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1、第五节翻折与探索性问题题型一平面图形的翻折问题平面图形翻折为空间图形问题重点考查平行、垂直关系，解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征.典例(2018全国卷)如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQDA，求三棱锥QABP的体积解(1)证明：由已知可得，BAC90，即BAAC.又因为BAAD，ACADA，所以AB平
2、面ACD.因为AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得，DCCMAB3，DA3.又BPDQDA，所以BP2.如图，过点Q作QEAC，垂足为E，则QE綊DC.由已知及(1)可得，DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱锥QABP的体积为VQABPSABPQE32sin 4511. 方法技巧解决平面图形翻折问题3步骤针对训练1如图，矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻转成A1DE(A1平面ABCD)，若M，O分别为线段A1C，DE的中点，则在ADE翻转过程中，下列说法错误的是()A与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直B异面直线BM与
3、A1E所成角是定值C一定存在某个位置，使DEMOD三棱锥A1ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值解析：选C取DC的中点N，连接MN，NB，则MNA1D，NBDE，平面MNB平面A1DE，MB平面A1DE，故A正确；取A1D的中点F，连接MF，EF，则四边形EFMB为平行四边形，则A1EF为异面直线BM与A1E所成角，故B正确；点A关于直线DE的对称点为N，则DE平面AA1N，即过O与DE垂直的直线在平面AA1N上，故C错误；三棱锥A1ADE外接球半径为AD，故D正确2(2019石家庄模拟)如图所示，在边长为24的正方形ADD1A1中，点B，C在边AD上，且AB6，BC8，作BB1AA1分别交
4、AD1，A1D1于点P，B1，作CC1AA1分别交AD1，A1D1于点Q，C1，将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得DD1与AA1重合，构成如图所示的三棱柱ABCA1B1C1.(1)求证：AB平面BCC1B1; (2)求多面体A1B1C1APQ的体积解：(1)证明：由题知，在题图中，AB6，BC8，CA10，AB2BC2CA2，ABBC.又ABBB1，BCBB1B，AB平面BCC1B1.(2)由题易知三棱柱ABCA1B1C1的体积为6824576.在题图中，ABP和ACQ都是等腰直角三角形，ABBP6，ACCQ14，VACQPBS四边形CQPBAB(614)86160.多面体A1B1C1APQ
5、的体积VVABCA1B1C1VACQPB576160416.题型二探索性问题探索性问题一般可以分为判断存在型、条件探索型、结论探索型、类比推理型、知识重组型等，立体几何中的探索性问题一般以判断存在型为主.这类问题一般的设问方式是“是否存在，若存在，若不存在”.由于没有一个明确的结论，在没有经过深入分析、严格计算和推理论证前其存在性是未知的.典例(2018全国卷)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由解(1)证明：由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，
6、BC平面ABCD，所以BC平面CMD，所以BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.因为DM平面AMD，所以平面AMD平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC平面PBD.证明如下：连接AC交BD于O.因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点连接OP，因为P为AM的中点，所以MCOP.又MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD. 方法技巧求解探索性问题的类型及策略问题类型求解策略对命题条件的探索(1)先猜后证，即先观察，尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；(3)将几何问题转化
7、为代数问题，探索出命题成立的条件对命题结论的探索(1)探索结论是什么，常从条件出发，探索出要求的结论是什么；(2)探索结论是否存在，常先假设结论存在，再在这个假设下进行推理论证，寻找与条件相符或矛盾的结论，相符则存在，矛盾则不存在针对训练(2019长沙一中阶段性检测)如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PC底面ABCD，且PC2，E是侧棱PC上的动点(1)求四棱锥PABCD的表面积；(2)在棱PC上是否存在一点E，使得AP平面BDE？若存在，指出点E的位置，并证明；若不存在，请说明理由解：(1)四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PC底面ABCD，且PC2，P
8、CBC，PCDC，SPCDSPCB121，PBPD.ABCB，ABPC，CBPCC，AB平面PCB，ABPB，SPABABPB.同理，SPAD.又S正方形ABCD1，SPABCDS正方形ABCDSPABSPADSPCDSPCB1113.(2)在棱PC上存在点E，且E是PC的中点时，AP平面BDE.理由如下：如图，连接AC交BD于点O，连接OE，则在ACP中，O，E分别为AC，PC的中点OEAP，又OE平面BDE，AP平面BDE，AP平面BDE. 课时跟踪检测 1如图所示，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABC
9、D，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABC解析：选D在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，则CDAB.又ADAB，ADCDD，AD平面ADC，CD平面ADC，故AB平面ADC.又AB平面ABC，平面ADC平面ABC.2(2019亳州模拟)如图甲所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记
10、为H，如图乙所示，那么，在四面体AEFH中必有()AAH平面EFH BAG平面EFHCHF平面AEF DHG平面AEF解析：选AAHHE，AHHF，且EHHFH，AH平面EFH，A正确；过A只有一条直线与平面EFH垂直，B不正确；AGEF，EFAH，AGAHA，EF平面HAG，EF平面AEF，平面HAGAEF，过H作平面AEF的垂线，一定在平面HAG内，C不正确；HG不垂直于AG，HG平面AEF不正确，D不正确故选A.3(2019泉州模拟)如图，一张A4纸的长、宽分别为2a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多
11、面体下列关于该多面体的命题，正确的是_(写出所有正确命题的序号)该多面体是三棱锥；平面BAD平面BCD；平面BAC平面ACD；该多面体外接球的表面积为5a2.解析：由题意得该多面体是一个三棱锥，故正确；APBP，APCP，BPCPP，AP平面BCD，又AP平面ABD，平面BAD平面BCD，故正确；同理可证平面BAC平面ACD，故正确；该多面体的外接球半径Ra，所以该多面体外接球的表面积为5a2，故正确综上，正确命题的序号为.答案：4如图所示，在四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是_ACBD；
12、BAC90；四面体ABCD的体积为.解析：BDCD，平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，CD平面BCD，CD平面ABD，CDAD.ABADCD1，BD，AC，BC，AB2AC2BC2，ABAC，即BAC90，四面体ABCD的体积V121.答案：5如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻转成A1DE.若M为线段A1C的中点，则在ADE翻转过程中，正确的命题是_MB是定值；点M在圆上运动；一定存在某个位置，使DEA1C；一定存在某个位置，使MB平面A1DE.解析：取DC的中点N，连接MN，NB，则MNA1D，NBDE，平面MNB平面A1DE，MB平面MNB，MB平面
13、A1DE，正确；A1DEMNB，MNA1D定值，NBDE定值，根据余弦定理得，MB2MN2NB22MNNBcosMNB，所以MB是定值，正确；B是定点，所以M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，正确；当矩形ABCD满足ACDE时存在，其他情况不存在，不正确所以正确答案：6(2019武汉调研)在矩形 ABCD中，ABBC，现将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号)解析：假设AC与BD垂直，过点A作AEBD于E，连接CE.则BD平面AECBDCE，而在平面BCD中，EC与BD不垂直，故假设不成立，错假设ABCD，ABAD，CDADD，AB平面ACD，ABAC，由ABBC可知，存在这样的等腰直角三角形，使ABCD，故假设成立，正确假设ADBC，DCBC，ADDCD，BC平面ADC，BCAC，即ABC为直角三角形，且AB为斜边，而ABBC，故矛盾，假设不成立，错综上，填.答案：
