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1、1、稳定验算的重要性,设计结构,强度验算 刚度验算,最基本的必不可少,稳定性验算：,2、平衡状态的三种情况,稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位， 干扰消失，恢复原位。,不稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位， 干扰消失，不能恢复原位，继续偏移。,中性平衡：由稳定平衡到不稳定平衡的中间状态。,11-1 两类稳定问题概述,高强度材料应用、结构形式的发展，结构趋于轻型、薄壁化，更易失稳，稳定计算日益重要。,失稳造成的工程事故时有发生。,1922华盛顿镍克尔卜克尔剧院倒塌； 1983社科院科研楼施工过程中，脚手架整体稳定性破坏 ,稳定是指：假设对结构施加一微小干扰使偏离其原位置，当干
2、扰去除后，结构能恢复到原来的平衡位置。,3、失稳:随着荷载的逐渐增大，结构的原始平衡位置由稳定平衡 转为不稳定平衡。这时原始平衡状态丧失其稳定性。,分支点失稳： （第一类失稳）,完善体系 （或称理想体系）：,直杆（无初曲率）， 中心受压（无初偏心）。,P1Pcr=,1Pcr,原始平衡状态是 稳定的是唯一的,P2Pcr,(稳定),(不稳定),(大挠度理论),(小挠度理论),原始平衡状态是不 稳定的。存在两种 不同形式的平衡状 态(直线、弯曲）。,分支点B将原始平衡路径 分为两段。在分支点B出现 平衡的二重性。原始平衡由 稳定转变为不稳定。,临界荷载、临界状态,2 Pcr,由于荷载自Pcr至压溃历
3、程极短，故Pcr就成了失稳的标志。而大挠度理论和小挠度理论求出的临界荷载十分贴近，可采用简单的小挠度理论求Pcr。,原始平衡：轴向受压,新平衡形式：压弯组合,原始平衡：轴向受压,新平衡形式：压弯组合,原始平衡：平面弯曲,新平衡形式：斜弯曲加扭转,结构的变形产生了质的改变。即原来的平衡形式成为不稳定 而可能出现新的与原来平衡形式有质的区别的平衡形式，同时， 这种现象带有突然性。,分支点失稳的特点：,其它结构的分支点失稳,极值点失稳： （第二类失稳）,非完善体系：,具有初曲率的压杆,承受偏心荷载的压杆,(大挠度理论),(小挠度理论),Pe接近于中心压杆的欧拉临界荷载PE,稳定问题与强度问题的区别：
4、 强度问题是在稳定平衡状态下：,当 ,大变形，进行几何非线性分析（二阶分析）。,稳定问题重点是研究荷载与结构抵抗力之间的平衡；找出变形急剧增长的临界点及相应的临界荷载。在变形后的几何位置上建立平衡方程，属于几何非线性分析（二阶分析）。 非线性分析，叠加原理不再适用。,极值点失稳的特点：结构一开始受压就处于压弯状态，失稳与稳定无明显的界限，只是当接近失稳时，荷载增加很小，而挠度迅速增加。P- 曲线具有极值点。由于结构的变形过大，结构将不能正常使用。,1、单自由度完善体系的分支点失稳,EI=,1）按大挠度理论分析,A,(稳定),(不稳定),(大挠度理论) 不稳定平衡,(小挠度理论)随遇平衡,分支点
5、A处的临界平衡也是不稳定的。对于 这种具有不稳定分支点的完善体系，一般应当考虑初始缺陷的影响， 按非完善体系进行稳定性验算。,2）按小挠度理论分析, 1,小挠度理论能够得出正确的临界荷载,但不能反映当较大时平 衡路径的下降(上升)趋势。随遇平衡状态是简化假设带来的假象。,注: 1）平衡方程是对变形以后的结构新位置建立的。 2）建立平衡方程时方程中各项应是同量级的，主要力项（有限量）要考虑结构变形对几何尺寸的微量变化，次要力项（微量）不考虑几何尺寸的微量变化。,两类稳定计算简例,2、单自由度非完善体系的极值点失稳,EI=,1）按大挠度理论分析,A,=0,=0.1,=0.2,1,0.695,0.3
6、8,1.37,1.47,/2,1,这个非完善体系是极值点失稳， Pcr 随增大而减小。,EI=,2）按小挠度理论分析,A,设：1，1,=0,=0.1,=0.2,=0,各曲线都以水平直线 P/kl=1 为渐近线,并得出相同的临界 荷载值Pcr=kl 对于非完善体系，小挠度理 论不能得出随着的增大，Pcr 会逐渐减小的结论。,3、几点认识 1）一般说来，完善体系发生分支点失稳，非完善体系生极值点失稳。 2）分支点失稳的特征是存在不同平衡路径的交叉，在交叉点出现平衡形式的二重性，极值点失稳只存在一个平衡路径， 但平衡路径上出现极值点。 3）只有按大挠度理论才能得出稳定问题的精确结论，但小挠度理论比较
7、简单适用，特别是在分支点失稳问题中通常也能得出临界荷载的正确值。但也要注意它的某些结论的局限性。 4）在实际结构中难以区分这两类失稳问题。但分支点失稳问题更具有典型性，就失稳的突发性而言，更有必要首先加以研究；另外，在许多情况下，分支点临界荷载可作为临界荷载的上限考虑。 以下只讨论完善体系分支点失稳问题，并由小挠度理论求临界荷载。,11-2 有限自由度体系的稳定静力法和能量法,稳定计算最基本 最重要的方法,静力法：考虑临界状态的静力特征。 （平衡形式的二重性）,能量法：考虑临界状态的能量特征。 （势能有驻值，位移有非零解）,要点是利用临界状态平衡形式的二重性，在原始平衡位置之外寻找新的平衡位置
8、，列平衡方程，由此求临界荷载。,=0，原始平衡,0，新平衡形式,特征方程（稳定方程）,临界荷载,确定体系变形形式(新的平衡形式)的独立位移参数的数目即稳定体系的自由度.,1、静力法,对于具有n个自由度的结构，新的平衡形式需要n个独立的位移参数确定，在新的平衡形式下也可列出n个独立的平衡方程，它们是以n个独立的位移参数为未知量的齐次代数方程组。根据临界状态的静力特征，该齐次方程组除零解外（对应于原有平衡形式），还应有非零解（对应于新的平衡形式），故应使方程组的系数行列式为零，D=0即为稳定方程，从稳定方程求出的最小根即为临界荷载Pcr。,例1：图示体系中AB、BC、CD各杆为刚性杆。使用两种方
9、法求其临界荷载。,解：1）静力法,设变形状态 求支座反力,列变形状态 的平衡方程,如果系数行列式 0 y1，y2为零，对应 原始平衡形式。,如果系数行列式=0 y1，y2不为零，对应 新的平衡形式。,对称问题可利用对称性求解。,2、能量法,静力法对等截面压杆的稳定分析较为简单，而对 变截面杆、有轴向分布荷载作用的杆就较为麻烦。 也可从稳定与能量的关系来分析稳定性。,A点为稳定平衡，偏离A点其势能将增加，故知稳定平衡位置的势能为最小。,B点为随遇平衡，偏离B点= 势能不变。,C点为不稳定平衡，偏离C点 其势能将减小，故知不稳定平衡位置的势能为最大。,对于弹性变形体系，其稳定性与能量的关系与刚性小
10、球情 况相似。设原始平衡状态为零势能点，让体系微小偏移，荷载 在位移上做功W（外力势能UP=W）使体系偏移，内力在变形上产生变形能U，使体系恢复原位置。总势能=U+ UP即总势能的增量。,如总势能=U+ UP 0（0），体系能 恢复原位置，平衡是稳定的； 如总势能=U+ UP =0（=0），体系能 在任意位置平衡，平衡为中性的； 如总势能=U+ UP 0（0），体系不 能恢复原位置，平衡是不稳定的。,用能量法求临界荷载，依据于临界状态的 平衡条件，它等价于势能驻值原理：,弹性体系在临界状态，其总势能为驻值，即 =0 或：=0 （单自由度体系）,（用于多自由度体系）,=0,弹性体系的平衡方程势能
11、驻值原理：对于弹性体系， 在一切微小的可能位移中，同时又满足平衡条件的位移（真实位移）使结构的势能为驻值，即：=0 , =应变能U+外力势能UP,MA=k,弹性应变能,荷载势能:,应用势能驻值条件:,位移有非零解得：,单自由度体系也可由=0解得：,总势能是位移的二次函数， 1）PUP表示体系具有足够的应变能克服荷载势能，使压杆恢复到原有平衡位置)当=0，为极小值0。,对于稳定平衡状态，真实的位移使为极小值,2）Pk/l ，当0，恒小于零（为负定） (即UUP表示体系缺少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置) 。当=0，为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。,3）P=k/l ，当为任
12、意值时，恒等于零(即U=UP) 。 体系处 于中性平衡（临界状态）这时的荷载称为临界荷载Pcr=k/l 。,结论： 1）当体系处于稳定平衡状态时，其总势能必为最小。 2）临界状态的能量特征是：势能为驻值=0 ，且位移有非零 解。即：在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定。 3）如以原始平衡位置作为参考状态，当体系处于中性平衡P=Pcr 时，必有总势能=0。 对于多自由度体系，结论仍然成立。,2）能量法,在新的平衡位 置各杆端的相 对水平位移,D点的水平位移,弹性支座应变能:,荷载势能:,体系总势能:,势能驻 值条件:,以后的计算步骤同静力法,能量法步骤: 给出新的平衡形式;写出 总势能
13、表达式;建立势能驻 值条件;应用位移有非零解 的条件,得出特征方程; 解 出特征值,其中最小的即临界 荷载Pcr。,势能驻值条件等价于以位移表示的平衡方程。,体系总势能:,总势能是位移y1 、y2的对称实数二次型。,如果Pkl/3=Pcr， 是正定的。,如果kl/3 Pkl， 是不定的。,如果P=kl/3=Pcr， 是半正定的（当y1=y2 时， =0）。,如果P=kl， 是半负定的（当y1=y2 时， =0）。,如果Pkl， 是负定的。,由此可见，多自由度体系在临界状态的能量特征仍然是： 在荷载达到临界值的前后，势能由正定过渡到非正定。 （或说：势能达驻值，位移有非零值）,A,B,C,k,例
14、2：用两种方法求图示体系的临界荷载。并绘其失稳曲线。,1、静力法： 两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。,分析受力列平衡方程：,BC:,AC:,由位移参数不全为零得稳定方程并求解：,求失稳曲线：,2、能量法： 外力势能：,应变能：,总势能：,根据势能驻值条件：,由位移参数不全为零得稳定方程：,以下计算同静力法。,例3：用静力法求图 示体系的临界荷载。,两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。,分析受力列平衡方程：,BC:,AC:,由位移参数不全为零得稳定方程：,B,例3：用能量法求图示体 系的临界荷载。,两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。,求变形能
15、和外力势能：,B,当杆件上无外荷载作用时，杆端力的功=变形能。,例4：用静力法求图示体 系的临界荷载。EI=,两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。,分析受力列平衡方程：,由位移参数不全为零得稳定方程：,A,B,C,D,用能量法求图示体 系的临界荷载。 EI=,两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。,由位移参数不全为零得稳定方程：,A,B,C,D,求变形能和外力势能：,利用对称性求 EI=,1、正对称失稳取半刚架如图： 取 1 为位移参数，设失 稳曲 线如图。,2、反对称失稳取半刚架如图： 取 1 为位移参数，设失 稳曲 线如图。,静力法的解题思路:,先对变形状态建立平衡方程，然后根据平 衡形式的二重性建立特征方程，再由特征方程求出临界荷载。,与有限自由度体系不同的是，平衡方程是,代数方程（有限自由度体系） 微分方程（无限自由度体系）,11-3 弹性压杆（无限自由度）的稳定静力法,1、等界面压杆,先由图解法求出近似解：l=4.5,再由试算法求更准确的值：,刚性支承上等截面直杆的稳定,=1,=0.7,=2,=0.5,=1,材力已导出几种简单支承情况下的轴压杆的临界荷载：,长度系数=2、1、0.7、0.5,约束加强，临界荷载提高。,具有弹性支承的等截面直杆的稳定,k=6i,本节虽以单根压杆为研究对象，但是，
