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1、几何中线段和，差最值问题一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段几何最值问题中的基本模型举例轴对称最值图形原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值A，B为
2、定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线l的对称点先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点折叠最值图形原理两点之间线段最短特征在ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将BMN沿MN翻折，B点的对应点为B，连接AB，求AB的最小值转化转化成求AB+BN+NC的最小值一般处理方法：线段最大（小）值线段差最大线段和(周长)最小平移对称旋转平移对称旋转转化构造三角形使目标线段与定长线段构成三角形使点在线同侧（如下图）使点在线异侧（如下图）三角形三边关系定理三点共线时取得最值两点
3、之间，线段最短垂线段最短常用定理：两点之间，线段最短（已知两个定点时）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）|PA-PB|最大，需转化，使点在线同侧PA+PB最小，需转化，使点在线异侧 二、典型题型1如图：点P是AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若AOB=45，OP=，则PMN的周长的最小值为 6 2如图，当四边形PABN的周长最小时，a=3如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|PAPB|的最大值为54动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5如
4、图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A处，折痕为PQ，当点A在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A在BC边上可移动的最大距离为 2 5如图，直角梯形纸片ABCD，ADAB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将AEF沿EF翻折，点A的落点记为P当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于6如图，MON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 7如图，线段AB的长为4，C为AB
5、上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角ACD和等腰直角BCE，那么DE长的最小值是 2 8如图，菱形ABCD中，AB=2，A=120，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为9如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C 重合），分别过B、C、D 作射线AP的垂线，垂足分别为B、C、D，则BB+CC+DD的取值范围是 BB+CC+DD 10 如图，菱形ABCD中，A=60，AB=3，A、B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、A和B上的动点，则PE+PF的最小值是 3 11 点A、B均在由面积为1的相同小矩形组
6、成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示若P是x轴上使得的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则3第11题图 第12题图 12.如图，在ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_2.4_13.如图，点P在第一象限，ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是_.若将ABP中边PA的长度改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为_ 14.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5如图所示，折叠纸片，使点A落
7、在BC边上的A处，折痕为PQ，当点A在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A在BC边上可移动的最大距离为 2 解答题：1. 如图，直角梯形纸片ABCD，ADAB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将AEF沿EF翻折，点A的落点记为P（1）当P落在线段CD上时，PD的取值范围为 PD ；（2）当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于多少？ 2. 如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM.（1）当M点在何处时，AM
8、CM的值最小；中点（2）当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由.EC与BD的交点为M连接MN，则三角形BMN为等边三角形，BMC BMABNE,所以MC=MA=EN,即AMBMCM=EN+MN+MC,AMBMCM的值最小时，E,N,M,C四点在同一直线上3. 如图，已知平面直角坐标系中A，B两点的坐标分别为A（2，-3），B（4，-1）.（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p_时，PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a_时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0），N（0，
9、n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请写出m和n的值；若不存在，请说明理由.m=,n=课堂作业：几何中的最值问题1 如图，在梯形ABCD中，ABCD，BAD=90，AB=6，对角线AC平分BAD，点E在AB上，且AE=2（AEAD），点P是AC上的动点，则PEPB的最小值是_第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 2 在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为_cm（结果不取近似值）.3 如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB=a将ABO沿BO对折于ABO，点M为BC上一动点，则AM的最小值为
10、4 如图，在锐角ABC中，BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为_4_5 在RtACB中，ACB=90，AC=6，BC=8，P、Q两点分别是边AC、BC上的动点，将PCQ沿PQ翻折，C点的对应点为，连接A，则A的最小值是_2_ 6 如图，在ABC中，ACB=90，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是 . 第6题图7 一次函数y1=kx-2与反比例函数y2=（m0）的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为（-6，2）（1）求m，k的值；m=-12,k=-（2）点P为y轴上的一个动点，当点P在什么位置时|PA-PB|的值最大？并求出最大值.8 已知点A（3，4），点B为直线x=-1上的动点，设B（-1，y）（1）如图1，若点C（x，0）且-1x3，BCAC，求y与x之间的函数关系式；y=（2）如图2，当点B的坐标为（-1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标(,0) 图1 图2
