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1、最短路径之Dijkstra算法详细讲解 最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括：（）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。 （）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。 （）确定起点终点的最短路径问题：即已知
2、起点和终点，求两结点之间的最短路径。 （）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”， 有时被简称作“路径算法”。 最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。 Dijkstra算法2.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多
3、，所以效率低。Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。2.2 Dijkstra算法思想Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将 加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点
4、的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。2.3 Dijkstra算法具体步骤（1）初始时，S只包含源点，即S，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或 ）（若u不是v的出边邻接点）。（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修
5、改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。2.4 Dijkstra算法举例说明如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）图一：Dijkstra无向图算法执行步骤如下表：【注：图片要是看不到请到“相册-日志相册”中，名为“Dijkstra算法过程”的图就是了】Floyd算法实现Floyd算法，并求所示有向图中各顶点之间的最短路径及其长度。 算法思想采用图的邻接矩阵存储，实现Floyd算法，数组P存储是否存在中
6、间点使长度缩短。设计描述数据存储结构类型的定义：typedef struct MGraph char vexsMAX_VERTEX_NUM; int arcsMAX_VERTEX_NUMMAX_VERTEX_NUM; int vexnum,arcnum; GraphKind kind; MGraph;源程序#include#include#define INFINITY 1000 / 最大值#define MAX_VERTEX_NUM 20 / 最大顶点个数#define TRUE 1#define FALSE 0typedef enumDG, DN, UDG, UDN GraphKind;
7、/ 四种图类型typedef struct MGraph charvexsMAX_VERTEX_NUM; / 顶点向量 intarcsMAX_VERTEX_NUMMAX_VERTEX_NUM; / 邻接矩阵 intvexnum,arcnum; / 图的当前顶点数和弧数 GraphKindkind; / 图的种类标志MGraph;void find(int PMAX_VERTEX_NUMMAX_VERTEX_NUMMAX_VERTEX_NUM,MGraph G,int a,int b);void main()MGraph G;int DMAX_VERTEX_NUMMAX_VERTEX_NUM,P
8、MAX_VERTEX_NUMMAX_VERTEX_NUMMAX_VERTEX_NUM;int v,w,k,a,b,i;printf(请输入顶点数和弧数);scanf(%d %d,&G.vexnum,&G.arcnum);G.kind=DG;printf(请输入邻接矩阵n); for (v = 0; v G.vexnum; v+) for (w = 0; w G.vexnum; w+) scanf(%d,&G.arcsvw); /读入邻接矩阵/ Pvwk为TRUE，则从v到w的最短路径中含有k节点/ Dvw从v到w的最短路径的长度for (v = 0; v G.vexnum; v+) for (
9、w = 0; w G.vexnum; w+) Dvw = G.arcsvw; for (k = 0; k G.vexnum; k+) Pvwk = FALSE; if (Dvw INFINITY) Pvwv = Pvww = TRUE; for (k = 0; k G.vexnum; k+) for (v = 0; v G.vexnum; v+) for (w = 0; w G.vexnum; w+) if (Dvk + Dkw Dvw) Dvw = Dvk + Dkw; for (i = 0; i G.vexnum; i+) Pvwi = Pvki | Pkwi; for(a=0; aG.v
10、exnum; a+)for(b=0; bG.vexnum; b+)if(Dab INFINITY & a!=b)printf(%c到%c最短路径为,65+a,65+b);printf(%ct,65+a);find(P,G,a,b);printf(%ct,65+b);printf(长度为%d,Dab);printf(n);void find(int PMAX_VERTEX_NUMMAX_VERTEX_NUMMAX_VERTEX_NUM,MGraph G,int a,int b)int k;for(k = 0; k G.vexnum; k+)if(Pabk=TRUE & k!=a & k!=b)f
11、ind(P,G,a,k);printf(%ct,65+k);find(P,G,k,b);测试结果输入 （1000为无穷！输出心得体会。！懂得了floyd算法的思想，用邻接矩阵存储带权值的图。问题主要出在输出打印方面Void find(int PMAX_VERTEX_NUMMAX_VERTEX_NUMMAX_VERTEX_NUM,MGraph G,int a,int b)int k;for(k = 0; k G.vexnum; k+)if(Pabk=TRUE & k!=a & k!=b)find(P,G,a,k);printf(t%c,65+k);find(P,G,k,b);采用递归的思想一次寻找是否存在中间点然后打印出来。问题出在红色部分，判定是否采用递归，未考虑k是否与a b相同，结果导致无限递归。从而发现 stack overflow的错误提示有可能出于递归无法跳出，导致栈的溢出问题。- 6 -
