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1、我们先回顾两个画图问题：1. 已知线段AB=5cm，以AB为腰的等腰ABC有多少个？顶点的轨迹是什么？2. 已知线段AB=6cm，以线段AB为底边的等腰ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形，用圆规画圆，圆上除了两个点之外都是顶点。已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外。要讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类。如果ABC是等腰三角形，那么存在AB=AC，BA=BC,CA=CB三种情况。等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以是解题既快又好。几何法一般分三步：分类，画图，计算。哪些题目适合用几何法呢？如果ABC的A
2、的余角是确定的，夹A的两边AB和AC可以用含的式子表示出来，那么就用几何法。如图1如果AB=AC，直接列方程;如图2，如果BA=BC，那么AC=ABcosA；如图3，如果CA=CB，那么AB=ACcosA.代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验。如果三角形的三个角都不确定，而三个顶点的坐标可以用含的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来。1.如图1，直线y=x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，2）点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BDPD于点D，连接PB，设点P的
3、横坐标为m（1）求抛物线的解析式；（2）当BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长； （3）如图2，将BDP绕点B逆时针旋转，得到BDP，且旋转角PBP=OAC，当点P的对应点P落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线:y= 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上。（1）求直线AE的解析式（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE，当PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，M是CP上一点，N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值（3）点G是线段CE的重点，将抛物线
4、y=沿轴正方向平移得到新抛物线y，y经过点D，y的顶点为F.在新抛物线y的对称轴上，是否存在点Q使得FCQ为等腰三角形？如果存在，直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.3.(湖南衡阳倒一)如图，AOB的顶点A、B分别在x轴、y轴上，BAO450，且AOB的面积为8（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）过点A、B的抛物线G与x轴的另一个交点为点C若ABC是以BC为腰的等腰三角形，求此时抛物线的解析式；将抛物线G向下平移4个单位后，恰好与直线AB只有一个交点N，求点N的坐标4.（四川广安倒一）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=
5、1（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒。当t为何值时，四边形OMPN为矩形当t0时，BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由。5.（四川南充倒二）如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为8/3，直线l析式为y=x（1）求二次函数的解析式；（2）直线
6、l沿x轴向右平移，得直线l，l与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CEx轴于点E，把BCE沿直线l折叠，当点E恰好落在抛物线上点E时（图2），求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，l与y轴交于点N，把BON绕点O逆时针旋转135得到BON，P为l上的动点，当PBN为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标6.（四川眉山倒一）如图，抛物线y=ax2+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A（3，0），且M（1，8/3）是抛物线上另一点.（1）求a、b的值；（2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；（3）若点
7、N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作NHAC交抛物线的对称轴于H点设ON=t，ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式.7.（四川巴中）如图，已知两直线，分别经过点A（1，0），点B（3，0），且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C，当点C的坐标为(0，根号3）时，恰好有l1l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与l1、l2、x、y轴分别交于点G、E、F，D为抛物线的顶点（1）求抛物线的函数解析式；（2）试说明DG与DE的数量关系？并说明理由；（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标8.（湖南湘潭倒二）已知
8、抛物线的解析式为y=1/20x2+bx+5（1）当自变量x2时，函数值y随x的增大而减少，求b的取值范围；（2）如图，若抛物线的图象经过点A（2，5），与x轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于B求抛物线的解析式；在抛物线上是否存在点P，使得PAB=ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由9.（贵州安顺倒一）如图甲，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不
9、存在，请说明理由；（3）当0x3时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）10.（贵州遵义）如图，抛物线y=ax2+bxab（a0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=x+（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？来源:学科网（3）在（2）问条件下，当BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M，将OM绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0到90之间）；i
10、：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；ii：试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值11.如图，抛物线与直线相交于两点，且抛物线经过点.（1）求抛物线的解析式；（2）点是抛物线上的一个动点（不与点、点重合），过点作直线轴于点，交直线于点.当时，求点坐标； 是否存在点使为等腰三角形，若存在请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.12.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（2，0），（6，8）（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使FOEFCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，OPQ是等腰三角形13.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形（）若PCD是等腰三角形时，求AP的长；（）若AP=，求CF的长
