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1、华中科技大学数学建模考试卷（半开卷） 20092010学年度第一学期 成绩 学号 专业 班级 姓名 一二三四五六 合计分数101020202020100一、选择题 （每题2分，共10分）（1）建模预测天气。在影响天气的诸多因素及相互关系中，既有已知的又有许多未知的非确定的信息。这类模型属于（ b ）。 a.白箱模型 b.灰箱模型 c.黑箱模型 （2）在城镇供水系统模型中，水箱的尺寸是（ c ）。a.常量 b.变量 c.参数 （3）在整理数据时，需处理和分析观测和实验数据中的误差，异常点来源于（ c ）。a.随机误差 b.系统误差 c.过失误差 （4）需对一类动物建立身长与体重关系的模型。在对模
2、型的参数进行估计时，如已有30组数据，且参数估计精度要求较高，应采用（ b ）估计参数。a.图解法 b.统计法 c.机理分析法 （5）在求解模型时，为了简化方程有时会舍弃高价小量（如一阶近似、二阶近似等），由此带来一定的误差，此误差是（ a ）。a.截断误差 b.假设误差 c.舍入误差 二、填空题 （每空1分，共10分）（1）已知函数 ，当a很小时，一阶近似为（ ），当w很小时，二阶近似为（ ），而当x很小时，一阶近似为( ），二阶近似为（ ）。（2）学校共有3个系， 甲系103人，乙系63人，丙系34人。学生会共设有20个成员， 按Hamilton方法分配名额为（10 ，6 ，4 ），按Q值
3、法分配名额为（ 11 ，6 ，3 ）。（3）使用三次样条函数进行插值，在两节点间是（ 3 ）次多项式，在每个节点上既连续又（ 光滑 ）。中共有（ n+3 ）个待定系数，可由（ 插值 ）条件唯一确定。三、生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus（马尔萨斯）生物总数增长律：，其中p(t)是t时刻鲑鱼总数，t按分计。在时刻t =0，一群鲨鱼定居在这片水域，开始捕食鲑鱼，鲨鱼捕杀鲑鱼的速率为0.001p2(t)。此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有0.002条鲑鱼离开阿拉斯加水域。（1）考虑到这两种因素，试修正马尔萨斯生物总数增长律；（5分）（2）假设在t=0时存在一百万条鲑鱼，当t时发生
4、什么情况？（15分）解：（1）修正后的马尔萨斯生物总数增长律为： （2）令： 整理： 平衡解： 平衡点是稳定的。 即： 当t时还剩两条鲑鱼。 四、沿河有三城镇甲、乙和丙，污水需处理后才能排入河中。三城镇单独建立污水处理厂分别需投资230万元、160万元和230万元。如甲、乙联合建厂，需投资350万元；乙、丙联合建厂，需投资365万元；甲、丙联合建厂，需投资463万元；三城合作建厂，需投资556万元。如果联合建厂，各城镇如何分担费用？（20分）解：将分担费用问题转化为效益分配问题。即三城合作建厂节约了投资，产生了效益，可以用Shapley值方法分配这个效益。此问题为3人合作对策。 定义特征函数：
5、联合建厂比单独建厂节约的投资。 s11,21,31,2,3v(s)040064v(s-1)00025v(s)-v(s-1)040039s1223w(s)1/31/61/61/3w(s)v(s)-v(s-1)06.67013计算j 1： s21,22,31,2,3v(s)0402564v(s-2)0000v(s)-v(s-2)0402564s1223w(s)1/31/61/61/3w(s)v(s)-v(s-2)06.674.1721.33计算j 2： s31,32,31,2,3v(s)002564v(s-3)00040v(s)-v(s-3)002524s1223w(s)1/31/61/61/3w
6、(s)v(s)-v(s-3)004.178计算j 3： 分配向量为：在联合建厂总投资额556万元中各城的分担费用为： 甲城： 乙城： 丙城： 五、建模描述阻尼摆的运动周期。质量为m的小球系在长度为 l 的线的一端，稍偏离平衡位置后小球在重力mg 作用下做往复摆动。考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比，比例系数为k。（1）求摆动周期 t 的表达式。（15分）（2）讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期。（5分）解： （1）设 量纲： 量纲矩阵： 有m-r =5-3=2个基本解。 即： 与等效。 由由，其中为未知函数。 # (2) 物理模拟的比例:设对原型有： 对模型有： 又设
7、 则当时，即成立时，就有： # 六、一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的数据（胸围指鱼身的最大周长）。设，其中w为鱼的重量，l为鱼的身长，为待定参数。试用以下数据确定参数。（20分）身长（cm）36.831.843.836.832.145.135.932.1重量（g）76548211627374821389652454胸围（cm）24.821.327.924.821.631.822.921.6 解：直接用已给数据拟合。设 身长（cm）36.831.843.836.832.145.135.932.1重量（g）76548211627374821389652454胸围（cm）24.821.327.924.821.631.822.921.6X3.613.463.783.613.473.813.583.47均值3.60Y6.646.187.066.606.187.246.486.12均值6.560.01-0.140.180.01-0.130.21-0.02-0.130.08-0.380.50.04-0.380.68-0.08-0.44a、b的估计值为: # 7
