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1、9.8 串联电路的谐振,谐振(resonance)是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象，谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用，对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。,含有R、L、C的一端口电路，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。,1. 谐振的定义,发生谐振,2. 串联谐振的条件,谐振角频率 (resonant angular frequency),谐振频率 (resonant frequency),谐振条件,仅与电路参数有关,串联电路实现谐振的方式：,（1） L C 不变，改变 w 。,（2） 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变C )。,0
2、由电路本身的参数决定，一个 R L C 串联电路只能有一个对应的0 , 当外加频率等于谐振频率时，电路发生谐振。,3. RLC串联电路谐振时的特点,入端阻抗Z为纯电阻，即Z=R。电路中阻抗值|Z|最小。,电流I达到最大值 I0=U/R (U一定)。,(2) LC上的电压大小相等，相位相反，串联总电压为零，也称电压谐振，即,特性阻抗,品质因数,当 w0L=1/(w0C )R 时， UL= UC U,例,某收音机 L=0.3mH，R=10，为收到中央电台560kHz 信号，求（1）调谐电容C值；（2）如输入电压为1.5V 求谐振电流和此时的电容电压。,解,(3) 谐振时的功率,P=UIcosUIR
3、I02=U2/R， 电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。,电源不向电路输送无功。电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。,(4) 谐振时的能量关系,设,则,电场能量,磁场能量,（1）电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等 WLm=WCm。L、C的电场能量和磁场能量作周期振荡性的能量交换，而不与电源进行能量交换。,表明,（2）总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。,电感、电容储能的总值与品质因数的关系：,Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，品质因数越大，总的能量就越大，维持一定量的振荡所消耗的能量愈小， 振荡程度就越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好。一般讲
4、在要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高Q值。,4. RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性,（1） 阻抗的频率特性,谐振曲线,物理量与频率关系的图形称谐振曲线， 研究谐振曲线可以加深对谐振现象的认识。,幅频特性,相频特性,2. 电流谐振曲线,幅值关系：,I(w )与 |Y(w )|相似。,阻抗相频特性,阻抗幅频特性,从电流谐振曲线看到，谐振时电流达到最大，当 偏离0时，电流从最大值U/R降下来。即，串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出(表现为电流最大)，而对远离谐振频率的信号加以抑制(电流小)。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性”。,选择性 (selectivity)
5、,电流谐振曲线,为了不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振曲线的横、纵坐标分别除以w0和I(w0)，即,通用谐振曲线,Q越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力，所以选择性好。因此， Q是反映谐振电路性质的一个重要指标。,通用谐振曲线,称为通频带BW (Band Width),可以证明：,I/I0=0.707以分贝(dB)表示：,20log10I/I0=20lg0.707= 3 dB.,所以，1， 2称为3分贝频率。,根据声学研究，如信号功率不低于原有最大值一半，人的听觉辨别不出，这是定义通频带的实践依据。,例,一信号源与R、L、C电路串
6、联，要求 f0=104Hz，f=100Hz，R=15，请设计一个线性电路。,解,例,一接收器的电路参数为：,L=250mH, R=20W, C=150pF(调好), U1=U2= U3 =10mV, w0=5.5106 rad/s, f0=820 kHz.,小得多,收到北京台820kHz的节目。,（3） UL(w )与UC(w )的频率特性,UL(w ) ：,当w=0，UL(w)=0；0w0，电流开始减小，但速度不快， XL继续增大，UL 仍有增大的趋势，但在某个w下UL(w)达到最大值，然后减小。 w，XL， UL()=U。,类似可讨论UC(w)。,根据数学分析，当 =Cm时，UC()获最大
7、值；当 =Lm时，UL()获最大值。且UC(Cm)=UL(Lm)。,Q越高，wLm和wCm 越靠近w0,w Lmw Cm =w 0,例,一接收器的电路参数为：U=10V,w=5103 rad/s, 调C使电路中的电流最大，Imax=200mA，测得电容电压为600V，求R、L、C及Q,解,1. G、C、L 并联电路,对偶：,R L C 串联,G C L 并联,9.9 并联电路的谐振,谐振角频率,R L C 串联,G C L 并联,R L C 串联,G C L 并联,电压谐振,电流谐振,UL(w 0)=UC (w 0)=QU,IL(w0) =IC(w0) =QIS,推导过程如下：由定义得,2.
8、电感线圈与电容器的并联谐振,实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电容器并联时，电路如图：,谐振时 B=0，即,（1）谐振条件,此电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定时，满足,一般线圈电阻RL，则等效导纳为：,(b) 电流一定时，总电压达最大值：,(c) 支路电流是总电流的Q倍，设RL,(a) 电路发生谐振时，输入阻抗达最大值：,（2）谐振特点,例,如图R=10的线圈其QL=100，与 电容接成并联谐振电路，如再并联 上一个100k的电阻，求电路的Q.,解,例,如图RS=50k，US=100V，0=106，Q=100，谐振时线圈获取最大功率，求L、C、R及谐振时I0、U和P。,解,讨论
9、由纯电感和纯电容所构成的串并联电路：,3. 串并联电路的谐振,上述电路既可以发生串联谐振(Z=0)，又可以发生并联谐振(Z=)。可通过求入端阻抗来确定串、并联谐振频率。,对(a)电路，L1、C2并联，在低频时呈感性。随着频率增加，在某一角频率1下发生并联谐振。1时，并联部分呈容性，在某一角频率2下可与L3发生串联谐振。,对(b)电路L1、C2并联，在低频时呈感性。在某一角频率w1下可与C3发生串联谐振。ww1时，随着频率增加，并联部分可由感性变为容性，在某一角频率w2下发生并联谐振。,定量分析：,(a),当Z(w )=0，即分子为零，有：,可解得：,当Y(w )=0，即分母为零，有：,可见， w 1w 2。,Z ( )=jX( ),阻抗的频率特性,(b),分别令分子、分母为零，可得：,串联谐振,并联谐振,阻抗的频率特性,例,激励 u1(t)，包含两个频率w1、w2分量 (w1w2)：,要求响应u2(t)只含有w1频率电压。如何实现？,u1(t) =u11(w1)+u12(w2),LC串并联电路的应用：,可构成各种无源滤波电路 (passive filter)。,设计下列滤波电路实现：,解,并联谐振，开路,串联谐振，短路,w1 信号短路直接加到负载上。,该电路 w2 w1 ，滤去高频，得到低频。,
