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1、1 微积分常用公式及运算法则 常用三角公式： sin22sincos= ； 2222 cos2cossin2cos112sin= = 2 2tan tan2 1tan a = ； 2 cos1 2 sin2 =； 2 cos1 2 cos2 + =； cos1 cos1 2 tan 2 + =； sin cos1 cos1 sin 2 tan = + =； 2 2tan sin2 1tan = + ； 2 2 1tan cos2 1tan = + ； 2 2tan tan2 1tan = ； 22 sincos1+= 22 1tansec+= 22 1cotcsc+= 积化和差： ()() (
2、)() ()() ()() 1 sincossinsin 2 1 cossinsinsin 2 1 sinsincoscos 2 1 coscoscoscos 2 =+ =+ =+ =+ 和差化积： sinsin2sincos 22 sinsin2cossin 22 coscos2coscos 22 coscos2sinsin 22 + += + = + += + += 集合的并、交、余运算律： 交换律 ,;ABBA ABBA= 结合律 ()(), ()(); ABCABC ABCABC = = 分配律 ()()(), ()()(); ABCABAC ABCABAC = = 对偶律 (), (
3、); ccc ccc ABAB ABAB = = 初等函数： 双曲正弦、余弦、正切及运算 sinh() 2 xx ee yxy = ， sinh tanh( 11) cosh xx xx xee yxy xee = 对有理分式函数在无穷大处的极限，有 当时 当 当 当 00 00 00 lim( ),lim ( ),( ) lim ( )lim( ) uuxx xxuu f uAu xuu xu f u xf uA = = 设且 则 重要极限： 0 sin lim1 sintan0, 2 x x xxx x x = 当时 函数连续性： 0 0 lim( )() xx f xf x = 导数定义
4、： 00 ()( ) ( )limlim xx yf xxf x fx xx + = 0 0 ()( )|x xfxfx = = 求导公式： 1 2 2 2 2 2 ( )0, (), ()ln () 1 (ln ) 1 (log) ln (sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sectan (csc )csccot 1 (arcsin ) 1 1 (arccos ) 1 1 (arctan ) 1 (ar xx xx a C xx aaa ee x x x xa xx xx xx xx xxx xxx x x x x x x = = = =
5、 = = = = = = = = = = = + i i 2 1 ccot ) 1 x x = + 3 (sinh )cosh (cosh )sinh xx xx = = 微分公式： 1 2 2 d( )0d , d()d , d()lnd d()d 1 d(ln )d 1 d(log)d ln d(sin )cos d d(cos )sin d d(tan )secd d(cot )cscd xx xx a Cx xxx aaax eex xx x xx xa xxx xxx xxx xxx = = = = = = = = = = 2 2 2 2 d(sec )sectan d d(csc
6、)csccot d 1 d(arcsin )d 1 1 d(arccos )d 1 1 d(arctan )d 1 1 d(arccot )d 1 d(sinh )coshd d(cosh )sinh d xxxx xxxx xx x xx x xx x xx x xxx xxx = = = = = + = + = = i i 求导法则： 2 () () () () ( )( ) 1 ( ) ( ) uvuv uvuv uvu vuv uvwu vwuv wuvw uu vuv vv xyyf x fx y +=+ +=+ =+ =+ = = = 设，它的反函数是，则有 ddd ddd yyu
7、 xux =i链式求导法则： ( ) ( ) ln( )ln ( ) ( ) ( ) ( )ln ( ) ( ) v x yu x yv xu x x yv x u x v xu x yu x = = =+ 对数求导法则： 求幂指函数的导数时， 可先取对数，得， 然后两端对 求导，得 参数方程求导： ( ) ( ) d ddd( ) d d ddd( ) d xt yt y yytt t x xtxt t = = = i 若对参数方程求导，则有 高阶导数： ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )(1) ( )( )( ) ( ) 2211 ()! 1( 1)! () (sin )s
8、in 2 (cos)cos 2 (1)! ln(1)( 1)1 (1) () 1( 1)!11 2()() nn n n n xnx n n nn n nnn n n nn xn n xx ee n xx n x n xx x uvuv n xaaxaxa + + = = = =+ =+ += + +=+ = + 当 ( )()( ) 0 () n nkn kk n k uvC uv = = 4 微分定义： d( )( )dyfxxfxx= = 微分求近似值（线性逼近或一次近似） ： 0 000 0 000 d ()()() ( )()()() yyxxx f xxf xfxx xxx f x
9、f xfxxx =+ + =+ + 令得， 常用一次近似式： 1; sin; tan; (1)1; ln(1); x a ex xx xx xax xx + + + + 拉格朗日定理： ( ) , ,( , ), ( , ) ( )( )( )() f xC a bfD a b a b f bf afba = 若并且 那么至少存在一点，使 柯西中值定理： , , ,( , ),( , ) ( )0,( , ) ( )( )( ) ( )( )( ) f gC a bf gD a ba b g xa b f bf af g bg ag = 若并且在内 那么至少存在一点，使 泰勒中值定理： 0 1
10、 2 00000 ( ) 00 (1) 1 0 0 ( )( , ) (1)( , ) ( , ) 1 ( )()()()()() 2! 1 ()()( ) ! ( ) ( )(), (1)! ( ) n nn n n n n n f xxa b nfDa b xa b f xf xfxxxfxxx fxxxR x n f R xxx n R x xx + + + + =+ + = + 如果函数在含 的某个开区间 内具有阶导数，即， 那么对于，有 其中 称为拉格朗日余项， 这里 是 与 之间的某个值 拉格朗日中值公式： 00 0 ( )()( )() n f xf xfxx = =+ 当时，泰
11、勒公式就是拉格朗日中值公式： 麦克劳林公式： 0 0 0(01) x xx = = =+ =+ 不定积分线性运算法则 ( )( )d( )d( )du xv xxu xxv xx+=+ 不定积分的换元法 1 ( ) ( ) ( )( )d( )d ( )d ( ) ( )d ux tx fxxxf uu f xxfttt = = = = 6 积分公式 () 22 22 222 22 22 22 22 22 d1 arctan d arcsin d1 arcsin(0,0) d1 ln 2 sec dln |sectan| csc dln |csccot| d ln(0) d ln | xx C
12、 axaa xx C a ax xbx C ab ba ab x xxa C xaaxa xxxxC xxxxC x xxaC a xa x xxaC xa =+ + =+ =+ =+ + =+ =+ =+ + =+ 不定积分的分部积分法 dd dd uvxuvu vx u vuvv u = = 或 定积分 牛顿-莱布尼茨公式 , ,( )( ) ( )d( )( ) ( ) b b a a fC a bF xf x f xxF bF aF x = 如果函数函数是 的一个原函数，那么 () ( ) ( ) ( )( )( ) ( )d ( )( ) ( ) ( ) x x f txx f tx
13、fxxfxx = 设函数连续,函数及可导,则 定积分的换元法 , .( ) (1) ( ), ( ),( ,) , ( , ) , ; (2) ,( , ) ( )d ( ) ( )d b a fC a bxx aba b a b CC f xxfttt = = = 设函数如果函数满足： 且 或 或 那么： 0 , , ( )d2( )d ; , , ( )d0 aa a a a fCa a f xxf xx fCa a f xx = = 若并且为偶函数，则 若并且为奇函数，则 22 00 2 00 22 00 (sin )d(cos )d (sin )d(sin )d sindcosd nn fxxfxx xfxxfxx xxxx = = = 定积分的分部积分法 dd dd bb b a aa bb b a aa uvxuvvux u vuvv u = = 22 00 sindcosd (21)! 2 ), (2 )!2 (22)! 21) (21)! nn xxxx m nm m m nm m = = = = i(当 (当 1,2,3,m = 定积分的几何应用 平面图形的面积： 1.直角坐标情形 12 21 ( )( ),
