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1、1、稳定验算的重要性,设计结构,强度验算 刚度验算,最基本的必不可少,稳定性验算:,2、平衡状态的三种情况,稳定平衡:在某个平衡状态,轻微干扰,偏离原位, 干扰消失,恢复原位。,不稳定平衡:在某个平衡状态,轻微干扰,偏离原位, 干扰消失,不能恢复原位,继续偏移。,中性平衡:由稳定平衡到不稳定平衡的中间状态。,11-1 两类稳定问题概述,高强度材料应用、结构形式的发展,结构趋于轻型、薄壁化,更易失稳,稳定计算日益重要。,失稳造成的工程事故时有发生。,1922华盛顿镍克尔卜克尔剧院倒塌; 1983社科院科研楼施工过程中,脚手架整体稳定性破坏 ,稳定是指:假设对结构施加一微小干扰使偏离其原位置,当干
2、扰去除后,结构能恢复到原来的平衡位置。,3、失稳:随着荷载的逐渐增大,结构的原始平衡位置由稳定平衡 转为不稳定平衡。这时原始平衡状态丧失其稳定性。,分支点失稳: (第一类失稳),完善体系 (或称理想体系):,直杆(无初曲率), 中心受压(无初偏心)。,P1Pcr=,1Pcr,原始平衡状态是 稳定的是唯一的,P2Pcr,(稳定),(不稳定),(大挠度理论),(小挠度理论),原始平衡状态是不 稳定的。存在两种 不同形式的平衡状 态(直线、弯曲)。,分支点B将原始平衡路径 分为两段。在分支点B出现 平衡的二重性。原始平衡由 稳定转变为不稳定。,临界荷载、临界状态,2 Pcr,由于荷载自Pcr至压溃历
3、程极短,故Pcr就成了失稳的标志。而大挠度理论和小挠度理论求出的临界荷载十分贴近,可采用简单的小挠度理论求Pcr。,原始平衡:轴向受压,新平衡形式:压弯组合,原始平衡:轴向受压,新平衡形式:压弯组合,原始平衡:平面弯曲,新平衡形式:斜弯曲加扭转,结构的变形产生了质的改变。即原来的平衡形式成为不稳定 而可能出现新的与原来平衡形式有质的区别的平衡形式,同时, 这种现象带有突然性。,分支点失稳的特点:,其它结构的分支点失稳,极值点失稳: (第二类失稳),非完善体系:,具有初曲率的压杆,承受偏心荷载的压杆,(大挠度理论),(小挠度理论),Pe接近于中心压杆的欧拉临界荷载PE,稳定问题与强度问题的区别:
4、 强度问题是在稳定平衡状态下:,当 ,大变形,进行几何非线性分析(二阶分析)。,稳定问题重点是研究荷载与结构抵抗力之间的平衡;找出变形急剧增长的临界点及相应的临界荷载。在变形后的几何位置上建立平衡方程,属于几何非线性分析(二阶分析)。 非线性分析,叠加原理不再适用。,极值点失稳的特点:结构一开始受压就处于压弯状态,失稳与稳定无明显的界限,只是当接近失稳时,荷载增加很小,而挠度迅速增加。P- 曲线具有极值点。由于结构的变形过大,结构将不能正常使用。,1、单自由度完善体系的分支点失稳,EI=,1)按大挠度理论分析,A,(稳定),(不稳定),(大挠度理论) 不稳定平衡,(小挠度理论)随遇平衡,分支点
5、A处的临界平衡也是不稳定的。对于 这种具有不稳定分支点的完善体系,一般应当考虑初始缺陷的影响, 按非完善体系进行稳定性验算。,2)按小挠度理论分析, 1,小挠度理论能够得出正确的临界荷载,但不能反映当较大时平 衡路径的下降(上升)趋势。随遇平衡状态是简化假设带来的假象。,注: 1)平衡方程是对变形以后的结构新位置建立的。 2)建立平衡方程时方程中各项应是同量级的,主要力项(有限量)要考虑结构变形对几何尺寸的微量变化,次要力项(微量)不考虑几何尺寸的微量变化。,两类稳定计算简例,2、单自由度非完善体系的极值点失稳,EI=,1)按大挠度理论分析,A,=0,=0.1,=0.2,1,0.695,0.3
6、8,1.37,1.47,/2,1,这个非完善体系是极值点失稳, Pcr 随增大而减小。,EI=,2)按小挠度理论分析,A,设:1,1,=0,=0.1,=0.2,=0,各曲线都以水平直线 P/kl=1 为渐近线,并得出相同的临界 荷载值Pcr=kl 对于非完善体系,小挠度理 论不能得出随着的增大,Pcr 会逐渐减小的结论。,3、几点认识 1)一般说来,完善体系发生分支点失稳,非完善体系生极值点失稳。 2)分支点失稳的特征是存在不同平衡路径的交叉,在交叉点出现平衡形式的二重性,极值点失稳只存在一个平衡路径, 但平衡路径上出现极值点。 3)只有按大挠度理论才能得出稳定问题的精确结论,但小挠度理论比较
7、简单适用,特别是在分支点失稳问题中通常也能得出临界荷载的正确值。但也要注意它的某些结论的局限性。 4)在实际结构中难以区分这两类失稳问题。但分支点失稳问题更具有典型性,就失稳的突发性而言,更有必要首先加以研究;另外,在许多情况下,分支点临界荷载可作为临界荷载的上限考虑。 以下只讨论完善体系分支点失稳问题,并由小挠度理论求临界荷载。,11-2 有限自由度体系的稳定静力法和能量法,稳定计算最基本 最重要的方法,静力法:考虑临界状态的静力特征。 (平衡形式的二重性),能量法:考虑临界状态的能量特征。 (势能有驻值,位移有非零解),要点是利用临界状态平衡形式的二重性,在原始平衡位置之外寻找新的平衡位置
8、,列平衡方程,由此求临界荷载。,=0,原始平衡,0,新平衡形式,特征方程(稳定方程),临界荷载,确定体系变形形式(新的平衡形式)的独立位移参数的数目即稳定体系的自由度.,1、静力法,对于具有n个自由度的结构,新的平衡形式需要n个独立的位移参数确定,在新的平衡形式下也可列出n个独立的平衡方程,它们是以n个独立的位移参数为未知量的齐次代数方程组。根据临界状态的静力特征,该齐次方程组除零解外(对应于原有平衡形式),还应有非零解(对应于新的平衡形式),故应使方程组的系数行列式为零,D=0即为稳定方程,从稳定方程求出的最小根即为临界荷载Pcr。,例1:图示体系中AB、BC、CD各杆为刚性杆。使用两种方
9、法求其临界荷载。,解:1)静力法,设变形状态 求支座反力,列变形状态 的平衡方程,如果系数行列式 0 y1,y2为零,对应 原始平衡形式。,如果系数行列式=0 y1,y2不为零,对应 新的平衡形式。,对称问题可利用对称性求解。,2、能量法,静力法对等截面压杆的稳定分析较为简单,而对 变截面杆、有轴向分布荷载作用的杆就较为麻烦。 也可从稳定与能量的关系来分析稳定性。,A点为稳定平衡,偏离A点其势能将增加,故知稳定平衡位置的势能为最小。,B点为随遇平衡,偏离B点= 势能不变。,C点为不稳定平衡,偏离C点 其势能将减小,故知不稳定平衡位置的势能为最大。,对于弹性变形体系,其稳定性与能量的关系与刚性小
10、球情 况相似。设原始平衡状态为零势能点,让体系微小偏移,荷载 在位移上做功W(外力势能UP=W)使体系偏移,内力在变形上产生变形能U,使体系恢复原位置。总势能=U+ UP即总势能的增量。,如总势能=U+ UP 0(0),体系能 恢复原位置,平衡是稳定的; 如总势能=U+ UP =0(=0),体系能 在任意位置平衡,平衡为中性的; 如总势能=U+ UP 0(0),体系不 能恢复原位置,平衡是不稳定的。,用能量法求临界荷载,依据于临界状态的 平衡条件,它等价于势能驻值原理:,弹性体系在临界状态,其总势能为驻值,即 =0 或:=0 (单自由度体系),(用于多自由度体系),=0,弹性体系的平衡方程势能
11、驻值原理:对于弹性体系, 在一切微小的可能位移中,同时又满足平衡条件的位移(真实位移)使结构的势能为驻值,即:=0 , =应变能U+外力势能UP,MA=k,弹性应变能,荷载势能:,应用势能驻值条件:,位移有非零解得:,单自由度体系也可由=0解得:,总势能是位移的二次函数, 1)PUP表示体系具有足够的应变能克服荷载势能,使压杆恢复到原有平衡位置)当=0,为极小值0。,对于稳定平衡状态,真实的位移使为极小值,2)Pk/l ,当0,恒小于零(为负定) (即UUP表示体系缺少足够的应变能克服荷载势能,压杆不能恢复到原有位置) 。当=0,为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。,3)P=k/l ,当为任
12、意值时,恒等于零(即U=UP) 。 体系处 于中性平衡(临界状态)这时的荷载称为临界荷载Pcr=k/l 。,结论: 1)当体系处于稳定平衡状态时,其总势能必为最小。 2)临界状态的能量特征是:势能为驻值=0 ,且位移有非零 解。即:在荷载达到临界值前后,总势能由正定过渡到非正定。 3)如以原始平衡位置作为参考状态,当体系处于中性平衡P=Pcr 时,必有总势能=0。 对于多自由度体系,结论仍然成立。,2)能量法,在新的平衡位 置各杆端的相 对水平位移,D点的水平位移,弹性支座应变能:,荷载势能:,体系总势能:,势能驻 值条件:,以后的计算步骤同静力法,能量法步骤: 给出新的平衡形式;写出 总势能
13、表达式;建立势能驻 值条件;应用位移有非零解 的条件,得出特征方程; 解 出特征值,其中最小的即临界 荷载Pcr。,势能驻值条件等价于以位移表示的平衡方程。,体系总势能:,总势能是位移y1 、y2的对称实数二次型。,如果Pkl/3=Pcr, 是正定的。,如果kl/3 Pkl, 是不定的。,如果P=kl/3=Pcr, 是半正定的(当y1=y2 时, =0)。,如果P=kl, 是半负定的(当y1=y2 时, =0)。,如果Pkl, 是负定的。,由此可见,多自由度体系在临界状态的能量特征仍然是: 在荷载达到临界值的前后,势能由正定过渡到非正定。 (或说:势能达驻值,位移有非零值),A,B,C,k,例
14、2:用两种方法求图示体系的临界荷载。并绘其失稳曲线。,1、静力法: 两个自由度,取1 2 为位移参数,设失稳曲 线如图。,分析受力列平衡方程:,BC:,AC:,由位移参数不全为零得稳定方程并求解:,求失稳曲线:,2、能量法: 外力势能:,应变能:,总势能:,根据势能驻值条件:,由位移参数不全为零得稳定方程:,以下计算同静力法。,例3:用静力法求图 示体系的临界荷载。,两个自由度,取1 2 为位移参数,设失稳曲 线如图。,分析受力列平衡方程:,BC:,AC:,由位移参数不全为零得稳定方程:,B,例3:用能量法求图示体 系的临界荷载。,两个自由度,取1 2 为位移参数,设失稳曲 线如图。,求变形能
15、和外力势能:,B,当杆件上无外荷载作用时,杆端力的功=变形能。,例4:用静力法求图示体 系的临界荷载。EI=,两个自由度,取1 2 为位移参数,设失稳曲 线如图。,分析受力列平衡方程:,由位移参数不全为零得稳定方程:,A,B,C,D,用能量法求图示体 系的临界荷载。 EI=,两个自由度,取1 2 为位移参数,设失稳曲 线如图。,由位移参数不全为零得稳定方程:,A,B,C,D,求变形能和外力势能:,利用对称性求 EI=,1、正对称失稳取半刚架如图: 取 1 为位移参数,设失 稳曲 线如图。,2、反对称失稳取半刚架如图: 取 1 为位移参数,设失 稳曲 线如图。,静力法的解题思路:,先对变形状态建立平衡方程,然后根据平 衡形式的二重性建立特征方程,再由特征方程求出临界荷载。,与有限自由度体系不同的是,平衡方程是,代数方程(有限自由度体系) 微分方程(无限自由度体系),11-3 弹性压杆(无限自由度)的稳定静力法,1、等界面压杆,先由图解法求出近似解:l=4.5,再由试算法求更准确的值:,刚性支承上等截面直杆的稳定,=1,=0.7,=2,=0.5,=1,材力已导出几种简单支承情况下的轴压杆的临界荷载:,长度系数=2、1、0.7、0.5,约束加强,临界荷载提高。,具有弹性支承的等截面直杆的稳定,k=6i,本节虽以单根压杆为研究对象,但是,