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1、2012竞赛 万有引力与天体运行一、.开普勒定律：第一定律：轨道定律：所有行星都绕太阳以椭圆轨道运动，太阳是其中一个焦点。第二定律：面积定律（或角动量守恒）：=恒量 第三定律：周期定律：T2/a3(a为半长轴，作圆周运动时a为半径)=4p2/GM=恒量。二、万有引力定律：，适用条件：质点、均匀球体、均匀球壳。注：均匀球壳内的物体受到球壳的引力为零。1.飞船沿半径为R的圆周绕地球运转,如果飞船要返回地面,可在轨道上某一点A处将其速率调到适当的数值,使飞船沿着地心的焦点的椭圆轨道动行,椭圆与地球表面相切于B点.求飞船由A到B所需要的时间:(已知地球半径为R0).答案： 解：（先找一个周期已知的卫星
2、）卫星以半径为R作圆周运动的周期为T，。得：.卫星作椭圆运动的周期为T，则：A运动到B的时间. 2.在密度为0的无限大的液体中，有两个半径为R、密度为的球，相距为d，且0，求两球受到的万有引力。解：将两球心分别记为O、O/，若只有球O单独处于无限大液体中，其受的合引力为0如果将球O/放回原处，相当于用密度为的球代替0的同体积液体因为，代替的结果使O/处的质量增加 因球O的质量为则球O将受到来自球O/的引力故两球的相互引力为 3.(1)证明:在匀质球层的空腔内任意位置处质点受地地壳万有引力的合力为零.(2)若把地球当作一个密度均匀的球体(地球的半径为R),求在地球内外各点的重力加速度g的大小随离
3、地心的距离r的变化关系。（答案：当rR时，；当rR时，） 解：先证明均匀球壳内的物体受到球壳的引力为零。球面的面积S=4pR2， 对应的立体角DW（平面夹角a）面积S=R2DW=2p（1-cos）R2.设球面的面密度为s，在球上取对称的两个面元，如图所示。（DS和DWr2不是等价）,对应的质量,Dm1对球壳内物体的引力。同理Dm2对球壳内物体的引力。F1和F2大小相等、方向相反。所以物体受到的引力的合力=0。地球内某点的重力加速度（或引力）：点以外无作用力，点以内有作用力。即当rR时，。即当rR时，。 4.如图所示,大环和小环的半径分别为R1和R2,它们相切与A点,在切点放一质量为m的小物体,
4、要使大环和小环对小物体的万有引力的合力为零,求大环和小环的质量线密度之比. （答案：） 解:能定性分析大环和小环的质量线密度哪个大？在大环上任取一小段DL1,则在小环上对应一小段DL2,所对应的夹角为Da,则对应的圆心角Da=2Da,r1与R1夹角为a，DL1用r1表示较复杂。所以DL1=R1Da=2R1Da, Dm1=2R1Dal1, r1=2R1cosa. Dm1对m引力.同理Dm2对m引力.因DL1和DL2对应,只要F1和F2的合力为零,大环和小环对物体的引力的合力也必为零,有F1=F2得:. 5设地球是一密度均匀的球体,其半径R=6.4103Km,现在假想在地球内挖一球形与地球表面相切
5、的空腔,地心O点在空腔壁上,如图所示.现有一小球自切点A处释放,试问:这小球在A由静止释放后经多少时间可到达地心O.(重力加速度取g=10m/s2) （答案：1600s） 解:由于空腔被挖去,小球在空腔内受到的作用力应是地球剩余的质量对小球的万有引力,可等效为。 设地球的质量为M,小球的质量为m,取OA上任一点P,且OP=r. 因地球是均匀的球体,则地球的密度为,假设空腔不挖去,则地球对处在P点的球的万有引力,其中M1为为r的球体的质量,其体积,则M1=rV1=.所以空腔部分球体对处在P点的小球的万有引力,其中M2为挖去部分、半径为(r-R)的球体的质量,其体积则M2=rV2=,所以. 这样挖去空腔后的地球对处在P点的小球的万有引力：F=F1-F2=-=当rR时，腔的半径为R-r，但腔对物体的引力也相反，所以当rR时也成立. 即小球在空腔内受到的是大小F=mg的恒力作用,小球自A点由静止释放后将做匀加速直线运动,加速大小a=g,则所用的时间s.问题：证明小球在空腔内任一位置时受到的引力为mg.（根据矢量的合成）
