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1、课时作业33数列的综合应用1已知数列an为等差数列，且满足a3a2 015，其中点A，B，C在一条直线上，点O为直线AB外一点，记数列an的前n项和为Sn，则S2 017的值为(A)A B2 017C2 018 D2 015解析：因为点A，B，C在一条直线上，所以a3a2 0151，则S2 017，故选A.2某制药厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)(n1)(n2)(2n3)吨，但如果年产量超过130吨，将会给环境造成危害为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是(C)A5年 B6年C7年 D8年解析：由题意
2、知第一年产量为a123510；以后各年产量分别为anf(n)f(n1)(n1)(n2)(2n3)n(n1)(2n1)2(n1)2(nN*)，令2(n1)2130，所以1n1，所以1n7.故最长的生产期限为7年3定义：若数列an对任意的正整数n，都有|an1|an|d(d为常数)，则称an为“绝对和数列”，d叫作“绝对公和”在“绝对和数列”an中，a12，绝对公和为3，则其前2 017项的和S2 017的最小值为(C)A2 017 B3 014C3 022 D3 032解析：依题意，要使其前2 017项的和S2 017的值最小，只需每一项都取最小值即可因为|an1|an|3，所以有a3a2a5a
3、4a2 017a2 0163，即a3a2a5a4a2 017a2 0163，所以S2 017的最小值为2(3)3 022，故选C.4设等比数列an的公比为q，其前n项之积为Tn，并且满足条件：a11，a2 015a2 0161，0.给出下列结论：(1)0q1；(2)a2 015a2 01710；(3)T2 016的值是Tn中最大的；(4)使Tn1成立的最大自然数等于4 030.其中正确的结论为(C)A(1)(3) B(2)(3)C(1)(4) D(2)(4)解析：由0可知a2 0151或a2 0161.如果a2 0151，那么a2 0161，若a2 0150，则q0；又a2 016a1q2 0
4、15，a2 016应与a1异号，即a2 0160，这与假设矛盾，故q0.若q1，则a2 0151且a2 0161，与推出的结论矛盾，故0q1，故(1)正确又a2 015a2 017a1，故(2)错误由结论(1)可知a2 0151，a2 0161，故数列从第 2 016项开始小于1，则T2 015最大，故(3)错误由结论(1)可知数列从第2 016项开始小于1，而Tna1a2a3an，故当Tn(a2 015)n时，求得Tn1对应的自然数为4 030，故(4)正确5(2019太原模拟)已知数列an中，a10，anan112(n1)(nN*，n2)，若数列bn满足bnnn1，则数列bn的最大项为第6
5、项解析：由a10，且anan112(n1)(nN*，n2)，得anan12n1(n2)，则a2a1221，a3a2231，a4a3241，anan12n1(n2)，以上各式累加得an2(23n)(n1)2n1n21(n2)，当n1时，上式仍成立，所以bnnn1nn1(n2n)n1(nN*)由得解得n.因为nN*，所以n6，所以数列bn的最大项为第6项6将正整数12分解成两个正整数的乘积有112,26,34三种，其中34是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34为12的最佳分解当pq(pq且p，qN*)是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f(n)qp，例如f(12)431，数列f(3n)的前
6、100项和为3501.解析：当n为偶数时，f(3n)0；当n为奇数时，f(3n)33，因此数列f(3n)的前100项和为313032313503493501.7(2019长沙、南昌联考)已知数列an的前n项和为Sn，且满足：a11，an0，a4Sn4n1(nN*)，若不等式4n28n3(5m)2nan对任意的nN*恒成立，则整数m的最大值为(B)A3 B4C5 D6解析：当n2时，两式相减得aa4an4，即aa4an4(an2)2，又an0，所以an1an2(n2)对a4Sn4n1，令n1，可得a4a1419，所以a23，则a2a12，所以数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，故an2n1
7、.因为4n28n3(2n1)(2n3)，nN*,2n10，所以不等式4n28n3(5m)2nan等价于5m.记bn，则，当n3时，1，又b1，b2，b3，所以(bn)maxb3.故5m，得m，所以整数m的最大值为4.8(2019南昌调研)已知正项数列an的前n项和为Sn，nN*,2Snaan.令bn，设bn的前n项和为Tn，则在T1，T2，T3，T100中有理数的个数为9.解析：2Snaan，2Sn1aan1，得2an1aan1aan，aaan1an0，(an1an)(an1an1)0.又an为正项数列，an1an10，即an1an1.在2Snaan中，令n1，可得a11.数列an是以1为首项
8、，1为公差的等差数列ann，bn，Tn11，要使Tn为有理数，只需为有理数，令n1t2，1n100，n3,8,15,24,35,48,63,80,99，共9个数T1，T2，T3，T100中有理数的个数为9.9(2019福建漳州模拟)已知数列an满足nan(n1)an12n22n(n2,3,4，)，a16.(1)求证：为等差数列，并求出an的通项公式；(2)设数列的前n项和为Sn，求证：Sn.解：(1)由nan(n1)an12n22n(n2,3,4，)，a16，可得2，3，则是首项为3，公差为2的等差数列，可得32(n1)2n1，则an(n1)(2n1)(nN*)(2)证明：由，可得数列的前n项
9、和Sn，即Sn.10已知函数f(x)，函数yf(x)在(0，)上的零点按从小到大的顺序构成数列an(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)f(x)tanx，由tanx及x0得xk(kN)，数列an是首项a1，公差d的等差数列，所以an(n1)n.(2)bn.Sn.11已知an是公差不为0的等差数列，bn是等比数列，且a1b11，a2b2，a5b3.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)记Sn，是否存在mN*，使得Sm3成立，若存在，求出m，若不存在，请说明理由解：(1)设数列an的公差为d(d0)，数列bn的公比为q，则由题意知d0或d2，d0
10、，d2，q3，an2n1，bn3n1.(2)由(1)可知，Sn，Sn，两式相减得，Sn1122，Sn3.故不存在mN*，使得Sm3成立12(2019河南洛阳模拟)已知等差数列an的公差d0，且a35，a1，a2，a5成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，Sn是数列bn的前n项和，若对任意正整数n，不等式2Sn(1)n1a0恒成立，求实数a的取值范围解：(1)因为a35，a1，a2，a5成等比数列，所以解得a11，d2，所以数列an的通项公式为an2n1.(2)因为bn，所以Snb1b2bn，依题意，对任意正整数n，不等式1(1)n1a0，当n为奇数时，1(1)n1a0即a1，所以a；当n为偶数时，1(1)n1a0即a1，所以a.所以实数a的取值范围是.7
