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1、第十二章 数理统计,12.1 统计量及其分布 12.2 参数估计 12.3 假设检验 12.4 应用与实践 12.5 拓展与提高,一 知识结构框图,第十二章 数理统计,第十二章 数理统计,二 教学基本要求和重点、难点,第十二章 数理统计,1. 教学基本要求,(1)总体,个体,样本,统计量的概念; (2)常用的统计量,样本均值与样本方差; (3)常用统计量分布,查表求分布的临界点, 临界点的意义;,第十二章 数理统计,(4)矩估计法、最大似然估计法的方法意义,未 知参数的估计、最大似然估计;估计量优良 性的评价标准,无偏估计量,有效估计量; (5)置信区间的意义,单正态总体的均值与方差 的置信区
2、间。 (6)假设检验问题及假设检验的基本思想; (7)假设检验的程序、步骤、正确运用假设检验 方法对正态总体中的均值、方差作假设检验。,第十二章 数理统计,2. 教学重点与难点,(1) 重点 参数的点估计及区间估计的几种方法,假设检验方法及临界值的求法。,(2)难点 最大似然估计法。,12.1 统计量及其分布,第十二章 数理统计,12.1.1 总体、样本、统计量,1总体、样本,把所研究对象的全体称为总体,而组成总 体的基本单位称为个体。从总体中抽取出来的 个体称为样品,若干个样品组成的集合称为样 本,一个样本中所含样品的个数称为样本容量。 把样品的取值称为样品值,样本的取值称为样 本值,也称为
3、样本数据。,12.1 统计量及其分布,2样本数字特征,定义12.1 设 是总体X的一 个样本,则称,(1) 样本均值,(2) 样本方差,12.1 统计量及其分布,(3) 样本标准差,(4) k阶样本原点矩,(5) k阶样本中心矩,12.1 统计量及其分布,3统计量,定义12.2 样本 的任意一个 不含有未知参数的连续函数 称 为一个统计量,记为,12.1 统计量及其分布,12.1 统计量及其分布,2x3+p不是统计量,因为p未知。,是统计量,且为样本方差。,(2),12.1 统计量及其分布,12.1.2 抽样分布,1U分布,定理12.1 设 是来自正态总 体 的样本,则有,(1) 样本均值,(
4、2) 统计量,即统计量U服从标准正态分布,统计学中又 称该分布为U分布。,12.1 统计量及其分布,2. 分布,定理12.2 设 是来自总体 XN(0,1)的一个样本,则统计量,服从自由度为n的 分布,记为,12.1 统计量及其分布,分布的概率密度,12.1 统计量及其分布,函数具有性质:,(1),(2) 对于任意的正整数,有,(3)对于任意t0,有,12.1 统计量及其分布,12.1 统计量及其分布,3T分布,定理12.3 设随机变量 ,随机 变量 ,且X、Y相互独立,则统计量,即统计量t服从自由度为n的t分布。,12.1 统计量及其分布,T分布的概率密度,12.1 统计量及其分布,4F分布
5、,定理12.4 设随机变量 ,随机 变量 ,且X、Y相互独立,则统计量,其中参数n1称为第一自由度,n2称为第二自由度。,12.1 统计量及其分布,F分布的概率密度,12.1 统计量及其分布,F分布的临界点,12.2 参数估计,第十二章 数理统计,12.2.1 参数的点估计,设 为总体X的待估参数, 为 总体X的一个样本,构造一个统计量 作为 的估计,就称 为 的一个估计量。这类 问题称为参数的点估计问题。,12.2 参数估计,1矩估计法,矩估计法就是用样本的数字特征来估计与 之相应的总体的数字特征,即用样本矩作为相 应的总体矩的估计。,12.2 参数估计,2极大似然估计法,定义12.3 设
6、是来自概率函数 为 的总体的一个样本观测值, 为未知 参数,则称,为 的似然函数。,12.2 参数估计,极大似然估计量,定义12.4 如果 为 的函数, 它在 处达到极大值,则称 为 的极大似然 估计量。,求极大似然估计问题就是求函数的极值问题。,12.2 参数估计,求极大似然估计量通常步骤为,(1)建立似然函数,(2)取对数ln L;,(3)解似然方程 ,得到参数 的极 大似然估计量 。,12.2 参数估计,例2 设随机变量X的密度函数为,解: 似然函数为,12.2 参数估计,12.2 参数估计,3估计量优良性的标准,定义12.5 设 为未知参数 的一个估计量, 若 ,则称 为参数的无偏估计
7、量,简 称为无偏估计。,定义12.6 设 ,都是参数的无偏估计 量,若 ,则称 是比 有效的估计量。,12.2 参数估计,12.2.2 参数的区间估计,1. 置信区间与置信度,定义12.7 设 是来自总体X 的一个样本, , 是由样本确定的两个统 计量, 。如果对于总体中 的未知参数 ,有 , 则称随机区间 为参数 的置信度 的 置信区间,称 为置信区间的置信度(置信 水平),分别称 和 为置信下限和置信上限。,12.2 参数估计,2. 正态总体均值的区间估计,总体均值 的置信度为 的置信区间为,(1)总体 已知,求 的置信区间。,12.2 参数估计,(2)总体 未知,求 的置信区间。,总体均
8、值 的置信度为 的置信区间为,12.2 参数估计,3. 正态总体方差的区间估计,设 , 是X的样本,,方差 的置信度为 的置信区间为:,标准差 的置信度 为的置信区间为:,12.3 假设检验,第十二章 数理统计,12.3.1 假设检验,1小概率事件,某种产品按规定次品率不超过4%才能出厂, 今从一批产品中抽查10件,发现有4件次品,问 这批产品能否出厂?,假设次品率等于4 ,任抽10件发现4件 次品的概率为,12.3 假设检验,2假设检验的思想,(1)对所研究的总体作某个假设。,(2)通过抽样的样本值来检验是否接受假设。,12.3 假设检验,3假设检验的步骤,例3 已知某产品平均强度 9.73
9、公斤,现 改变制作方法,并随意抽取200件,算得 =9.94 公斤,s=1.62公斤。问制作方法的改变对强度有 无显著影响?,12.3 假设检验,12.3 假设检验,12.3.2 正态总体的假设检验问题,1单正态总体均值的检验,(1)已知方差 时,均值的检验(U检验),问题:已知总体 ,其中 已知, 现要通过抽样检测判断 ?,第一步 假设 。,12.3 假设检验,第二步 适当选取一个样本的统计量。 在已 知 的条件下,选样本统计量,在假设 的条件下,12.3 假设检验,第三步 根据显著性水平 ,确定拒绝域和接受域。,由标准正态分布表,查出满足下述关系的,于是接受域为 ,拒绝域为 和,第四步 计
10、算统计量 ,视其属什么区域 而作出判断。,12.3 假设检验,(2)未知方差 时,均值的检验(T检验),问题:已知总体 ,其中 未知, 现要通过抽样检测判断 ?,第一步 假设 。,第二步 选取样本统计量 ,在假 设成立的条件下,12.3 假设检验,第三步 根据显著性水平 ,由自由度n-1和 查t分布表得ts(n-1),确定接受域,其中ts(n-1)满足关系,12.3 假设检验,第四步 计算统计量,如果 ,则接 受假设,否则拒绝假设。,12.3 假设检验,2. 单正态总体方差的检验( 检验),问题:已知总体 ,其中 未知, 现要通过抽样检测判断 ?,第一步 假设,第二步 选取样本的统计量 ;因为
11、 在假设 时,,12.3 假设检验,第三步 根据显著性水平 ,确定接受域 和拒绝域 和 其中 分别满足 下列条件,第四步 计算统计量 ,视其属于 什么区域而判断接受假设,还是拒绝假设。,12.4 应用与实践,第十二章 数理统计,12.4.1 用 Mathematica求随机变量的数字特征,有关统计、计算或绘图的命令都保存在 函数库Statistics 中,可以用: Statistics 命令加载。,在计算随机变量的均值、方差之前,首先 要加载函数库,12.4 应用与实践,计算随机变量的均值、方差的命令格式:,12.4 应用与实践,12.4.2 用Mathematica作统计推断,1.单个总体数
12、学期望的假设检验,用于单个总体数学期望的假设检验的命令为,12.4 应用与实践,2. 单个总体方差的假设检验,用于单个总体方差的假设检验的命令,12.5 拓展与提高,第十二章 数理统计,12.5. 1. 一元线性回归,例4 某公司研究产量与生产费用之间的关系,从公司内部随机抽取了8个部门作样本,得到数据如下:,12.5 拓展与提高,认为x与y之间有线性关系存在,设有关系式,y=a+bx,yi=a+bxi+ (i=1,2,8),12.5 拓展与提高,2. 最小二乘法,=yi a bxi (i=1,2,8),12.5 拓展与提高,只有a,b是未知数,易知Q是a,b的函数, 求二元函数的极值,12.
13、5 拓展与提高,从中解出a,b的值,记作,引入记号,12.5 拓展与提高,于是有,确定 的方法称为最小二乘法。,12.5 拓展与提高,采用列表的方法计算例4回归直线方程,12.5 拓展与提高,于是可以计算出,故回归直线方程为,12.5 拓展与提高,3. 检验与预测,(1)检验,残差平方和,回归平方和,平方和分解公式 lxx= Q + U,12.5 拓展与提高,(2)预测,12.5 拓展与提高,下面检验例4中所求回归直线方程的显著性,由于,=0.05时, =F0.05(1,6)=5.99,显然有 FF0.05(1,6)=5.99,说明回归效果是显著的。,12.5 拓展与提高,4. 用Mathematica作回归分析,例5 以家庭为单位,某商品月需求量与 该商品价格之间的一组调查数据为,从这10对数据的散点图可以看出,变量与间大 致成线性关系,试用系统求关于的线性回归方程。,12.5 拓展与提高,解:,