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1、1 集合映射 2 线性空间的定义与简单性质 3 维数基与坐标 4 基变换与坐标变换 5 线性子空间 6 子空间的交与和 7 子空间的直和 8 线性空间的同构,第6章 线性空 间,1 集合映射,一、集合 集合的定义:作为整体看的一堆东西。通常用大写英文字母A,B,C,表示。 组成集合的东西叫元素，用小写英文字母a,b,c,表示,集合的表示法：列举法；描述法 集合的运算,空集合（不含任何元素的集合）记为 集合的包含 集合的相等,二、映射 从集合A到B的映射 是指A到B的一个对应法则, 使得对于每一个aA, 都有B中唯一确定的元素 b与之对应,记作 称元素b为a在,作用下的象,记作,称a是b的原象,
2、记象集合为,例1 设Z是整数全体，M是偶数的全体。定义,例2 设P是一个数域。定义,例3（恒等映射） 设M 是任意一个非空集合。定义映射,例4（常值映射） 设M,M是任意两个 非空集合。x0 是M中固定元素。 定义映射,合成(乘法): f:AB, g:BC.定义gf:AC, (gf)(a) =g(f(a) aA . 则gf是A到C的映射。称为f和g的合成或 乘法。,定理 映射的合成满足结合律.,与恒等映射的合成: f:AB, 1Bf =f1A=f,单射(1-1映射): a1a2 f(a1) f(a2) (f(a1) = f(a2) a1= a2) 满射(映上的): f(A) = B bB, a
3、A, s.t. b = f(a). 双射(1-1对应): 既单又满,逆映射: 若f是双射, f : AB， f (a)=b 则可以定义逆映射f -1: B A， f -1 (b)=a f -1还是双射,并且有: f -1f =1A, f f -1=1B.,定理 设映射f :AB, g: BC, (1) 若f单g单, 则gf 也单; (2) 若f满g满, 则gf 也满; (3) 若f双g双, 则gf 也双. 定理 设映射f :AB, g: BC, (1) 若gf 单, 则 f 单; (2) 若gf 满, 则 g满; (3) 若gf 双, 则 f 单g满. 作业:p267: 1,2,2 线性空间的
4、定义与简单性质,一、线性空间的概念,定义 设V是一非空集合,其元素（称为向量）以希腊字母 , ,表示; P是一数域,其元素以拉丁字母 a, b, c, , k, l,表示. 在集合V的元素之间定义一种“加法”运算, 即对于任意,V,在V 中都有唯一确定的元素与之对应, 称为与 的和,记作 = + .,在数域P与集合V的元素之间定义一种“数量乘法”运算, 即对于任意kP和V, 在V中也都有惟一确定的元素与之对应,称为k与数量乘积, 记作 =k. 如果上述运算满足如下8条运算性质, 则称V是 数域P上的线性空间,1加法交换律： + = + ； 2加法结合律：( + )+ = + ( + )； 3存
5、在向量0，使得对任一个向量 ,都有 + 0 = ; 4对任一个向量 , 存在向量 ，使得 + = 0. 51的数乘: 1 = ； 6数乘结合律：k(l) = (kl) ; 7数乘分配律：k( + ) = k + k; 8数乘分配律：(k + l) = k + l. 其中, , 是V中的向量，k,lP.,二、简单性质,(1) 定义条件 3中 0（ 称为V的零元素）是唯一的 (2) 对于任意 V，定义条件4中 （称为的负元素 ）是唯一的记为- 。 (3) 0 = 0，k0 = 0 (4) 若k = 0，则k = 0,或 = 0 证 若 k 0,则k-1(k) = k-10 = 0. 而 k-1(k
6、) = (k-1k) = 1 = , 所以, = 0 (5) 每个向量 的负向量等于 (1),例1 解析几何中讨论的3维空间中的向量全体,加法按平行四边形法则,还有数乘,作成3维实向量空间.几何与力学的许多问题可以由此来描述. 例2 Pn: 数域P上的所有n维向量组成的集合, 连同在其上定义的加法和数乘运算, 构成数域P上的线性空间, 称为n维向量空间(vector space) Rn: 为n维实向量空间 R3: 是3维实向量空间,即通常的几何空间.,例3 Pmn: 数域P上mn矩阵全体组成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法构成P上线性空间. 例4 C0(a, b): 闭区间 a, b 上所
7、有连续函数全体组成的集合对于函数的加法和数与函数的乘法，即 (f + g)(x) = f(x) + g(x) (kf)(x) = kf(x) 构成实数域R上的线性空间.,例5 Px: 系数属于数域P的一元多项式环,按通常多项式的加法和数与多项式的乘法, 构成数域P上的线性空间 例6 Pnx(或Pxn): Px中次数小于n的多项式全体加上零多项式,对于多项式的加法和数与多项式的乘法, 构成数域P上的线性空间,例7 次数等于n的多项式全体,在多项式加法及数乘多项式运算下不是线性空间.因为对于加法不封闭, 即两个n次多项式的和不一定是n次的 例8 数域P上的齐次线性方程组Ax=0的全体解向量, 在向
8、量加法及数乘向量运算下构成P上线性空间 例9 数域P按其本身运算即数的加法与乘法，构成数域P自身上的线性空间,例10 设V是全体正实数的集合R+, 数域是实数域R. 定义V中的加法与数乘为 a b = ab ka = ak 则R+对于所定义的运算构成实数域R上的线性空间. 这里的零元素是实数1, a的负元素是a-1,例11 设V=a只含一个元素, P是任意数域. 定义V中的加法与数乘运算为 a a = a ka = a 则V对于所定义的运算构成数域P上的线 性空间. 这里a就是V的零元素, 这种仅有一个零向量 组成的 线性空间称为零空间，零空间一般记作0 = 0 作业: p267. 3(3,4
9、,5,6),3 维数基与坐标,向量空间中的概念和结论,都可平移过来. 定义 设V是数域P上的线性空间, 1, 2, , s是V中的一组向量, k1, k2, , ks是数域P 中的一组数, 表示式 k11 + k22 + + kss 称为向量组1, 2, , s的一个线性组合, k1, k2, ks称为该组合的系数. 若令向量 使得 = k11 + k22 + + kss， 则称 可由向量组1, 2, , m线性表示, 也称 是向量组1, 2, , m的线性组合.,定义 如果向量组1, 2, , s中的每一个向量都可以由向量组1, 2, , t线性表示, 则说向量组1, 2, , s可以由向量
10、组1,2, ,t线性表示. 如果向量组1, 2, , s与向量组1, 2, , t可以互相线性表示，则称向量 组1, 2, , s与向量组1, 2, , s等价.,定义 对于线性空间V中的一组向量1,2, , s, 如果存在数域P中不全为0的数k1, k2, , ks, 使得 k11 + k22 + + kss = 0 则称1, 2, , s线性相关. 否则称1,2,s线性无关.,常用的结论,单个向量线性相关的充分必要条件是 = 0;单个向量线性无关的条件是 0 向量组1, 2, , m (m 2) 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余m1个向量线性表示. 设向量组1, 2,
11、, m线性无关，而向量组1, 2, , m, 线性相关，则 可由向量组1, 2, , m线性表示，且表示法唯一,常用的结论,若向量组1, 2, , s可以由向量组1, 2, , t线性表示, 并且s t, 则向量组1, 2, , s线性相关,设向量组1, 2, , s线性无关， 并且可以由向量组1, 2, , t线性表示，则s t,基维数,定义 设V是数域P上的线性空间, 1, 2, , n是V中的n个向量，如果满足 1, 2, , n线性无关； V中任意n+1个向量都线性相关， 则称1,2, , n是V的一组基,数n称为V的维数, 记作dimV = n. 称V为n维线性空间.,注,(1)零空
12、间0没有基, 规定其维数为0, 即dim 0 = 0. (2) 维数有限的线性空间称为有限维线性空间, 否则称无限维的.本课程只讨论有限维线性空间. (3) 注意基、维数与极大线性无关组与秩的定义的联系。,定理 如果在线性空间V中有n个线性无关的向量1, 2,n ,且V中任一向量都可以用它们线性表示，那么V是n维的, 而1, 2,n就是V的一组基. 证 由于1, 2,n线性无关, 则V的维数至少是n. 现证V中任意n+1个向量必定线性相关. 设 1, 2, n+1 是V中任意n+1个向量,它们可用向量1, 2,n 线性表示，从而线性相关。,定义 设1, 2, , n是n维线性空间V的一组基，V
13、中向量V可由1, 2, , n线性表示 = a1 1 + a2 2 + + an n = 1, 2, , n 称数组(a1, a2, , an)为向量 在基1, 2, , n下 的坐标(coordinate) 注(1) 任一向量在固定基下的坐标是惟一确定的. (2) 同一向量在不同基下的坐标一般不同.,例1 向量组1=(1,0, ,0), 2=(0,1, ,0), n= (0, 0, , 1)是n维向量空间Pn的一组基, 称为自然基（标准基）, 且dimPn = n. 向量 =(a1, a2, an)在自然基1,2,n下 的坐标是(a1, a2, , an) 例2 Px是无限维线性空间.,例3
14、 线性空间Pnx中,1, x, x2, , xn1 是一组基,且dim Pnx = n f(x)= a0+a1x +an-1 xn-1 在这组基下的坐标是(a0, a1, an-1) 可以证明1, (x-a), (x-a)2, (x-a)n1也是一组基。 用Taylor公式展开,f(x)在该基下的坐标是,例4 在线性空间Pmn中,记Eij为第i行第j列的元素aij=1,其它元素均为0的mn矩阵,即,第j列,不难验证,关于任一 mn矩阵A = aij mn有,所以Eiji=1,2,m;j=1,2,n线性无关 从而, Eiji=1,2,m;j=1,2,n 是Pmn的一组基, 且dimPmn = mn,例5 设A是mn矩阵，则齐次线性方程组 Ax = 0 的解向量全体构成一个线性空间, 称为线性方程组Ax = 0 的解空间若矩阵A的秩为r, 则解空间的维数为n - r,例6 把复数全体C看作是自身上的线性空间, 那么它就是1维的, 数1（或任意一个非零数）就是一组基； 如果将C看作是实数域R上的线性空间， 那么就是2维的, 数1与i就是一组基. 注 该例说明,维数与所考虑的数域是有关的. 作业:p268. 5,8(1,2,3),4 基变换与坐标变换,问题：如何选择适当的基，使所讨论的向量有较简单的坐标.,一、基变换,令,称矩阵A为由基1, 2, , n 到1, 2, , n
