工程流体力学教学课件流体力学3

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1、第3章 流体运动学,流体运动学是用几何的观点来研究流体的运动，而不涉及流体的动力学性质。,在流体力学中研究流体质点往往是用伯努利（Bernoulli）方程将压强和速度联系起来。从这方面来讲研究流体质点的速度更为重要。,工程流体力学,3.1 描述流体运动的两种方法,3.1.1 流体质点和空间点,流体质点是指在流场中取出一块极小体积的流体微团，由于其几何尺寸极小可以略去不计，作为一个点，但它却具有一定的物理量，例如速度、加速度、压强和密度等。有时也将流体质点称为流体微团。,在流场中，由于流体是一个连续介质，因此在任何时候每一个空间点都有一个相应的流体质点占据它的位置。,工程流体力学,3.1.2 描

2、述流体运动的两种方法,工程流体力学,1.拉格朗日（Lagrange）法 拉格朗日法又称随体法。跟随一个选定的流体质点，观察它在空间运动过程中各个物理量的变化规律，当逐次由一个质点转移到另一个质点便可了解整个或部分流体的运动全貌。用一组数（ ）来作为该流体质点的标记。,工程流体力学,其表达式为, 用拉氏法表示的流体质点的速度和加速度。,其中,工程流体力学,其中,流体质点的密度场 、压强场p也可用拉氏坐标表示:,工程流体力学,用拉格朗日坐标描述流体质点群运动的数学方程将十分复杂，以致无法求解。除了研究波浪运动，或者台风运动，一般都应用欧拉法来描述。,工程流体力学,2.欧拉（Euler）法, 欧拉法

3、又称当地法。它是在选定的一个空间点，观察先后经过这个空间点的各个流体质点物理量的变化情况，当逐次由一个空间点转移到另一个空间点便能了解整个流场或部分流场的运动情况。,流体质点的速度场表示为,工程流体力学,速度分布的分量式可表为,流体质点的密度场 、压强场p也可用欧拉变数表示为：,工程流体力学, 用欧拉法表示的流体质点的加速度,速度表达式中的坐标x，y，z是质点运动轨迹上的空间点坐标，它不是独立变数，而是时间t的函数，即,流体质点的加速度则按复合函数求全导数的方法 来求：,工程流体力学,其分量式为,引进汉米顿（Hamilton）算子符号:,工程流体力学,可表示为,加速度各项的物理意义是,流体质点

4、的加速度由两部分组成。称 为当地加速度或局部加速度，由流场的不恒定性引起的。称 为变位加速度或迁移加速度，由流场的不均匀性引起的。,工程流体力学,质点的加速度是这两项之和，即,图3.1是水箱内的水经收缩管流出，若水箱无来水补充。,如果该水箱有来水补充，水位H保持不变。,工程流体力学,图3.1 收缩管出流,该质点的加速度,图3.2是水箱内水经等截面直管流出，若水位H不变即 。,工程流体力学,图3.2 等直径直管出流,推广到求任意物理量的质点导数，引入算子符号 :,物理量 的质点导数(随体导数)定义为:,等式右边第一项表示当地（局部）变化率，其他三项表示迁移（变位）变化率。,工程流体力学,拉格朗日

5、法和欧拉法，它们之间是可以互相转换的。,（1）设已给的是拉格朗日表达式,工程流体力学,3.1.3 两种表示方法的互相转换,然后以欧拉坐标 代替式中的拉氏坐标 ，也就是求拉氏法的反函数。便得欧拉表达式。,工程流体力学,首先将上式两边微分后得到,【例3.1】已知流体质点运动拉格朗日表达式为,试用欧拉法来表示流体质点的运动。,【解】 流体运动为二维（平面）流动，首先对上式两边进行微分,工程流体力学,由于,将上式代入，得,即,此为欧拉法表达的流体质点运动。,工程流体力学,（2）设已给的是欧拉表达式,首先对两边进行积分，得,式中 为积分常数,工程流体力学,从,得到 和 的关系，然后以拉氏坐标 替代式中的

6、积分常数，便得到拉格朗日表达式。,工程流体力学,【例3.2】已知流体质点运动用欧拉表达式为,试将上式转换成拉格朗日表达式。,工程流体力学,【解】 由于,两边积分,故,当t=0时（即初始时刻）,工程流体力学,代入上式得到,即为拉格朗日表达式。,工程流体力学,3.2 流体运动的分类、迹线和流线,3.2.1 流体运动的分类,工程流体力学,1.流体运动按物理量变化来进行分类,流体运动可以分为恒定流动（定常流动）和非恒定流动（非定常流动）。,所谓恒定流动是指在任何固定的空间点来观察流体质点的运动，流体质点的流体参数皆不随时间变化。反之即为非恒定流动。,对于恒定流动，流场方程为,工程流体力学,2.流体运动

7、按坐标来进行分类,流体运动可分为一维、二维（平面）和三维（空间）流动。,流场中的运动参数（以速度为主）都可以表示为三个空间坐标（及时间）的函数， ，称这种流动是三维流动，或空间流动。如果速度场可简化表示为两个空间坐标的函数，称这种流动为二维流动（平面流动）；可简化为一个空间坐标的函数，称这种流动为一维流动。,图3.3所示为理想流体绕一个无限长圆柱体的流动。,工程流体力学,整个流场只需用x和y方向的两个坐标表示，即 ，属于二维流动，又称为平面流动。,在实际工程中，当流动管道或渠道流束的纵向尺寸远大于横向尺寸，当不考虑过流截面上速度分布时，为简化计算，工程上常将流速取断面的平均流速 ，那么，流动也

8、可视为一维流动 。,工程流体力学,图3.3 二维圆柱绕流,3.按流体质点的变位加速度来分类,流体质点的变位加速度为零，即,将这种流动称为均匀流动，否则就是非均匀流动。,【例3.3】已知速度场 。试问：（1）t =1s时在（2,1）点的加速度是多少。（2）流动是恒定流还是非恒定流。（3）流动是均匀流还是非均匀流。,工程流体力学,【解】 （1）由式（3.7）,以t =1s，x =2，y =1代入上式，得,同理,工程流体力学,（2）因速度场随时间变化，此流动为非恒定流。,（3）由式,故此流动是均匀流。,工程流体力学,3.2.2 迹线和流线,1.迹线的概念,某一个流体质点在连续的时间t到t+dt这段时

9、间内，在空间描绘出来的一条曲线，称为迹线。,迹线是用拉格朗日法来描述的，即根据（3.1）式 ：,工程流体力学,2.迹线的微分方程,如图3.4所示，该流体质点的速度分量分别为：,工程流体力学,图3.4 迹线,式中 是t的函数，表示一个流体质点在不同时刻t占据的空间位置。,便得到迹线的微分方程,工程流体力学,3.流线的概念,流线就是这样的一条曲线，在某个瞬时，这条曲线上所有空间点上的流体质点速度方向和该曲线相切。 这曲线就称为该瞬时的流线（图3.5）。,工程流体力学,图3.5 某时刻流线图,图3.6 绕二维圆柱体的流线图,一般情况下，二条流线是不能相交的，除非这个相交点，流体质点的速度为零。如图3

10、.6，两条流线在A、B点相交，通常将A和B分别称为前驻点和后驻点。,在流场中，某时刻过任意一点都可以作出一条相应的流线。如图3.7所示。,流线和迹线是两个完全不同的概念，但是在恒定流动中，流线和迹线在形式上是重合的。,工程流体力学,图3.7 过一点的流线,4.流线的微分方程,在直角坐标系中,在场论中，直角坐标系下 和 相切表示为：,工程流体力学,图3.8 流线方程,在t时刻，在流线AB上某点处取微分线段矢量 ， 为该点的速度矢量（图3.8），两者方向一致。,故必须满足,由于流线是对某一瞬时而言，所以微分方程中t是参变量，在积分过程中是作为常数来处理的。,工程流体力学,【例3.4】已知流体的速度

11、分布为,试求流线方程，并画流线图。,【解】 由流线的微分方程式（3.12）,得,其中t是参变量，积分得,工程流体力学,图3.9 同心圆族的流线图,显然，流线图是一组以原点为圆心的同心圆族（图3.9）。 由于在流线方程中不含有参变量t，所以流线的形状不随时间变化，但运动不是恒定流动。,工程流体力学,【例3.5】已知流场的速度分布为,试求： （1）t=1，过（0,0）点的流线方程。 （2）t=0，位于（0,0）点流体质点的轨迹。,工程流体力学,【解】（1）由流线的微分方程式（3.12）,以t作为参变量，积分得,为不同时刻t时的流线方程。,当t=1时 x=y=0 得到C=0,即流线方程为,工程流体力

12、学,（2）由迹线的微分方程式（3.11）,即,其中t是自变量， 式积分，得,由 t=0,y=0 确定积分常数C1=0,工程流体力学,即 代入 式，得,积分，得,由t=0 , x=0 确定积分常数C2=0,得,消去时间变量t ，得迹线方程,工程流体力学,【例3-6】已知流场的速度分布为,（K0 常数，且是在上半平面的流动）,试求：（1）流线方程，并绘制流线图； （2）迹线方程，并绘制迹线图。,【解】 （1）由流线的微分方程式（3.12）,积分，得,工程流体力学,流线族是一组以x轴和y轴为渐近线的等边双曲线，如图3.10所示。,（2）由迹线的微分方程式（3.11）,积分，得,即,工程流体力学,图3

13、.10 流线和迹线,消去t，即得 xy=C，为一组迹线方程。 由于流动是恒定流动，所以迹线和流线在形式上是重合的。,3.2.3 流管和流量,1.流管和流束,在流场中作一任意非流线的封闭曲线C，过C上每一点作出该瞬时的流线，由于这些流线是不会互相穿越的，它们所构成的管状壁面就称为流管，而里面的流体就称为流束。如果取的封闭曲线C相当小，则构成的流管称为微流管。,工程流体力学,2.过流断面、元流和总流,在流束上作出与流线相垂直的横断面称为过流断面，如果流线是相互平行的均匀流，过流断面是平面，否则就不是平面（图3.11）。,元流是指过流断面无限小的流束，它可以看成一条流线。总流是指过流断面为有限大的流

14、束，它可以看成由无限多的元流构成 。,工程流体力学,图3.11 过流断面,3.流量,流量是指单位时间内通过某一空间曲面（往往是过流断面）流体的量。,用体积表示就称体积流量，用QV表示，QV=m3/s； 用质量表示就称质量流量，用Qm表示，Qm=kg/s； 它们之间的关系是,其中 流体的密度,工程流体力学,流量的计算方法：,设A为流场中的一个任意控制曲面，那么通过A曲面的体积流量Q的计算，如图3.12。,通过dA面的体积流量为,式中 是 和 两矢量的夹角。,工程流体力学,图3.12 流量的计算方法,通过A曲面上的体积流量,规定，当流体是流出封闭曲面则Q0，当流体是流入封闭曲面，则Q0。,工程流体

15、力学,4.断面平均流速,在总流的过流断面上，一般来讲各点的流速大小总是不相同的。定义该断面的平均流速V，即,式中 Q该断面的体积流量； A该断面的面积。 平均速度概念在管道流动计算中经常使用。,工程流体力学,【例3.7】已知半径为R的圆管中，过流断面上的流速分布为 式中 是管轴中心处最大流速，r为距管轴中心的距离（图3.13）。,工程流体力学,图3.13 流量的计算,试求: （1）通过圆管的流量； （2）过流断面的平均流速V； （3）过流断面上速度恰好等于平均速度的 点距管轴中心的距离。,【解】 （1）在过流断面，半径为r处，取一环形微分面积， ，面上各点v相等。则通过该微分面积的体积流量,通

16、过圆管的体积流量Q为,工程流体力学,（2）过流断面上的平均流速V为,（3）依题意，令,则 处速度恰好等于平均速度。,工程流体力学,3.3 连续性方程,3.3.1 恒定运动下微流管的连续性方程,在流体中取一微流管，如图3.14。,或,常数,式中 流管某一过流断面处流体的密度； 该过流断面处流体的速度； 该过流断面的面积。 当研究不可压缩流体 常数时,工程流体力学,图3.14 微流管,当为管流时，,或,式中V为过流断面平均流速，A为过流断面面积。,在研究平面流动中，过流断面 （单位宽度）,即,工程流体力学,图3.15 流线的稀疏和密度,3.3.2 连续性微分方程,1.直角坐标系下的连续性微分方程,在流场中取微小的直角六面体空间作为控制体，在dt时间内，流体从AB面流入的质量