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1、第十二章 数理统计,12.1 统计量及其分布 12.2 参数估计 12.3 假设检验 12.4 应用与实践 12.5 拓展与提高,一 知识结构框图,第十二章 数理统计,第十二章 数理统计,二 教学基本要求和重点、难点,第十二章 数理统计,1. 教学基本要求,(1)总体，个体，样本，统计量的概念； (2)常用的统计量，样本均值与样本方差； (3)常用统计量分布，查表求分布的临界点， 临界点的意义；,第十二章 数理统计,(4)矩估计法、最大似然估计法的方法意义，未 知参数的估计、最大似然估计；估计量优良 性的评价标准，无偏估计量，有效估计量； (5)置信区间的意义，单正态总体的均值与方差 的置信区
2、间。 (6)假设检验问题及假设检验的基本思想； (7)假设检验的程序、步骤、正确运用假设检验 方法对正态总体中的均值、方差作假设检验。,第十二章 数理统计,2. 教学重点与难点,(1) 重点 参数的点估计及区间估计的几种方法，假设检验方法及临界值的求法。,(2)难点 最大似然估计法。,12.1 统计量及其分布,第十二章 数理统计,12.1.1 总体、样本、统计量,1总体、样本,把所研究对象的全体称为总体，而组成总 体的基本单位称为个体。从总体中抽取出来的 个体称为样品，若干个样品组成的集合称为样 本，一个样本中所含样品的个数称为样本容量。 把样品的取值称为样品值，样本的取值称为样 本值，也称为
3、样本数据。,12.1 统计量及其分布,2样本数字特征,定义12.1 设 是总体X的一 个样本，则称,(1) 样本均值,(2) 样本方差,12.1 统计量及其分布,(3) 样本标准差,(4) k阶样本原点矩,(5) k阶样本中心矩,12.1 统计量及其分布,3统计量,定义12.2 样本 的任意一个 不含有未知参数的连续函数 称 为一个统计量，记为,12.1 统计量及其分布,12.1 统计量及其分布,2x3+p不是统计量，因为p未知。,是统计量，且为样本方差。,(2),12.1 统计量及其分布,12.1.2 抽样分布,1U分布,定理12.1 设 是来自正态总 体 的样本，则有,(1) 样本均值,(
4、2) 统计量,即统计量U服从标准正态分布，统计学中又 称该分布为U分布。,12.1 统计量及其分布,2. 分布,定理12.2 设 是来自总体 XN(0,1)的一个样本，则统计量,服从自由度为n的 分布，记为,12.1 统计量及其分布,分布的概率密度,12.1 统计量及其分布,函数具有性质：,(1),(2) 对于任意的正整数，有,(3)对于任意t0，有,12.1 统计量及其分布,12.1 统计量及其分布,3T分布,定理12.3 设随机变量 ，随机 变量 ，且X、Y相互独立，则统计量,即统计量t服从自由度为n的t分布。,12.1 统计量及其分布,T分布的概率密度,12.1 统计量及其分布,4F分布
5、,定理12.4 设随机变量 ，随机 变量 ，且X、Y相互独立，则统计量,其中参数n1称为第一自由度，n2称为第二自由度。,12.1 统计量及其分布,F分布的概率密度,12.1 统计量及其分布,F分布的临界点,12.2 参数估计,第十二章 数理统计,12.2.1 参数的点估计,设 为总体X的待估参数， 为 总体X的一个样本，构造一个统计量 作为 的估计，就称 为 的一个估计量。这类 问题称为参数的点估计问题。,12.2 参数估计,1矩估计法,矩估计法就是用样本的数字特征来估计与 之相应的总体的数字特征，即用样本矩作为相 应的总体矩的估计。,12.2 参数估计,2极大似然估计法,定义12.3 设
6、是来自概率函数 为 的总体的一个样本观测值， 为未知 参数，则称,为 的似然函数。,12.2 参数估计,极大似然估计量,定义12.4 如果 为 的函数， 它在 处达到极大值，则称 为 的极大似然 估计量。,求极大似然估计问题就是求函数的极值问题。,12.2 参数估计,求极大似然估计量通常步骤为,(1)建立似然函数,(2)取对数ln L；,(3)解似然方程 ，得到参数 的极 大似然估计量 。,12.2 参数估计,例2 设随机变量X的密度函数为,解: 似然函数为,12.2 参数估计,12.2 参数估计,3估计量优良性的标准,定义12.5 设 为未知参数 的一个估计量， 若 ，则称 为参数的无偏估计
7、量，简 称为无偏估计。,定义12.6 设 ，都是参数的无偏估计 量，若 ，则称 是比 有效的估计量。,12.2 参数估计,12.2.2 参数的区间估计,1. 置信区间与置信度,定义12.7 设 是来自总体X 的一个样本， ， 是由样本确定的两个统 计量， 。如果对于总体中 的未知参数 ，有 ， 则称随机区间 为参数 的置信度 的 置信区间，称 为置信区间的置信度(置信 水平），分别称 和 为置信下限和置信上限。,12.2 参数估计,2. 正态总体均值的区间估计,总体均值 的置信度为 的置信区间为,(1)总体 已知，求 的置信区间。,12.2 参数估计,(2)总体 未知，求 的置信区间。,总体均
8、值 的置信度为 的置信区间为,12.2 参数估计,3. 正态总体方差的区间估计,设 ， 是X的样本，,方差 的置信度为 的置信区间为：,标准差 的置信度 为的置信区间为：,12.3 假设检验,第十二章 数理统计,12.3.1 假设检验,1小概率事件,某种产品按规定次品率不超过4%才能出厂， 今从一批产品中抽查10件，发现有4件次品，问 这批产品能否出厂？,假设次品率等于4 ，任抽10件发现4件 次品的概率为,12.3 假设检验,2假设检验的思想,(1)对所研究的总体作某个假设。,(2)通过抽样的样本值来检验是否接受假设。,12.3 假设检验,3假设检验的步骤,例3 已知某产品平均强度 9.73
9、公斤，现 改变制作方法，并随意抽取200件，算得 =9.94 公斤，s=1.62公斤。问制作方法的改变对强度有 无显著影响？,12.3 假设检验,12.3 假设检验,12.3.2 正态总体的假设检验问题,1单正态总体均值的检验,(1)已知方差 时，均值的检验(U检验),问题：已知总体 ，其中 已知， 现要通过抽样检测判断 ？,第一步 假设 。,12.3 假设检验,第二步 适当选取一个样本的统计量。 在已 知 的条件下，选样本统计量,在假设 的条件下,12.3 假设检验,第三步 根据显著性水平 ,确定拒绝域和接受域。,由标准正态分布表，查出满足下述关系的,于是接受域为 ，拒绝域为 和,第四步 计
10、算统计量 ，视其属什么区域 而作出判断。,12.3 假设检验,(2)未知方差 时，均值的检验(T检验),问题：已知总体 ，其中 未知， 现要通过抽样检测判断 ？,第一步 假设 。,第二步 选取样本统计量 ，在假 设成立的条件下,12.3 假设检验,第三步 根据显著性水平 ,由自由度n-1和 查t分布表得ts(n-1)，确定接受域,其中ts(n-1)满足关系,12.3 假设检验,第四步 计算统计量,如果 ，则接 受假设，否则拒绝假设。,12.3 假设检验,2. 单正态总体方差的检验( 检验),问题：已知总体 ，其中 未知， 现要通过抽样检测判断 ？,第一步 假设,第二步 选取样本的统计量 ；因为
11、 在假设 时，,12.3 假设检验,第三步 根据显著性水平 ,确定接受域 和拒绝域 和 其中 分别满足 下列条件,第四步 计算统计量 ，视其属于 什么区域而判断接受假设，还是拒绝假设。,12.4 应用与实践,第十二章 数理统计,12.4.1 用 Mathematica求随机变量的数字特征,有关统计、计算或绘图的命令都保存在 函数库Statistics 中，可以用： Statistics 命令加载。,在计算随机变量的均值、方差之前，首先 要加载函数库,12.4 应用与实践,计算随机变量的均值、方差的命令格式：,12.4 应用与实践,12.4.2 用Mathematica作统计推断,1.单个总体数
12、学期望的假设检验,用于单个总体数学期望的假设检验的命令为,12.4 应用与实践,2. 单个总体方差的假设检验,用于单个总体方差的假设检验的命令,12.5 拓展与提高,第十二章 数理统计,12.5. 1. 一元线性回归,例4 某公司研究产量与生产费用之间的关系，从公司内部随机抽取了8个部门作样本，得到数据如下：,12.5 拓展与提高,认为x与y之间有线性关系存在，设有关系式,y=a+bx,yi=a+bxi+ (i=1,2,8),12.5 拓展与提高,2. 最小二乘法,=yi a bxi (i=1,2,8),12.5 拓展与提高,只有a,b是未知数，易知Q是a,b的函数， 求二元函数的极值,12.
13、5 拓展与提高,从中解出a，b的值，记作,引入记号,12.5 拓展与提高,于是有,确定 的方法称为最小二乘法。,12.5 拓展与提高,采用列表的方法计算例4回归直线方程,12.5 拓展与提高,于是可以计算出,故回归直线方程为,12.5 拓展与提高,3. 检验与预测,(1)检验,残差平方和,回归平方和,平方和分解公式 lxx= Q + U,12.5 拓展与提高,(2)预测,12.5 拓展与提高,下面检验例4中所求回归直线方程的显著性，由于,=0.05时， =F0.05(1,6)=5.99，显然有 FF0.05(1,6)=5.99，说明回归效果是显著的。,12.5 拓展与提高,4. 用Mathematica作回归分析,例5 以家庭为单位，某商品月需求量与 该商品价格之间的一组调查数据为,从这10对数据的散点图可以看出，变量与间大 致成线性关系，试用系统求关于的线性回归方程。,12.5 拓展与提高,解：,
