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1、宁波市2018年高考模拟考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1已知集合，则 A B C D2已知复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为 A B C D 3已知直线、与平面、，则下列命题中正确的是 A若，则必有 B若，则必有 C若，则必有 D若，则必有4使得（）的展开式中含有常数项的最小的为 A B C D 5记为数列的前项和“任意正整数，均有”是“为递增数列”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（第7题图）6已知实数，满足不等式组，则的最大值为A. 0 B. 2 C. 4 D. 87若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有
2、公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有 A种 B种 C种 D种8设抛物线的焦点为，过点的直 线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于，若，则与的面积之比A B C D 9已知为正常数，,若存在，满足，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 10已知均为非负实数，且，则的取值范围为 A. B C D 二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分11双曲线的离心率是 ，渐近线方程为 （第14题图）12已知直线若直线与直线平行，则的值为 ；动直线被圆截得弦长的最小值为 13已知随机变量的分布列如下表：若，则 ； 14已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是
3、顶角为的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为 ，该三棱锥的外接球体积为 15已知数列与均为等差数列（），且，则 （第17题图）16已知实数满足：，.则的最小值为 17已知棱长为的正方体中，为侧面中心，在棱上运动，正方体表面上有一点满足，则所有满足条件的点构成图形的面积为 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（本题满分14分）已知函数.（）求函数的单调递增区间；（）在中，角、的对边分别为、，若满足，且是的中点，是直线上的动点，求的最小值19（本题满分15分）如图，四边形为梯形，点在线段上，满足,且，现将沿翻折到位置，使得（）证明：;（）求
4、直线与面所成角的正弦值20（本题满分15分）已知函数，其中为实常数（）若是的极大值点，求的极小值；（）若不等式对任意， 恒成立，求的最小值21（本题满分15分）如图，椭圆的离心率为，点是椭圆内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与椭圆相交于点，与椭圆相交于点当恰好为线段的中点时，（）求椭圆的方程；（）求的最小值22. （本题满分15分）三个数列，满足， （）证明：当时，；（）是否存在集合，使得对任意成立，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由；（）求证：宁波市2018年高考模拟考试数学参考答案第卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四
5、个选项中，只有一项是符合题目要求的1D 2C 3C 4B 5A 6C 7C 8D 9D 10A 9关于直线对称，且在上为增函数所以 因为 ，所以10简解：，则试题等价于，满足，求的取值范围设点，点可视为长方体的一个三角截面上的一个点，则，于是问题可以转化为的取值范围显然，的最小值为到平面的距离，可以利用等积法计算因为，于是可以得到所以，即另解：因为，所以 令，则 当且，即或时取等号；另一方面，当时取等号所以第卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分11， 12， 13； 14， 15 16 1716简解：不妨设是中的最小者，即，由题设知，且，
6、.于是是一元二次方程的两实根，, 所以. 又当,时，满足题意. 故中最小者的最大值为.因为，所以为全小于0或一负二正.1） 若为全小于0，则由（1）知，中的最小者不大于，这与矛盾.2）若为一负二正，设，则当,时，满足题设条件且使得不等式等号成立故的最小值为6. 17答：构成的图形，如图所示记中点为，所求图形为直角梯形、三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（本题满分14分）解答：（） 4分由于，所以增区间为6分（）由得，所以. 8分作关于的对称点, 连，12分14分19（本题满分15分）解答：（）方法一：连交于，由条件易算 2分又 4分从而 所以 6分
7、7分（第19题图）方法二：由，得 , 故， 又 ，所以 ，2分所以， 3分可得，计算得,从而, 5分平面，所以. 7分（）方法一：设直线与面所成角为，则，其中为到的距离. 9分 到的距离即到的距离.由12分所以 . 15分方法二：由，如图建系，则设平面的法向量为，由，可取 ， 12分.15分20（本题满分15分）解答：（）， 因为由，得 ，所以 ,3分此时 则所以在上为减函数，在上为增函数5分所以为极小值点，极小值. 6分（）不等式即为所以 8分）若，则，当时取等号； 10分）若，则， 由（）可知在上为减函数所以当时， 13分因为所以于是 15分21（本题满分15分）解答：（）由题意设， 2分（第21题图）即椭圆，设由作差得， 又,即， 斜率 4分由消得， 则解得，于是椭圆的方程为：6分（）设直线, 由消得，于是8分 13分同理可得， , 当时取等号综上，的最小值为 15分22. （本题满分15分）解答：（）下面用数学归纳法证明：当时，）当时，由，得，显然成立；）假设时命题成立，即 则时， 于是因为所以，这就是说时命题成立由）可知，当时， 3分（）由，得，所以，从而 5分由（）知，当时，所以，当时，因为，所以综上，当时， 7分由，所以 ，所以，又从而存在集合，使得对任意成立，当时,的最小值为9分（）当时， 所以 即 ， 也即 ，11分 即,于是故.15分
