01 数学模型的建立及数值求解

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1、第一章 数学模型的建立及数值求解,1.1 材料科学研究中数学模型的建立,计算材料学(Computational Materials Science)，正是这些数学手段使使材料研究脱离了原来的试错法(Trial or Error)研究，真正成为一门科学。通过建立适当的数学模型来对实际问题进行研究，已成为材料科学研究和应用的重要手段之一。,1.1.1 数学模型基础,广义：凡是以相应的客观原型（即实体）作为背景加以一级抽象或多级抽象的数学概念、数学式子、数学理论等等都叫做数学模型。 狭义：利用数学语言对特定问题或特定事务系统的特征和数量关系建立起来的符号系统。 数学模型刻画客观事物的本质属性与内在联

2、系，是对现实世界的抽象、简化而又本质的描述。它源于实践，却不是原型的简单复制，而是一种更高层次的抽象。,按照对实体的认识过程分：描述性数学模型、解释性数学模型； 按照建立模型的数学方法分：初等模型、图论模型、微分方程模型、随机模型等； 初等模型：采用简单而且初等的方法建立问题的数学模型。 微分方程模型：在所研究的现象或过程中取一局部或一瞬间，然后找出有关变量和未知变量的微分（或差分）之间的关系式，从而获得系统的数学模型。,1.1.2 数学模型的分类,按照模型特征分：静态模型和动态模型、离散模型和连续性模型等； 按照模型的应用领域分：人口模型、环境模型、水资源模型、污染模型等； 按照对模型的了解

3、程度分：白箱模型、灰箱模型和黑箱模型等,科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用。 材料科学从最早的试错法的手工操作成为当代科学重要支柱，数学的应用起着非常重要的作用。 当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的方法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透。 计算机模拟来部分代替实验，可以节约人力、物力和财力，还可以避免发生故障或危险，甚至完成实验不可能完成的任务。,1.1.3 数学模型的作用,数学建模的过程包括：建模准备；建模假设；构造模型；模型求解；模型分析；模型检验；模型应用。,1.2 建模步骤和原则,数学模型的建立，要求研

4、究者不仅对材料科学有关专业知识有非常深入的了解，而且要求其对工程数学、计算机编程以及算法等方面也有全面的了解。可以这么说，它对研究者的综合素质要求是非常高的。具体的建模过程并不单纯是上面几个步骤的顺序实现，往往需要循环多次才能确保建模工作的正确性，能够真正为实际生产提供指导。 对于建模过程的理解，是重点内容，为便于了解，利用下图说明。,了解问题的实际背景，明确建模的目的。 建模筹划：深入生产和科研实际以及社会生活实际，掌握与课题有关的第一手资料，汇集与课题有关的信息和数据。,1.2.1 建模准备,原型抽象和简化，准确把握本质属性。 简化掉那些非本质的因素，形成对建模有用的信息资源和前提条件。

5、假设合理性原则有以下几点： 目的性原则：从原型中抽象出与建模目的有关的因素，简化那些与建模目的无关的或关系不大的因素。 简明性原则：所给出的假设条件要简单、准确、有利于构造模型。 真实性原则：假设要科学，简化带来的误差应满足实际问题所能允许的误差范围。 全面性原则：对事物原型本身做出假设的同时，还要给出原型所处的环境条件。,1.2.2 建模假设,首先区分哪些是常量、变量；已知量、未知量；然后查明各种量所处的地位、作用和它们之间的关系，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出刻画实际问题的数学模型。 在构造模型时采用数学工具，要根据问题的特征、建模的目的要求及建模人的数学特长而定。

6、,1.2.3 构造模型,构造数学模型之后，根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学方法和算法，然后编写计算机程序或运用与算法相适应的软件包，并借助计算机完成对模型的求解。,1.2.4 模型求解,稳定性分析（分析结果重复获得的可能性） 系统参数灵敏度分析，或进行误差分析 对模型进行评价、预测、优化等方面的分析和探讨。,1.2.5 模型分析,模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看是否符合客观实际，若不符合，就修改或增减假设条款，重新建模。循环往复，不断完善，直到获得满意结果。 目前计算机技术已为进行模型分析、模型检验提供了先进的手段，充分

7、利用这一手段，可以节约大量的时间、人力和经费。,1.2.6 模型检验,模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型的最客观、最公正的检验。一个成功的数学模型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用。,1.2.7 模型应用,以金属材料中空位形成能为例研究建模过程,建模准备 原子能的发展对于金属研究提出了一个新的课题，即高能粒子对于金属材料性能的影响。 固体受到辐照后产生的效应主要有三种类型：电离、蜕变和离位（产生空位和间隙原子），其中空位是金属中最主要的辐照效应，金属中空位研究是非常重要的。要研究空位，必须要研究空位缺陷形成能。 空位形成能：空位的

8、出现破坏了其周围的结合状态，因而造成局部能量的升高，由空位的出现而高于没有空位时的那一部分能量称为空位形成能。,构造模型,设想晶体为fcc结构，原子间的交互作用限于最近邻。 空位形成能被定义为在晶体内取出一个原子放到晶体表面所需要的能量。,在fcc晶体内取出一个原子要割断12个键（配位数为12），而在表面台阶处置放一个原子，要形成6个键。,模型求解和分析,模型检验,模型得出的结论：空位形成能和结合能之间有密切的关系是符合实验事实的，但事实上空位形成能大约只为结合能的1/2到1/4。,根据自由能最小的条件，可以求出在热力学平衡状态下的空位浓度。,模型应用,理论分析法：应用自然科学中的定理和定律，

9、对被研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立系统的数学模型。理论分析方法是人们在一切科学研究中广泛使用的方法。 例：在渗碳工艺过程过程中通过平衡理论找出控制参量与炉气碳势之间的理论关系式。,1.3 常用的数学建模方法,模拟方法：如果模型的结构及性质已经了解，但是数量描述及求解却相当麻烦。如果有另一种系统，结构和性质与其相同，而且构造出的模型也是类似的，就可以把后一种模型看作是原来模型的模拟，对后一个模型去分析或实验，并求得其结果。 钢铁材料中裂纹在外载荷作用下尖端的应力、应变分布，采用环氧树脂制备成具有同样结构的模型，并根据钢铁材料中裂纹形式在环氧树脂模型加工出裂纹，借助实验光测力学的

10、手段来完成分析。,类比分析法：如果有两个系统，可以用同一形式的数学模型来描述，则此两个系统就可以互相类比。类比分析法是根据两个（或两类）系统某些属性或关系的相似，去猜想两者的其他属性或关系也可能相似的一种方法。 例：在聚合物的结晶过程中，结晶度随时间的延续不断增加，最后趋于该结晶条件下的极限结晶度，现期望在理论上描述这一动力学过程（即推导Avrami方程）。 聚合物的结晶过程包括成核和晶体生长两个阶段，这与下雨时雨滴落在水面上生成一个个圆形水波并向外扩展的情形相类似，因此可以通过水波扩散模型来推导聚合物结晶时的结晶度与时间的关系。,数据分析法：当有若干能表征系统规律、描述系统状态的数据可以利用

11、时，就可以通过描述系统功能的数据分析来连接系统的结构模型。回归分析是处理这类问题的有利工具。,许多力学问题和物理问题已经得到了它们应遵循的基本规律（微分方程）和相应的定解条件。但是只有少数性质比较简单、边界比较规整的问题能够通过精确的数学计算得出其解析解。大多数问题很难得到解析解。 面临的问题是如何对我们所建立的方程进行求解,1.4 数学模型的数值求解,解决这类问题通常有两种途径：（1）对方程和边界条件进行简化，从而得到问题在简化条件下的解答；（2）采用数值解法。 第一种方法只在少数情况下有效，因为过多的简化会引起较大的误差，甚至得到错误的结论。 目前，常用的数值解法大致可以分为两类：有限差分

12、法和有限元法。,数值模拟通常由前处理、数值计算、后处理三部分组成 前处理 实体造型、物性赋值、定义单元类型、网格划分 数值计算 施加载荷、设定时间步、确定计算控制条件、求解计算 后处理 显示和分析计算结果、分析计算误差,1.4.1有限差分法,有限差分法是数值计算中应用非常广泛的一种方法。其实质是以有限差分代替无限微分、以差分代数方程代替微分方程、以数值计算代替数学推导的过程，从而将连续函数离散化，以有限的、离散的数值代替连续的函数分布。 差分方程的建立：首先选择网格布局、差分形式和布局；其次，以有限差分代替无限微分，即以代替，以差商代替微商，并以差分方程代替微分方程及其边界条件。,1.差分方程

13、的建立,合理选择网格布局及步长 将离散后各相邻离散点之间的距离，或者离散化单元的长度称为步长。,将微分方程转化为差分方程 向前差分,向后差分,中心差分,差分格式的物理意义,差分格式的误差分析,2.差分方程的求解方法,直接法Gauss列主元素消元法,A为nn阶矩阵，b为n维向量，x为n维未知列向量，Ab为A的增广矩阵。,其解为：,间接法迭代法 对于线性方程组，构造一个值，将代入上式，得出新的值，再将结果代入得到更新的，依次迭代下去，即可使其迭代值收敛于该方程组的精确解。根据选择的方法不同，又可以分为简单迭代法（同步迭代法）和Guass-Seidel迭代法。 对于线性方程组，当，则可表示为下式：,

14、上式可写成：,欲求解方程组，首先假设一个解，代入式子的右端，计算出解的一次迭代值，即,再将 代入式子的右端，得到第二次迭代值，依此类推，得到第k次的迭代值：,迭代次数无限增多时， 将收敛于方程组的精确解 。一般满足,即可认为迭代已经满足精度要求。其中c为某适当小的量，其具体大小取决于精度要求。,3.差分格式的稳定性 稳定性：假如初始条件和边界条件有微小的变化，若解的最后变化是微小的，则称解是稳定的，否则是不稳定的。,4. 有限差分法解题示例,利用差分法解Laplace方程第一边值问题。,1.4.2有限单元法,有限元法（FEMA）也称为有限单元法或有限元素法，基本思想是将求解区域离散为一组有限个

15、且按一定方式相互连接在一起的单元的组合体。它是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。 把物理结构分割成不同大小、不同类型的区域，这些区域称为单元。 根据不同分析科学，推导出每一个单元的作用力方程，组集成整个结构的系统方程，最后求解该系统方程，就是有限元法。,一.有限元法的基本概念直接刚度法,例：考虑一个变截面杆，如图所示。杆的一端固定，另一端承受P=1000N的载荷，杆的顶部宽w1=2cm，杆的底部宽w2=1cm，杆的厚度t=0.125cm，长度L=10cm，杆的弹性模量E=10.4106MPa。试分析该杆沿长度方向不同位置的变形情况，假设杆的质量可以忽略不计。,前处理阶段 将

16、求解区域离散化 先将求解问题分解为结点和单元，如图所示。,建立结点位移方程 长度为、有均一截面的固体单元在受到外力时的变形情况如图所示。单元中的平均应力为 ，平均正应变为 。,在弹性范围内，应力和应变的关系由虎克定律描述，即有 ，其中E为材料的弹性模量，结合上式可得 ，这与线性弹簧等式F=kx相似，因此可以用一弹簧的变形来模拟固态单元的变形，弹簧的等价刚度为 。,杆的横截面积沿y轴方向变化，作为近似，将杆模型化为不同截面的等截面杆的串联，这样，杆可以由一个四个弹簧串联组成的模型来表示，每个单元模型的弹性行为可以用等价线性弹簧来表述： 其中，等价单元刚度为 ，Ai和Ai+1分别是结点i和i+1处的横截面积，l是单元的长度。 应用上述模型，静态平衡要求作用在每个结点上的力的总和为零，因此可得到如下方程： 结点1：,结点2： 结点3： 结点4： 结点5： 将这些方程进行变化，得到： 将这些方程写成矩阵的形式，有： =,在载荷矩阵中区分施