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1、 中考网 第2章一元二次方程目录2.1 一元二次方程(1)22.1一元二次方程(2)42.2一元二次方程的解法(1)62.2一元二次方程和解法(2)82.2一元二次方程的解法(3)102.3一元二次方程的应用(2)142.1 一元二次方程(1)教学目标1、经历一元二次方程概念的发生过程。2、理解一元二次方程的概念。3、了解一元二次方程的一般形式,会辨别一元二次方程的二次项系数,一次项系数及常数项。教学重点与难点教学重点:一元二次方程的概念,包括一般形式。教学难点:例1第4题计算容易产生差错,是本节教学的难点。教学过程一、 合作学习1、 列出下列问题中关于未知数x的方程正方形的面积为80,边长为
2、x,则可列出方程 。某村的粮食年产量,在两年内从60万千克增长到72万千克,问平均每年增长的百分率是多少?设年平均增长率为x,则可列出方程 。二、 引入新课观察方程x2=80 和两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次,我们把这样的方程叫做一元二次方程,能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根)练一练:1、判断下列方程是否为一元二次方程: 2(3x+2)=x2 +x+3=0 2、判断未知数的值、是否是方程的根。一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为的形式,我们把形如(、为常数,)称为一元二次方程的一般形式,其中、分别称为二次项、一次项和常数项。、
3、分别称为二次项系数和一次项系数。思考:为什么,、可以为零吗?三、范例讲解:例1:把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项。 解: 移项,整理,得这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为。 移项,整理,得 这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为。 移项,整理,得 这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为。 移项,整理,得 这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为。我们在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知数的系数从高到低排列,先写二次项,再写一次项,最后是常数项。四、练习巩固:1、方程 中是一元二次方程的为 (填序号)。2、关于的一元二次方程的一个解是,
4、则 3、判断下列各方程后面的两个数是不是它的解。 ( ) ( ) (3 , 1) ( ) () ( )五、小结:1、 记住一元二次方程的一般形式,并会判断方程是否为一元二次方程;2、 化成一元二次方程的一般形式后,能说出二次项系数,一次项系数和常数项;3、 能判断的值是不是方程的解。 作业:见作业本2.1一元二次方程(2)【教学目标】1.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤.2.会用因式分解法解一元二次方程.【教学重点与难点】教学重点:用因式分解法解一元二次方程.教学难点:例3方程中含有无理系数,需将常数项2看成,才能分解因式,是本节教学的难点.【教学过程】一. 复习引入1、将下列各式分解因
5、式:教师指出:把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解.2、你能利用因式分解解下列方程吗?请中等程度的学生上来板演,其余学生写在练习本上,教师巡视.之后教师指出:像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。(板书课题)二. 新课学习1、 归纳因式分解法解一元二次方程的步骤:教师首先指出:当方程的一边为0,另一边容易分解成两个一次因式的积时,用因式分解法求解方程比较方便.然后归纳步骤:(板书) 若方程的右边不是零,则先移项,使方程的右边为零; 将方程的左边分解因式; 根据若MN=0,则M=0或N=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。2、讲解例2.(1)解下列一元二次
6、方程:教师在讲解中不仅要突出整体的思想:把x-2及3x-4和4x-3看成整体,还要突出化归的思想:通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.并且教师要认真板演,示范表述格式,强调两个一元一次方程之间的连结词要用“或”,而不能用且。(2)想一想:将第(1),(2),(3)题的解分别代人原方程的左、右两边,等式成立吗? (3)归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型:先变形成一般形式,再因式分解:移项后直接因式分解.在选择方法时通常可先考虑移项后能否直接分解因式,然后再考虑化简后能否分解因式。2、 讲解例3.解方程在本例中出现无理系数,要注意引导学生将将常数项2看成,另外对于方程中出现
7、两个相等的根,教师要做好板书示范。3、补充例4 若一个数的平方等于这个数本身,你能求出这个数吗?首先让学生设出未知数,列出方程(),再让学生求解.根据学生的求解情况强调:对于此类方程不能两边同时约去x,因为这里的x可以是0。三、巩固练习:课本第32页课内练习。四、体会和分享能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗?先由学生自由发言,教师再投影演示:1.能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点:方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次因式的积;2.用分解因式法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程的右边化为零;(2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;(3)令每一个因式为零,得到两个一元一次
8、方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.3. 用分解因式法解一元二次方程的理论依据:两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0.4、用分解因式法解一元二次方程的注意点:1.必须将方程的右边化为零;2.方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.5、数学思想:整体思想和化归思想.五.课后作业1.书本作业题2.作业本【板书设计】屏幕2.1一元二次方程(二)因式分解法解一元二次方程1. 用分解因式法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程的右边化为零;(2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;(3)令每一个因式为零,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是
9、原方程的解. 2. 数学思想:整体思想和化归思想.2.2一元二次方程的解法(1)【教学目标】1. 理解开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义.2. 会用开平方法解一元二次方程.3. 理解配方法.4. 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.【教学重点与难点】教学重点:开平方法.教学难点:配方法有一个比较复杂的过程,无论从理解和运用上,对学生来说都有一定的难度.【教学手段】用多媒体powerpoint和黑板的形式。【教学过程】 (一)引入新课问题1: 在修建甬(宁波)金(金华)高速公路时,遇到高山,需要开掘隧道,为了预计这座山隧道的长度,工程人员测量了山的高度约AB=3千米,坡面的长度约A
10、C=5千米。请你估算开掘这座山的隧道约有多少千米?从甬金高速公路入手引出 型的一元二次方程,体现方程与几何图形性质的应用,对一元二次方程概念的理解、方程根的检验等起着复习巩固的作用。 (二)由问题1可得 即 再利用因式分解法得出方程的根。 如果把 变形为 ,进而可以理解为x是16的平方根,引出求这种方程的根可以用两边直接开方的方法进行,再得出开平方法的概念。 通过让学生观察体会得出开平方法的两个特征:1、它适合于什么样的方程?(左边是一个关于x的完全平方,右边为一个非负常数即 )。2:用什么样的方法来解?(方程的两边直接开平方的方法)然后通过一系列、连续的例题来巩固用开平方法解一元二次方程,既
11、突出本节课的重点,又比较自然的过渡到用配方法解一元二次方程。例1、(1 ) (2) (3) (4)通过第4个例题的讲解学生已经了解到,如果左边不是一个直接的完全平方,那么通过观察、变形,把它配成完全平方,就可以用开平方法来解一元二次方程。(三)、问题2:把方程变形:左边是一个含有x的式子的完全平方,而右边是一个非负数。1:先移项:含有未知数的项移到左边,含有常数的项移到右边。2:方程两边同加上一个合适的数。3:左边是一个完全平方,右边是一个非负常数。4:最后用开平方法来解即可引出配方法的概念。像这样,把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次
12、方程的方法叫做配方法。然后让学生回答:用配方法解一元二次方程关键在哪里?(就是如何在方程左、右两边同加上一个合适的数使左边配成一个完全平方。)为了弄清楚在方程的左右两边究竟应加上一个什么样的合适的数,可以通过专门的3个练习来得出。即突破本节课的难点。(1)(2)(3)最后让学生得出结论:1:加上一次项系数一半的平方;2:前提条件:二次项系数为1例2、 (1) (2)再次总结:形如(二次项系数为1时),可以用配方法来解一元二次方程。具体的步骤有:第一:移项。第二:等式两边同加上一次项系数一半的平方。第三:再用开平方法来解方程。(四)提出挑战题:当二次项系数不是1时,怎么办?为下节课的教学打下了基
13、础。例3、一、 课堂小结让学生回答1:用开平方法、配方法解一元二次方程的概念。2:用这两种方法解方程时,方程的特点。3:用这两种方法解方程时的步骤。4:让学生回答在解方程过程中应注意的事项。六、布置作业。2.2一元二次方程和解法(2)【教学目标】1. 巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤.2. 会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.【教学重点与难点】教学重点:用配方法解二次项的系数的绝对值不是1的一元二次方程.教学难点:当二次项系数为小数或分数时,用配方法解一元二次方程.【教学过程】一.复习旧知用适当的方法解下列方程: 1、(x-2)2=3 2、 x2+3x+1=0 请学生上来板演,老师点评归纳。二.新课讲授1.出示引例:用配方法解方程5x2=10x+1提出问题:当一元二次方程的二次项系数的绝对值不是1时,怎样用配方法来解?经学生讨论后,指定一名学生(中等程度)回答。教师总结:对于二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程,只要将方程的两边都除以二次项系数,就