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1、1,1,第3章 连续信号与系统的频域分析,本章基本要求 1掌握周期信号和非周期信号频谱的概念及信号频带宽度的概念。 2熟悉傅里叶变换的主要性质其含义。 3熟悉系统函数H()及频率响应特性。 4掌握抽样定理。 5了解无失真传输及理想低通滤波器的概念。 6初步掌握利用仿真分析的方法对信号的频谱及系统的频率响应特性进行仿真分析。,2,2,第3章 连续信号与系统的频域分析,3.1 周期信号的傅里叶级数 3.2 周期信号的频谱 3.3 非周期信号的傅里叶变换 3.4 傅里叶变换的基本性质 3.5 周期信号的傅里叶变换 3.6 连续信号Multisim环境下的频谱仿真分析 3.7 频域系统函数 3.8 连
2、续系统Multisim环境下的频率响应仿真分析 3.9 抽样定理 3.10 连续信号与系统Multisim环境下的频域综合仿真分析,3,3,3.1 周期信号的傅里叶级数,3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数 3.1.2 指数形式的傅里叶级数,本节首先给出傅里叶级数的表达式，然后应用仿真的手段，验证一些信号与傅里叶级数的对应关系，从而加深信号的时域描述与频域的谐波分量描述的对应关系的理解。,本节要求： 1. 熟悉傅里叶级数的表达式及其含义。 2. 熟悉典型周期信号的奇偶性与其谐波分量的关系。,4,4,3.1.1 三角形式的傅里叶级数,1. 连续时间周期信号,式中 为信号 的重复周期。 信号的频率
3、为 信号的角频率为,5,5,2. 三角函数形式的傅里叶级数,当周期信号 满足狄里赫利条件时，能展开成傅立叶级数，其中三角函数形式为,式中 为正整数； ， ， 为傅里叶系数，可以由式3.1-3、3.1-4、3.1-5求得，也可以根据 的奇偶性求得。,6,6,三角函数形式傅里叶级数的另外一种表示式为,式中 为正整数； ， ， 为傅里叶系数，可以由式3.1-7求得。,7,7,直流 分量,正弦 分量,余弦 分量,8,8,主要结论：,由上两式可以得出：“任何一个周期信号都可表示为一直流分量和许多不同频率的正弦、余弦（谐波）分量的加权和”。,频率 或 称为信号的基波频率；对应于 、 或 称为信号的基波分量
4、。,频率 或 称为信号的谐波频率；对应于 、 或 称为信号的谐波分量。,9,9,3. 信号的奇偶性与傅里叶系数的对应关系,、 、 与 的奇偶性（对称性）有着密切的关系，了解这一特性更有助于对傅里叶级数的求解或定性地分析。可参考表3-1和表3-2。,10,10,其三角函数形式傅里叶级数为,11,11,12,12,奇谐函数 ：,13,13,偶谐函数 ：,下面通过几个仿真实验观看信号的分解与合成,在方波合成的仿真实验中，先选择五个谐波分量合成，然后再将每一个信号源电压分别置零后观察其合成的效果，从而说明高次谐波的作用。,14,14,仿真实验一、方波的合成与分解,对称周期方波为偶函数且奇谐函数,设方波
5、的幅值E=4V，则,注意：仿真实验中的方波是奇函数，所以是用正弦谐波分量合成的。,15,15,仿真实验二、三角波的合成与分解,对称周期三角波为偶函数，去直流后为奇谐函数,设三角波的幅值E=4V，则,16,16,仿真实验三、锯齿波的合成与分解,对称周期锯齿波为奇函数,设锯齿波的幅值E=4V，则,17,17,3.1.2 指数傅里叶级数,1.由三角傅里叶级数，再根据欧拉公式可得指数傅里叶级数为,式中 为整数； 为傅里叶系数，可以由式3.1-13，或3.1-14求得。,18,18,指数傅里叶级数的系数,由指数傅里叶级数的表达式可以看出：“任何一个周期信号可表示为许多不同频率的 复指数谐波分量的加权和”
6、。,由欧拉公式 可以看出：由一对正负频率的复指数分量构成一个相同频率的正弦分量。,19,19,2. 指数傅里叶级数的特点,同一个信号可以表示为二者形式不同的傅里叶级数，其实质完全一致。,指数形式的傅里叶级数中含有负频率项，这只是数学运算的结果，没有实际的物理意义，不表示负频率的存在。只有把负频率项与相应的正频率项成对地合并起来，才是实际的正弦频率分量。,三角形式中的傅里叶系数是实函数，而指数形式中的傅里叶系数一般是复函数。,是 的偶函数， 是 的奇函数。,20,20,三角傅里叶级数：可以通过不同频率正弦分量的合成进行仿真。 指数傅里叶级数：由于客观上复频率分量无法描述，所以不能进行仿真。 引入
7、复频率分量的意义在于使得数学分析更加方便，容易描述。,21,21,小 结,任意周期信号都可以表示为三角形式的傅里叶级数。包含有直流分量，各次谐波的正弦分量来组成。 同样，也可以表示为指数形式的傅里叶级数。包含有直流分量，各次谐波的正频率和负频率的指数分量来组成。而客观上不存在负频率分量。 根据信号的奇偶性可以定性地判断出其所包含的谐波分量。,22,22,3.2 周期信号的频谱,3.2.1 周期信号的频谱 3.2.2 周期信号频谱的特点及频带宽度,本节首先给出频谱的概念、特点及频带宽度的概念，然后应用仿真的手段，验证周期矩形脉冲信号的时域变化与频域频谱变化的对应关系，从而加深理解信号的频谱。,本
8、节要求： 掌握 周期信号频谱的特点及频带宽度,23,23,3.2.1 周期信号的频谱,信号的频谱可分为：信号的振幅频谱图，信号的相位频谱图。,相位频谱图：把各频率分量的初相用相对应的线段依次排列起来，就得到了周期信号的相位频谱图。,用频谱图描述信号是频域表示的一种方式，它简便、直观地反映出各个频率分量中振幅和相位与频率变化的关系。（见图3.2-1、图3.2-2）,振幅频谱图：为了更直观，更方便地表述一个周期信号所包含的频率分量和各频率分量所占的比重大小，通常采用一长度与各次谐波的振幅大小相对应的线段，按频率的高低把它们依次排列起来，就得到了周期信号振幅频谱图；,24,24,1单边频谱,三角傅里
9、叶级数,直流 分量,25,25,2双边频谱,指数傅里叶级数,其中 称为幅度频谱； 称为相位频谱。由于变量n从 ，所以称为双边频谱。,26,26,直流 分量,复指数谐波相位分量,复指数谐波幅值分量,27,27,3.2.2 周期信号频谱的特点及频带宽度,1. 周期信号频谱的特点 离散性 谐波性 收敛性,28,28,2. 周期矩形脉冲信号的频谱,周期矩形脉冲信号的周期为T，脉冲宽度为 。,29,29,周期矩形脉冲信号的傅里叶系数，即频谱函数为,周期矩形脉冲信号的频谱图为,直流 分量,实函数,30,30,3. 周期矩形脉冲信号频谱特点（见P73）,离散性、谐波性、收敛性；谱线间隔与周期成反比；,直流分
10、量、基波及各次谐波分量的大小正比于脉冲的幅值和脉冲宽度，反比于脉冲信号的周期，其谱线的包络按抽样函数的规律变化。,谐波能量主要集中在第一个零分量频率内。,31,31,4. 信号频带宽度的定义（P73）,对于周期矩形脉冲信号的频带宽度为0到第一个零分量的频率范围内。即,显然，周期矩形脉冲信号的持续时间（脉冲宽度）越长，其频带宽度越窄；反之，频带宽度越宽。例如：模拟信号就是窄频带宽度信号，数字信号就是宽频带宽度信号。,32,32,频带宽度的定义,信号的 频带宽度,频带宽度的另一种定义：最大幅值的十分之一所对应的频率点形成的宽度。比如周期三角脉冲信号。,33,33,采用Multisim 仿真软件对几
11、种常用信号的频谱进行测量和分析，进一步说明信号波形的时域变化与频域频率分量的关系。(见3.6.1节） 仿真实验一:单频正弦量的频谱； 仿真实验二:周期三角波的频谱（偶函数有直流分量）； 仿真实验三:周期锯齿波的频谱（奇函数）； 仿真实验四:周期脉冲信号的频谱； 仿真实验五:调制周期脉冲信号的频谱。,频带宽度与信号脉冲宽度、周期变化的观察,34,34,小 结,周期信号的频谱可以表示单边频谱，也可以表示双边频谱。 周期信号的频谱具有离散性、谐波性和收敛性。 周期信号的频带宽度与其时域波形变化快慢有着密切的关系。 周期矩形脉冲信号持续时间（脉冲宽度）越长，其频带宽度越窄。反之，则其频带宽度越宽。,3
12、5,35,3.3 非周期信号的傅里叶变换,3.3.1 傅里叶变换 3.3.2 非周期信号的频谱 3.3.3 典型信号的傅里叶变换,本节要求： 1. 熟悉主要傅里叶变换的含义。 2. 掌握非周期信号的频谱表示及其含义。 3. 熟悉典型非周期信号频谱的特点及其频带宽度。,36,36,3.3.1 傅里叶变换,1. 从傅里叶级数到傅里叶变换 已知周期信号 可以展开为傅里叶级数，即,式中 。,37,37,当周期T1时，周期信号fT(t)可以变为非周期信号f(t)。即,式中， 称为信号 的频谱密度函数，简称频谱函数，其意义为单位频率上的谐波幅度。 为 的复函数。,当T1时，周期信号fT(t)频谱的谱线间隔
13、 ，谱线由离散变为连续， ，离散谐波变为连续。则,38,38,2. 傅里叶反变换 通过相同的方法可以得出的傅里叶反变换为,在以上讨论中， 是傅里叶级数的系数，是 函数，称为频谱函数，是针对连续周期信号的；而 则是傅里叶变换，是 函数，称为频谱密度函数，是针对连续非周期信号的。,上式表明，一个非周期信号可以看作无限多个幅度无限小的复指数谐波之和，而其中每一个分量 的复振幅为 。,39,39,傅里叶变换对,上式的对应关系简单记为,时域 信号,频域 频谱函数,傅氏正变换,傅氏反变换,时域 信号,3. 傅里叶变换存在的条件,傅里叶变换存在的充分条件是,40,40,3.3.2 非周期信号的频谱,由欧拉公
14、式可以将傅氏正变换式改写为,其中,称为幅度频谱,称为相位频谱,41,41,非周期信号的频谱图,幅度频谱,相位频谱,偶函数,奇函数,42,42,3.3.3 典型信号的傅里叶变换,1. 门函数（矩形脉冲信号）,1）时域图形及表达式,门函数,偶函数,43,43,2）傅里叶变换及频谱图,门函数的频谱,频率的 实函数,偶函数,44,44,门函数傅里叶变换的特点（见P79）,门函数的频谱,门函数,时域有限,频域无限,频带宽度,时域 越小，带宽 越大，频谱幅值越小。,45,45,2. 单边指数函数,1）时域图形及表达式,单边实指数函数,（a0）,有始信号 单边衰减,46,46,2）傅里叶变换及频谱图,其幅度
15、频谱和相位频谱分别为,单边实指数函数的频谱图,幅度频谱,相位频谱,47,47,单位冲激信号的频谱,单位冲激信号,3. 单位冲激信号,1）时域图形及表达式,偶函数,2）傅里叶变换及频谱图,时域变化急剧,频域频谱为常量 带宽无限,48,48,4. 直流信号,1）时域图形及表达式,直流信号,2）傅里叶变换及频谱图,直流信号频谱,时域变化平缓,频谱为冲激 带宽很窄,49,49,1）时域图形及表达式,单位阶跃信号,2）傅里叶变换及频谱图,单位阶跃信号的频谱,5. 单位阶跃信号,50,50,小 结,非周期信号的频谱可以表示为幅度频谱和相位频谱，它们是的连续函数。其中幅度频谱是的偶函数，相位频谱是的奇函数。
16、 典型非周期信号的频谱的频带宽度与其时域波形的变化有着密切关系。,51,51,3.4 傅里叶变换的基本性质,3.4.1 线性 3.4.2 对称性 3.4.3 尺度变换 3.4.4 时移特性 3.4.5 频移特性 3.4.6 卷积定理 3.4.7 时域微分和时域积分 3.4.8 频域微分和频域积分,本节要求： 熟悉傅里叶变换的主要性质其含义,52,52,3.4.1 线性,若 ， ，则对于任意常数 a1 和 a2，有,注意：只有同频率的分量才能进行运算。而频域加法运算后，其频域范围为两个频谱函数中最小的下限值，到最大的上限值。,53,53,3.4.2 对称性,若 ，则,若 为偶函数，则,上式表明，若F(t)的波形与 的波形一样，变量 ，则F(t)的频谱函数波形与函数f(t)的波形一样，
