多目标决策分析课程

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1、第六章 多目标决策分析,广西大学数学与信息科学学院 运筹管理系,第六章 多目标决策分析,在决策分析中，决策问题要达到的目的称为决策目标，用数值表示决策方案实现某个目标程度的标准和法则，称为决策准则。 前面讨论的问题都只有一个决策目标和一个评价准则（如收益最大、效用最大），属单目标、单准则决策。 单目标决策的关键：合理选择决策准则。 实际问题常常有多个决策目标，每个目标的评价准则往往也不是只有一个，而是多个多目标、多准则决策问题。,6.1 多目标决策的目标准则体系,多目标决策问题的目标往往相互联系、相互制约，有的甚至相互矛盾。 在多目标决策问题中，有的目标可以用一个或几个决策准则直接进行评价和比

2、较，有的目标则难以进行直接评价和比较。 如何解决这一问题？ 通常将难以进行直接评价和比较的目标分解 为若干子目标，直至这些子目标能用一个或几个决策准则进行评价和比较。,例：某经济特区计划兴建一个大型海港,港址的选择需要综合考虑经济、技术、环境以及社会四个方面。 决策目标有四个：经济、技术、环境、社会 这四个目标均不能直接用一个或几个准则进行评价，要根据决策主体和实际情况的要求，逐级分解为若干子目标。 如：经济目标可以分解成直接经济效益和间接经济效益两个一级子目标。直接经济效益又可以继续分解为投资额、投资回收期和利税总额等三个二级子目标,海港港址,经济,技术,环境,社会,直接效益,间接效益,投资

3、额,投资回收期,利税总额,海运收益,国际贸易收益,国内贸易收益,航道,海滩,建筑,运行,城市关系,交通关系,资源,环保,政策,军事,6.1 多目标决策的目标准则体系,6.1.1 目标准则体系的意义 目标准则体系 指依据决策主体要求和实际情况需要，对目标经过逐层分解形成的多层次结构的子目标系统。目标准则体系的最低一层子目标可以用单一准则进行评价。 多目标决策问题的关键就是合理地选择和构造目标准则体系。,6.1.1 目标准则体系的意义,构造目标准则体系应注意的原则 系统性原则 各子目标要反映所有因素的整体影响，具有层次性和相关性。 可比性原则 不同系统的横向比较；同一系统的纵向动态比较。 可操作性

4、原则 各子目标含义明确，便于数据采集和计算。,6.1.2 目标准则体系的结构,1、单层次目标准则体系 各个目标都属于同一层次，每个目标无须分解就可以用单准则给出定量评价。,6.1.2 目标准则体系的结构,2、序列型多层次目标准则体系 目标准则体系的各个目标，均可以按序列分解为若干个低一层次的子目标； 各子目标又可以继续分解； 这样一层层按类别有序地进行分解，直到最低一层子目标可以按某个准则给出数量评价为止。 特点：各子目标可按序列关系分属各类目标，不同类别的目标准则之间不发生直接联系；每个子目标均由相邻上一层的某个目标分解而成。,6.1.2 目标准则体系的结构,3、非序列型多层次目标准则体系

5、某一层次的各子目标，一般不单是由相邻上一层次某子目标分解而成，各子目标也不能按序列关系分属各类； 相邻两层次子目标之间，仅按自身的属性建立联系，存在联系的子目标之间用实线连结，无实线连结的子目标之间，不存在直接联系。,3、非序列型多层次目标准则体系,G,最高层,准则层,6.1.3 评价准则和效用函数,在多目标决策中，制定了目标准则体系后，不同的目标通常用不同的评价准则衡量。 问题：如何从总体上给出方案对于目标准则体系中的全部目标的满意度？ 必须将不同度量单位的准则，化为无量纲统一的数量标度，并按特定的法则和逻辑过程进行归纳与综合，才能建立各可行方案之间具有可比性的数量关系。 效用函数正是一种统

6、一的数量标度。,6.1.3 评价准则和效用函数,多目标决策中，任何一个方案的效果均可以由目标准则体系的全部结果值所确定。可行方案在每一个目标准则下，确定个结果值，对目标准则体系，就得到一组结果值，并经过各目标准则的效用函数，得出一组效用值。 这样，任何一个可行方案在总体上对决策主体的满意度，可以通过这些效用值按照某种法则并合而得，满意度是综合评价可行方案的依据。,6.1.4 目标准则体系风险因素的处理,单目标风险型决策中，各备选方案看成是在整体上处于同一类状态空间的。 多目标决策中，风险因素可能只涉及某些目标准则，备选方案不宜在整体上视为处于同一类状态空间。 多目标决策的风险因素，应该在目标准

7、则体系中对涉及风险因素的各子目标分别加以处理。将风险型多目标问题转化为确定型多目标问题。,6.2 目标规划方法,6.2.1 目标规划模型 多目标线性规划问题,问题：能否化为单目标线性规划问题求解？ 如何处理各目标的主次、轻重？,6.2 目标规划方法,例6.1 某厂生产甲、乙两种产品，每件产品的单位利润、所消耗的原材料及设备工时、材料和设备工时的限额如下表所示。,例6.1,决策者根据市场需求等一系列因素，提出下列目标（依重要程度排列）： 首要目标是保证乙产品的产量大于甲产品产量； 尽可能充分利用工时，但又不希望加班； 确保达到计划利润30元。 试对厂家生产作出决策分析。 设甲、乙产品的产量分别为

8、x1、x2件。,6.2 目标规划方法,目标规划是求解多目标线性规划的方法之一。 目标规划的基本方法 对每一个目标函数引进一个期望值； 引入正、负偏差变量，表示实际值与期望值的偏差，并将目标函数转化为约束条件，与原有约束条件构成新的约束条件组； 引入目标的优先等级和权系数，构造新的单一的目标函数，将多目标问题转化为单目标问题求解。,6.2 目标规划方法,1、目标函数的期望值ek 对于多目标线性规划的每一个目标函数值Zk(k=1, 2, , K)，根据实际情况和决策者的希望，确定一个期望值ek 。 在例6.1中 乙产品与甲产品产量之差的目标值可定为0； 生产工时的目标值为26（工时）； 利润的目标

9、值为30（元）。,6.2 目标规划方法,2、正负偏差变量 对每一个目标函数值，分别引入正、负偏差变量,正负偏差变量分别表示实际目标值超过和低于期望值的数值。 引入偏差变量之后，目标就变成了约束条件，成为约束条件组的一部分。,6.2 目标规划方法,在例6.1中，令： d1+, d1-分别表示乙产品与甲产品产量之差超过和达不到目标值的偏差变量； d2+, d2-分别表示生产工时超过和达不到目标值的偏差变量； d3+, d3-分别利润超过和达不到目标值的偏差变量； 则三个目标可化 为含有偏差变量 的约束条件,6.2 目标规划方法,3、优先因子（优先等级）和权系数 如何区别不同目标的主次轻重？ 凡要求

10、第一位达到的目标赋于优先因子P1，次位的目标赋于优先因子P2，并规定PkPk+1（表示Pk比Pk+1有更大的优先权，Pk+1级目标是在保证Pk 级目标实现的基础上才能考虑的）（k1,2，K） 为区别具有相同优先因子的两个目标的差别，可分别赋于它们不同的权系数j 优先等级及权数的赋值由决策者确定。,6.2 目标规划方法,4、达成函数(准则函数)目标规划模型的目标函数 准则函数由各目标约束的正、负偏差变量及相应的优先因子和权系数构造而成。 注：目标规划模型的目标函数是对各目标的偏差的综合（将多目标化为单目标），在目标函数中不包含原决策变量，且一定是极小型的（偏差最小）。,4、达成函数(准则函数),

11、当每一目标值确定后，决策者的要求是偏差变量尽可能小，因此其目标函数只能是极小形式，具体有以下三种基本形式： 要求恰好达到目标值(正、负偏差都要尽可能小),要求不超过目标值(正偏差应尽可能小),要求不低于目标值(负偏差应尽可能小),6.2 目标规划方法,在例6.1中， 首要目标是保证乙产品的产量大于甲产品产量，赋于优先因子P1，目标为d1-尽可能小； 次级目标是生产工时恰好达到目标值，赋于优先因子P2，目标为d2-和d2都要小； 最后的目标是利润不低于30元，赋于优先因子P3，目标为d3-尽可能小； 因此，可构造准则函数如下：,6.2 目标规划方法,例6.1的目标规划模型为：,6.2 目标规划方

12、法,目标规划的一般模型,6.2 目标规划方法,目标规划的建模步骤 （1）假设决策变量； （2）建立约束条件； （3）建立各个目标函数； （4）确定各目标期望值，引入偏差变量，将目标函数化为约束方程； （5）确定各目标优先级别和权系数，构造准则函数。,6.3 化多为少方法,对单层次多目标决策模型,其中f1(x), f2(x), , fm(x)表示m个目标函数，X表示满足某些约束条件的n维点集。,处理方法：（1）化为一个单目标问题 （2）化为多个单目标问题。,例6.5,某厂在计划期内生产甲、乙两种产品。,例6.5 设产品能全部销售出去,问：计划期应如何安排生产，才能使利润和产值都达到最大，而造成的

13、污染最小？ 解：设计划期分别生产甲、乙产品x1、x2件， 则问题 的数学 模型为：,6.3 化多为少方法,6.3.1 主要目标法 主要目标所有决策目标中，重要程度最高和最为关键的目标。主要目标要求达到最优。 其余目标作为非主要目标，满足一定条件即可（满意）。 设f1(x)为主要目标， 则由：,可以得到（6.3）的一个有效解。,例6.5 决策者确定以利润最大为主要目标,并要求：总产值至少应达到20000元，污染量则应控制在90个单位以下。 由主要目标法可得到单目标规划问题：,6.3 化多为少方法,6.3.2 线性加权和法 给目标fi(x)赋以权系数i（i=1, 2, , m）然后作新的目标函数,

14、构成单目标决策问题：,难点：如何使多个目标用同一尺度统一起来（多种方法在下一章中介绍，可以将各目标统一作效用值度量）；如何选择合理的权系数。,6.3.2 线性加权和法,1. 法 以两个目标的多目标决策问题为例,记：,（即x(1)、 x(2)分别为以f1(x)和f2(x)目标的单目标问题的最优解）,6.3.2 线性加权和法,1. 法 化作单目标决策问题,要求：,c1是任意的非零常数。,即可确定权系数。 若进一步要求 1+ 2=1，可得：,例6.7 设有多目标决策问题,其中：,试用法化为单目标决策问题。,解：先分别求解,得： x(1)=(0, 0)T， x(2)=(1, 2)T,例6.7 x(1)

15、=(0, 0)T， x(2)=(1, 2)T,则：,对目标进行线性加权：,化为单目标问题：,6.3.2 线性加权和法,2. 法 对多目标决策问题,取：,化为单目标决策问题：,适用条件： fi*0,6.3 化多为少方法,6.3.3 平方和加权法 要求目标fi(x)与规定值fi*相差尽量小（i=1, 2, , m），可构造目标函数：,构成单目标决策问题：,i 权系数，可按要求的相差程度分别给出。,6.3 化多为少方法,6.3.4 理想点法 记：,称,为理想点。,若所有x(i)都相同，记为 x(0)，则x(0)就是所求的多目标决策问题的最优解；若不然，则考虑求解下面的单目标决策问题：,例6.7 x(

16、1)=(0, 0)T， x(2)=(1, 2)T,用理想点法化为单目标决策问题,构造目标函数,6.3 化多为少方法,6.3.5 步骤法（STEM法） 是逐步迭代的方法，也称逐步进行法、对话式方法。 在求解过程中，每进行一步，分析者就把计算结果告诉决策者，决策者对计算结果作出评价。若认为已满意了，则迭代停止；否则分析者再根据决策者的意见进行修改和再计算，如此直到求得决策者认为满意的解为止。,6.3.5 步骤法（STEM法）,设有多目标线性规划问题：,其中,6.3.5 步骤法（STEM法）,STEM法的求解步骤： 分别求解k个单目 标线性规划问题,得到的最优解记为x(i)，其相应的目标函数值记为fi*（i=1, 2, , k），并x(i)代入其它目标函数：,结果可列表给出（称为支付表）。,STEM法支付表,6.3.5 步骤法（STEM法）,STEM法的求解步骤： 求权系数：从支 付表中得到,为找出目标值的偏差以及消除不同目标值的量纲不同的问题，进行如下处理：,归一化