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1、1,5-5、定积分在几何方面的应用,一、定积分的元素法,回顾(求曲边梯形的面积),曲边，,以a,b为底的曲边梯形的面积A.,2,(3) 求和，,(4) 求极限，,相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，,小窄曲边梯形的面积为,则,而第i个,得A的近似值,得A的精确值,面积表示为定积分的步骤如下,3,面积元素,对以上过程进行简化:,这种简化以后的定积分方法叫“微元法”,的面积，,则,取,记为,则,4,注意：,使用元素法的条件：,则U相应地分成许多,即如果把区间,a,b分成许多部分区间，,部分量，,而U等于所有部分量之和.,则U在a,b 上的值可由定积分,示为,(3) 在a,b中任取得小区间,上的部
2、分量,来计算.,5,用元素法求量U的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,1.根据具体情况，,选取积分变量，,确定x的变化,区间a,b.,2.把区间a,b分成n个小区间，,取一代表区间,求出该区间上所求量的部分量的近似表达式,量U的微分元素.,3.写出定积分的表达式：,先作图,6,1.直角坐标系情形,二、平面图形的面积,以a,b为底的曲边梯形的面积A.,(2)由曲线,所围图形的面积.,其面积元素为：,则面积为,7,(4)由曲线,所围图形的面积.,其面积元素为：,则面积为,8,总之,时，,时，,9,解法1.,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,的面积.,问题：,积分变量只能选 吗？,10,解法
3、2.,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量，,11,解,由公式得：,的平面图形的面积.,12,解,两曲线的交点,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,选 为积分变量,面积.,13,选 为积分变量,说明:合理选择积分变量，能使计算简单.,面积.,解,14,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,（相当于定积分的换元）,连续.,15,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,16,面积元素,曲边扇形的面积为:,二、极坐标系情形,扇形，,求其面积.,则积分区间为,一小区间,则,17,解,利用对称性知,18,部分的面积.,例6,求由曲线,和,解,所求面积为,由图形的对称性，,所围成的公共,解方程组,得交点坐标为：,19,20,三、小结,一、元素法的一般步骤：,1.根据具体情况，,选取积分变量，,如：,x.,确定x的变化,区间a,b.,2.把区间a,b分成n个小区间，,取一代表区间,求出该区间上所求量的部分量的近似表达式,量U的元素.,3.写出定积分的表达式：,也叫微分元素.,作图,21,二、求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系,下平面图形的面积.,直角坐标系情形,曲边梯形的面积,其面积为,22,(注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算),则面积为,曲边梯形的面积,
