年级文科半期考试卷一、选择题（每题5分共60分）1.设是可导函数，且，则（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据导数的定义，将所给式子化成，从而求得结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查导数的定义，属于基础题.2.已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知，因为，所以，即，所以椭圆的离心率为，故选C.点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题
2、，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果.3.已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，所以抛物线焦点坐标为，故答案选考点：抛物线方程和性质.4.下列函数中，在（2，）内为增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据单调性排除；利用导函数在上的正负可判断出在的单调性，进而排除，可得正确结果.【详解】选项：时，不单调，即不单调，可知错误；选项：，当时，即在上为增函数，可知正确；选项：，当时，即在上单调递减，可知错误；
3、选项：，当时，即在上为减函数，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查函数单调性的判断，关键是考查导函数的正负与函数单调性之间的关系.5.已知a，b为两个不相等的非零实数，则方程与所表示的曲线可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：先把曲线方程整理成=1的形式，直线方程整理成y=ax+b，通过观察选项中的直线判断出a和b与0的关系，进而推断曲线方程形式推断其图象解：把曲线方程整理成=1的形式，整理直线方程得y=ax+bA，C选项中，直线的斜率a0，截距b0，则曲线方程为双曲线，焦点在x轴，故C正确，A错误B项中直线斜率a0，则曲线一定不是椭圆，故B项错误对于D选项观察直
4、线图象可知a0，b0，则曲线的方程的图象一定是椭圆，故D不符合故选：C考点：曲线与方程6.函数的极值点的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】求导后，利用导函数的正负判断出的单调性，根据极值点的定义可得极值点个数.【详解】令，解得：，当时，；当时，在，上单调递增；在上单调递减在处取极大值；在处取极小值即有两个极值点本题正确选项：【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值的问题，属于基础题.7.已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求导后，结合基本不等式求解出切线斜率的范围，利用，得到倾斜
5、角的正切值所处的范围，结合直线倾斜角的范围可得的范围.【详解】，即切线斜率： （当且仅当，即时取等号），又 又 本题正确选项：【点睛】本题考查导数的几何意义、直线斜率与倾斜角的关系，关键是能够通过导函数所处的范围，结合基本不等式求解出切线斜率所处的范围.8.已知在区间上不单调，实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为函数在区间上不单调，所以在上有零点，即，所以，故选D.考点：导数与函数单调性.9.双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，若这两曲线的一个交点满足轴，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据抛物线方程得点坐标，得；根据轴可知既
6、是抛物线通径长的一半，又是双曲线通径长的一半，从而可得的关系；通过构造出关于的方程，解方程求得结果.【详解】由题意得：，即轴 为抛物线通径长一半 又为双曲线通径长的一半，即 由得：，解得：（舍）或本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线和抛物线的几何性质的应用，属于基础题.10.已知椭圆：的离心率为，过右焦点F且斜率为的直线与相交于A，B两点若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 ，设 设直线 方程为 代入中消去 ，可得 ，由可得 解得 故选D11.已知，（是自然对数的底数），则的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意构造函数，利用函数单调性即可
7、比较大小.【详解】记，,可得x=e可知：在上单调递增，又，即 故选：A【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查构造函数，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数与方程思想，属于中档题.12.设点分别是函数和图象上的点，若直线轴，则两点间距离的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】由轴可得，从而可用表示出，将问题转化为求解的最小值；构造函数，利用导数可求得，则可得.【详解】轴 两点间距离为：由得：，则设，则当时，即在上单调递减 本题正确选项：【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是能够将问题转化为求解的最值问题，从而通过，的关系可构造出新函数，将问题变为求解新函数
8、的最值问题.二、填空题（每题5分共20分）13.已知双曲线则该曲线的虚轴长为_【答案】2【解析】【分析】根据双曲线方程得，进而可得虚轴长.【详解】由题意得：，则虚轴长为：本题正确结果：【点睛】本题考查双曲线标准方程中的基本定义，属于基础题.14.已知函数，则在时的导数为_.【答案】【解析】【分析】求导得，代入求得结果.【详解】由题意得：则本题正确结果：【点睛】本题考查导数值的求解问题，属于基础题.15.已知为椭圆上一点，是椭圆的焦点，则的面积为_【答案】【解析】【分析】根据椭圆方程求得，利用余弦定理构造出关于的方程，解出结果后代入三角形面积公式即可求得结果.【详解】由椭圆方程得：，设，则中，由
9、余弦定理得：解得：本题正确结果：【点睛】本题考查椭圆焦点三角形面积的求解，关键是能够通过余弦定理构造出关于焦半径乘积的方程，从而求得结果；也可以利用焦点三角形面积公式直接求解得到结果.16.过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，记抛物线在A，B两点处的切线的交点为P，则面积的最小值为_.【答案】4【解析】【分析】联立直线方程与抛物线方程，可得韦达定理的形式；利用导数可列出在两点的切线方程，求解得到点坐标，结合韦达定理得到，根据斜率关系可知，利用弦长公式和两点间距离公式分别求解出和，从而可将三角形面积表示为：，进而可求得最小值.【详解】由得：设直线方程为：，且则联立得：则：，由得： ，则
10、时，即点处切线斜率为： 同理可得：则：，即，则 又 面积的最小值为本题正确结果：【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，关键是能够利用导数快速求解出切线的斜率，从而求得两切线的交点坐标，再利用弦长公式和两点间距离公式得到三角形底和高，从而构造出关于面积的函数关系式，属于较难题.三、解答题（17题10分 ； 其余各题都是12分；共70分）17.已知函数.（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求的值；（2）在（1）条件下，求函数的单调区间和极值；【答案】（1）0（2）单调递增区间是 ，单调递减区间是 ，在处取得极大值，为 【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得,解得的值；（2）求出导函数
11、零点,列表分析导函数符号变化规律,确定函数单调区间及极值试题解析：解：（1）函数所以又曲线处的切线与直线平行，所以 （2）令当x变化时，的变化情况如下表：+0极大值由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是所以处取得极大值， 18.已知椭圆及直线：（1）当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围；（2）当时，求直线被椭圆截得的弦长【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据直线与椭圆有交点，转化为有解，判别式大于等于即可；（2）联立直线与椭圆，根据弦长公式得到，代入韦达定理和的值即可得到结果.【详解】（1）由消去，并整理得直线与椭圆有公共点，可解得：故所求实数的取值范围为（2）设直线与椭
12、圆的交点为，由得： ， 当时，直线被椭圆截得的弦长为【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系、直线被椭圆截得的弦长问题.对于直线与椭圆的位置关系的判断，采用的方式是联立整理为一元二次方程，根据判别式得到解得个数，从而得到位置关系.19.已知抛物线的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于 O的两点（1）求抛物线C的方程；（2）若直线AB过点（8，0），求证：直线OA，OB的斜率之积为定值【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据抛物线方程和焦点坐标得，从而可得抛物线方程；（2）当斜率不存在时，求出交点坐标，从而得到；当斜率存在时，联立直线方程与抛物线方程，可得韦达定理
13、的形式，列出，代入韦达定理，整理可得，从而可证得结论.【详解】（1）抛物线的焦点坐标为 即 抛物线的方程为（2）证明：当直线的斜率不存在时，即可得直线与抛物线交点坐标为：当直线的斜率存在时，设方程为，联立方程组，消去得：则：，综合可知，直线，的斜率之积为定值【点睛】本题考查抛物线方程的求解、抛物线中的定值问题.解决定值问题的关键是能够通过直线与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理表示出所求的值，通过整理消元得到所求定值.20.已知函数（1）若，求函数极小值；（2）设函数，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明理由？【答案】（1）极小值为2；（2）
14、不存在，详见解析【解析】试题分析：（1）由a=4，得函数f（x）的解析式，求出其导函数以及导数为0的根，通过比较两根的大小找到函数的单调区间，进而求出f（x）的极小值；（2）若定义域内存在三个不同的自变量的取值xi（i=1，2，3），使得f（xi）-g（xi）的值恰好都相等，设f（xi）-g（xi）=m（i=1，2，3），则对于某一实数m，方程f（x）-g（x）=m在（0，+）上有三个不等的实数，由此能求出在定义域内不存在三个不同的自变量的取值xi（i=1，2，3）使得f（xi）-g（xi）的值恰好都相等解：（1）定义域为，由已知得， 2分则当时，在上是减函数，当时，在上是增函数，故函数的极小值为 6分（2）若存在，
