《2019年高考数学一轮总复习 专题31 数列的概念与通项公式检测 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高考数学一轮总复习 专题31 数列的概念与通项公式检测 理（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题31 数列的概念与通项公式本专题特别注意：1.归纳法求通项2.项和互化求通项时注意的取值3.累和法求通项的方法4.累积法求通项的方法5.递推公式求通项的构造【学习目标】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.3.会利用已知数列的通项公式或递推关系式求数列的某项.4.会用数列的递推关系求其通项公式.【方法总结】1.利用通项公式，应用函数思想是研究数列特征的基本方法之一，应善于运用函数观点认识数列，用函数的图象与性质研究数列性质.2.给出数列的常见途径有：列举、通项公式和递推关系式.3.应用公式an是求数列通项公式或递推关系式的常
2、用方法之一，同时应注意验证a1是否符合一般规律.【高考模拟】一、单选题1已知数列满足，若恒成立，则的最小值为（ ）A 0 B 1 C 2 D 【答案】D【解析】【分析】由，可得，利用裂项相消法可得结果.【详解】【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.2（2017保定市一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，若数列满足，且，则（ ）A 2 B -2 C 6 D -6【答案】C【解析】【分析】是
3、周期数列且周期为，因此，利用题设的函数解析式可求函数值【详解】【点睛】（1）当从数列的递推关系无法求通项时，可以从先计算数列的若干初始项，找出规律后可得通项（必要时用数学归纳法证明）（2）对于奇函数（或偶函数），若已知的解析式，则当的时的解析为（偶函数时为）3已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）A 数列的前项和为 B 数列的通项公式为C 数列为递增数列 D 数列是递增数列【答案】C【解析】【分析】方法一：根据数列的递推公式可得是以5为首项，以5为等差的等差数列，可得Sn=，an=，即可判断，方法二：当n=1时，分别代入A，B，可得A，B错误，当n=2时，a2+5a1（a1+a2
4、）=0，即a2+a2=0，可得a2=，故D错误，【详解】当n=1时，a1=，当n2时，an=SnSn1=，an=，故只有C正确，方法二：当n=1时，分别代入A，B，可得A，B错误，当n=2时，a2+5a1（a1+a2）=0，即a2+a2=0，可得a2=，故D错误，故选：C【点睛】已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.4设的三边长分别为，的面积为，若，则（ ）A 为递减数列B 为递增数列C 为递增数列，为递减数列D 为递减数列，为递增数列【答案】B【解析】【分析】由an+1=an可
5、知AnBnCn的边BnCn为定值a1，由bn+1+cn+12a1=及b1+c1=2a1得bn+cn=2a1，则在AnBnCn中边长BnCn=a1为定值，另两边AnCn、AnBn的长度之和bn+cn=2a1为定值，由此可知顶点An在以Bn、Cn为焦点的椭圆上，根据bn+1cn+1=，得bncn=，可知n+时bncn，据此可判断AnBnCn的边BnCn的高hn随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案【详解】【点睛】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，属于难题.5已知数列的首项，满足，则A B C D 【答案】C【解析】
6、【分析】由 ,两式相加可得，利用“累加法”可得结果.【详解】【点睛】由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法. 6已知是等差数列的前项和，则“对恒成立”是“数列为递增数列”的（ ）.A 充分必要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必条件【答案】A【解析】分析：根据题意先证充分性，再证必要性。详解：由题可得，化简可得,即所以即恒成立点睛：本题主要考查充分必要条件，以及等
7、差数列的通项公式和前n项和公式，由得到即是证明充分性的关键，作差化简得，是证明必要性的关键，属于中档题。7已知数列的任意连续三项的和是18，并且，那么（ ）A 10 B 9 C 5 D 4【答案】D【解析】分析：由题 ，可导出.详解：由题 ，则由，可得 ，由此可得.故 故选D.点睛：本题考查由数列的递推关系得到数列的有关性质，是基础题.8已知数列的通项为，则数列的最大值为（ ）A B C D 不存在【答案】C【解析】点睛：本题考查了数列中项的最值问题、考查了对勾函数的图象与性质，属于基础题9已知数列中，则等于（ ）A B C -1 D 2【答案】C【解析】【分析】根据前几项，确定数列的周期，然
8、后求解数列的项【详解】数列an满足，可得a2=1，a3=2，a4=，所以数列的周期为3，=a3672+2= a2=1，故选：C【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项10数列的一个通项公式为（ ）A B C D 【答案】C点睛：由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的
9、数列)等方法.(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用处理.11在数列中，若，则的值A B C D 【答案】A【解析】分析：由叠加法求得数列的通项公式，进而即可求解的和.详解：由题意，数列中，则，所以所以，故选A.点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.12在数列中，依次计算
10、，后，猜想的表达式是（ ）A B C D 【答案】A【解析】分析：由题意，分别求解出，由此可以猜想，得到数列的表达式.点睛：本题主要考查了数列的递推关系式的应用，其中根据数列的递推关系式，准确求解数列的的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.13如图所示的三角形数阵满足：其中第一行共有一项是，第二行共有二项是，第三行共有三项是，依此类推第行共有项，若该数阵的第15行中的第5个数是，则（ ）A 105 B 109 C 110 D 215【答案】B【解析】分析：由题意，根据三角形数阵的数字的排列规律，利用等差数列的求和公式，可计算得出第14行的最后一个数字，从而求得第15行的第5个数字的值.
11、详解：由题意，三角形数阵中可知，第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行由3个数字， ，第行有个数字，由等差数列的前项和公式可得前共有个数字，即第14行的最后一个数字为，所以第15行的第1个数字为，第15行的第5个数字为，故选B.点睛：本题主要考查了数表、数阵数列的应用，其中根据数表、数阵数列的数字排列规律，合理利用等差、等比数列的通项公式和前项和公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能，以及转化与化归思想的应用.14在数列中，=1，则的值为 （ ）A 512 B 256 C 2048 D 1024【答案】D【解析】分析：由，所以是等比数列，所以，公比，列出通项公式求解即可。点
12、睛：后一项为前一项的常数倍，那么此数列为等比数列。15在数列中，则等于A B C D 【答案】D【解析】分析：已知逐一求解。详解：已知逐一求解。故选D点睛：对于含有的数列，我们看作摆动数列，往往逐一列举出来观察前面有限项的规律。16已知，给出4个表达式：，.其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，的通项公式的是（ ）A B C D 【答案】A【解析】分析：逐一写出为可以逐一写出为排除详解：逐一写出为可以，逐一写出为不满足，故选A。点睛：分奇数、偶数的摆动数列，我们往往逐一写出前面有限项观察其规律 17已知数列满足：，.设，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）A B C D 【
13、答案】B详解：数满足：， 化为数列是等比数列，首项为，公比为2， ，故选B.点睛：本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，考查数列的函数特性，是中档题18一给定函数的图象在下列四个选项中，并且对任意，由关系式得到的数列满足.则该函数的图象可能是（ ）A B C D 【答案】D【解析】由得，所以在上都成立，即，所以函数图象都在的下方.故选D.19已知数列的通项为，则数列的最大值为（ ）A B C D 不存在【答案】C点睛：本题考查了数列中项的最值问题、考查了对勾函数的图象与性质，属于基础题20已知数列an满足a10，an1an2n，那么a2018的值是( )A 2 0182 B 2 0192 018 C 2 0172 018 D 2 0162 017【答案】C【解析】分析：先利用累加法求数列的通项，再求a2018的值.详解：由题得an1-an=2n，所以，所以.故a2018=20172018. 点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累加法”求通项.21如图所示的数阵中，用表示第行的第
