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1、高三数学第一轮复习备考资料集合与常用逻辑用语命题及其关系、充分条件与必要条件 考点与要求 1了解命题的概念2了解“若，则”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 知识与方法梳理 一、基础知识A命题1命题可以判断 真假 的陈述句，叫做命题注：（1）数学命题的表达形式有：语言、符号、式子等（2）判断一个语句是否是命题，一看“陈述句”，二看“可判断真假”仅此两点例如，今天天气不错；两直线平行，内错角相等；若，则以上四个句子中，虽是陈述句，但不能判断其真假“天气不错”的标准不明确是陈述句，且能判断正确，因此是命题对于，当时，为真；当时，
2、为假这句话虽是陈述句，但无真假可言，因此不是命题. 显然是命题2假命题、真命题真命题：可以判断为 真 的命题，即当题设成立时，结论一定成立，叫做真命题假命题：可以判断为 假 的命题，即当题设成立时，结论不一定成立或一定不成立，叫做假命题注:判断一个命题的真假时，如果说一个命题是真命题，那么必须证明它的正确性；而判断一个命题是假命题时，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了延伸阅读: 开句、命题函数、开句的取真集（内容不要求掌握）（1）开句、命题函数形如“”、“”等单独的方程、不等式语句，都不是命题，因为它们也对也不对，即无真假可言这些语句在数理逻辑上叫做开句开句又叫做命题函数
3、，意思是当变元（这里的）取不同的个体的时候，就得到不同的命题开句常记作、，其中变元是在一定范围里变化.当取某个个体时，开句就变成了命题（与开句相对，有的书上把命题叫做句）如：对于“”而言，当时，为真；当时，为假（2）开句的取真集对于开句，最为关心的是，哪些个体使句子为真，哪些个体使句子为假例如，对于“”而言，“”时为真，“”时为假.使开句取真的的范围叫做的取真集，记作对开句来说，取真集为解方程，解不等式，本质上是找开句的取真集（3）将命题函数变成命题命题函数变成命题的方法有两个方法一：将命题函数中的用特殊个体代入，从而得到对特殊个体进行判断的命题，这种命题叫做单称命题例如“张三是共产党员”，其
4、中“张三”是被判断的个体，“是共产党员”是谓词，“是”是判断词再如，命题函数，对赋值，可得到命题和，即，和当然是真命题，是假命题方法二：利用量词来限制个体的范围例如：命题函数，前面添加量词“所有的”或“有”，得到命题“所有的实数都有”或“有实数使” 前者是假命题，后者是真命题3命题的形式若，则其中叫做命题的条件（或题设），叫命题的结论注：绝大多数命题都能写成上述形式，但有些则不能，如特称命题B四种命题及其关系1四种命题及其关系（1）四种命题是指原命题、原命题的逆命题、否命题、逆否命题.（2）设原命题为：“若，则”，则原命题的逆命题、否命题、逆否命题分别定义如下：逆命题：条件和结论分别是原命题的
5、结论和条件，其形式：“若，则”否命题：条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，其形式：“若，则”逆否命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，其形式：“若，则”延伸阅读：偏逆命题（内容不要求掌握）当命题的条件和结论都是一个简单命题时，只要将它们进行交换就得到了原命题的逆命题.如上面例子当命题的条件和结论不只是一个简单命题时，将命题条件和结论中的简单命题任意进行交换位置，就可以得到多个原命题的逆命题. 如命题“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”，命题条件有两个：“：垂直于弦”、“：过圆心”；结论也有两个：“：平分这条弦”、“：平分弦所对的两条弧”.其形式即为：，该命题的所
6、有偏逆命题有：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧；：垂直于弦且平分弦所对弧的直线经过圆心并且平分这条弦；：平分弦的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧；：平分弦所对的弧直径垂直平分这条弦2四种命题的真假关系（1）四种命题间的三种基本关系：互逆、互否、互为逆否关系（2）具有互逆关系的命题：原命题与其逆命题、原命题的否命题与原命题的逆否命题具有互否关系的命题：原命题与其否命题、原命题的逆命题与原命题的逆否命题具有互为逆否关系的命题：原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与原命题的否命题（3）等价命题：同真同假的两命题称为等价命题具有互为逆否关系的两个命题等价注：同真同假的含义：其中任何一个
7、命题的真与假必然导致另一命题的真与假（4）不等价关系：两命题的真假性 没有关系 互逆命题 、 互否命题 不等价C充分条件与必要条件记命题“若，则”为“”，若命题“若，则”为真，则进一步记作“”，为假时，则记作1基本概念（1）若，则称是的充分条件，是的必要条件（2）若，且，则称是的充分不必要条件，是的必要不充分条件（3）若，且，则称是的充要条件，这时，也是的充要条件（4）若，且，则称是的不充分不必要条件，这时，也是的不充分不必要条件注：（1）在判断中，要完整地叙述条件类型.比如：“充分不必要条件”不能只说成“充分条件”（2）叙述充要条件的等价语句：“当且仅当”、“必须且只须”、“若且仅若”等其中
8、，“当、必须、若”表达的是条件的充分性，而“仅当、只须、仅若”表达的是条件的必要性2对“充分条件”与“必要条件”的理解（1）从定义本身去理解充分条件：要使结论成立，只要具备条件就足够了事实上，式子已经表明，条件成立时，结论一定成立，就是说，要使结论成立，只要具备条件就足够了必要条件：当条件成立时，结论不一定成立，但条件不成立时，结论一定不成立.依题意，条件为、结论为一方面，虽然命题“”为真，但其逆命题“”却未必为真，因此，当条件成立时，结论不一定成立另一方面，命题“”为真，从而其逆否命题“”也真，即，据此可知，条件不成立时，结论一定不成立（2）利用开关电路图理解“充分条件”与“必要条件”视“开
9、关的闭合”为条件，“灯泡亮”为结论，则图中，条件是结论的 条件 充分不必要条件（）图中，条件是结论的 条件 必要不充分条件（）图中，条件是结论的 条件 充要条件（）图中，条件是结论的 条件 不充分不必要条件（）（3）从集合间的包含关系理解“充分条件”与“必要条件”设条件对应集合，条件对应集合，即，若，则是的充分条件，若，则是的充分不必要条件事实上，若有，可得，即，是的充分条件若有，可得，且，是的充分不必要条件若，则是的必要条件，若，则是的必要不充分条件事实上，若有，可得，即，是的必要条件若有，可得，且，是的必要不充分条件若，则与互为充要条件事实上，若有，可得，即，若有，可得，即，、互为充要条件
10、若且，则是的既不充分条件也不必要条件事实上，若有，可得，即，同理，是的既不充分也不必要条件二、基本思想方法等价转化的思想示例 已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围解：由得，由得，结合数轴有 解得点评与警示：本题利用等价转化思想，把转化为，进一步转化为是的子集，然后利用数轴列出不等关系 题型示例 A命题的判断、命题的真假判断例 判断下列语句哪些是命题？若是命题，是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的真子集； 命题；假命题（2）三角函数是单调函数吗？ 疑问句，不是命题（3）空间里垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 命题；假命题（4）； 开句，不是命题（5）若，则； 命题；真命题（二次
11、三项式的判别式，在条件下，始终有）（6）若整数是素数，则是奇数；命题；假命题（时，由条件推不出结论）（7） 命题；假命题点评与警示：构成命题的条件有两个，一个是陈述句，另一个是能判断真假B命题的形式例 把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假（1）周长相等的两个三角形面积相等； （2）偶数能被2整除； （3）奇函数的图象关于原点对称； （4）同弧所对的圆周角不相等； （5）菱形对角线互相平分； （6）垂直于同一条直线的两条直线互相平行； （7）负数的立方是负数； （8）对顶角相等解：（1）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形面积相等 假命题（2）若一个数是偶数，则它能被2整除 真命
12、题（3）若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称 真命题（4）若两个圆周角是同弧所对的圆周角，则它们不相等 假命题（5）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相平分 真命题（6）若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行真命题（7）若一个数是负数，则这个数的立方是负数 真命题.（8）若两个角是对顶角，则这两个角相等 真命题选填C四种命题的概念例 把下列命题改写成“若，则”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.（1）当时，； （2）对顶角相等；（3）等底等高的两三角形全等；（4）两边及夹角对应相等的两三角形全等解：（1）原命题：若，则 逆命题：若，则否命题：若，则 逆否命题：若，
13、则（2）原命题：若两个角是对顶角，则它们相等 逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等. 逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角（3）原命题：若两个三角形的对应高和底分别相等，则这两个三角形全等.逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应高和底分别相等. 否命题：若两个三角形的对应高和底不都相等，则这两个三角形不全等. 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应高和底不都相等（4）原命题：若两个三角形对应两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应两边和夹角分别相等否命题：若两三角形的应边两对及夹角不都
14、相等，则这两个三角形不全等逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应两边及夹角不都相等点评与警示：正确叙述正面术语的否定形式，如“都”的否定应为“不都”而非“都不”D四种命题之间的关系例 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假（1）垂直于平面内无数条直线的直线垂直于平面； （2）若，则方程有实根；（3）若，则；（4）菱形对角线垂直且相等解：（1）原命题：若直线垂直于平面内无数条直线，则直线垂直于平面 假命题.逆命题：若直线垂直于平面，则直线垂直于平面内无数条直线 真命题. 否命题：若直线不垂直于平面内无数条直线，则直线不垂直于平面 真命题逆否命题：若直线不垂直于平面，则直线不垂直于平面内无数条直线 假命题（2）逆命题： 若方程有实根，则 假命题否命题：若，则方程
