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1、二次函数中考压轴题精选1.（2012浙江湖州3分）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【 】A B C3 D4 2 （2012浙江义乌3分）如图，已知抛物线y1=2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2若y1y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1y2，此时M=0下列判断：当x
2、0时，y1y2； 当x0时，x值越大，M值越小；使得M大于2的x值不存在； 使得M=1的x值是或其中正确的是【 】ABCD【答案】D。【考点】二次函数的图象和性质。【分析】当x0时，利用函数图象可以得出y2y1。此判断错误。抛物线y1=2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1y2，取y1、y2中的较小值记为M。当x0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大。此判断错误。抛物线y1=2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），当x=0时，M=2，抛物线y1=2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；此判断正确。 使得M=1时
3、，若y1=2x2+2=1，解得：x1=，x2=；若y2=2x+2=1，解得：x=。由图象可得出：当x=0，此时对应y1=M。抛物线y1=2x2+2与x轴交点坐标为：（1，0），（1，0），当1x0，此时对应y2=M， M=1时，x=或x=。此判断正确。因此正确的有：。故选D。3. （2012浙江衢州12分）如图，把两个全等的RtAOB和RtCOD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于
4、点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）若AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），AOB在平移过程中与COD重叠部分面积记为S试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O，c=0。又抛物线y=ax2+bx+c经过点A、C，解得。抛物线解析式为。（2）设点P的横坐标为t，PNCD，OPNOCD，可得PN=。P（t，）。点M在抛物线上，M（t，）。如图1，过M点作MGAB于G，过P点作PHAB于H，AG=yAyM=2
5、， BH=PN=。当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，化简得3t28t+4=0。解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，点P的坐标为（）。存在点P（），使得四边形ABPM为等腰梯形。（3）如图2，AOB沿AC方向平移至AOB，AB交x轴于T，交OC于Q，AO交x轴于K，交OC于R。 由A、C的坐标可求得过A、C的直线为yAC=x+3设点A的横坐标为a，则点A（a，a+3），易知OQTOCD，可得QT=。点Q的坐标为（a，）。设AB与OC相交于点J，ARQAOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，。KT=AT=（3a），AQ=yAyQ=（a+3）=3a。S四边形RKTQ=SAKTSARQ=K
6、TATAQHT。0，在线段AC上存在点A（），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为。【考点】二次函数综合题，二次函数的图象和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，图形平移的性质以及几何图形面积的求法。【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式。（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解。结论：存在点P（），使得四边形ABPM为等腰梯形。（3）求出得重叠部分面积S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值。4. （201
7、2浙江绍兴12分）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合
8、要求的一种情况）。【答案】解：（1）设剪掉的正方形的边长为xcm。则（402x）2=484，解得（不合题意，舍去），。剪掉的正方形的边长为9cm。侧面积有最大值。设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系为：，x=10时，y最大=800。即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2。（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm。则 ，解得：（不合题意，舍去），。剪掉的正方形的边长为15cm。此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm。【考点】二次函数的应用，一元二次方程的应用。【分析】（1）假设剪掉的正方形的边长
9、为xcm，根据题意得出（402x）2=484，求出即可 假设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系为：y=4（40-2x）x，利用二次函数最值求出即可。（2）假设剪掉的正方形的边长为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，得出等式方程求出即可。5 （2012浙江绍兴14分）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线经过A，B两点。（1）求A点坐标及线段AB的长；（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，
10、点P的移动时间为t秒。当PQAC时，求t的值；当PQAC时，对于抛物线对称轴上一点H，HOQPOQ，求点H的纵坐标的取值范围。【答案】解：（1）由抛物线知：当x=0时，y=2，A（0，2）。四边形OABC是矩形，ABx轴，即A、B的纵坐标相同。当y=2时，解得。B（4，2）。AB=4。（2）由题意知：A点移动路程为AP=t，Q点移动路程为7（t1）=7 t 7。当Q点在OA上时，即，时，如图1，若PQAC，则有RtQAPRtABC。，即，解得。，此时t值不合题意。当Q点在OC上时，即，时，如图2，过Q点作QDAB。AD=OQ=7（t1）2=7t9。DP=t（7t9）=96t。若PQAC，则有R
11、tQDPRtABC，即，解得。，符合题意。当Q点在BC上时，即，时，如图3，若PQAC，过Q点作QGAC，则QGPG，即GQP=90。QPB90，这与QPB的内角和为180矛盾，此时PQ不与AC垂直。综上所述，当时，有PQAC。当PQAC时，如图4，BPQBAC，解得t=2。即当t=2时，PQAC。此时AP=2，BQ=CQ=1。P（2，2），Q（4，1）。抛物线对称轴的解析式为x=2，当H1为对称轴与OP的交点时，有H1OQ=POQ，当yH2时，HOQPOQ。作P点关于OQ的对称点P，连接PP交OQ于点M，过P作PN垂直于对称轴，垂足为N，连接OP，在RtOCQ中，OC=4，CQ=1。OQ=，
12、SOPQ=S四边形ABCDSAOPSCOQSQBP=3=OQPM，PM=。PP=2PM=。NPP=COQ。RtCOQRtNPP。，即，解得 ，。P（）。直线OP的解析式为。OP与NP的交点H2（2，）。当时，HOPPOQ。综上所述，当或时，HOQPOQ。【考点】二次函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，对称的性质。【分析】（1）已知抛物线的解析式，将x=0代入即可得A点坐标；由于四边形OABC是矩形，那么A、B纵坐标相同，代入该纵坐标可求出B点坐标，则AB长可求。（2）Q点的位置可分：在OA上、在OC上、在CB上 三段来分析，若PQAC时
13、，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t的取值范围，然后通过相似三角形（或构建相似三角形），利用比例线段来求出t的值，然后由t的取值范围将不合题意的值舍去。当PQAC时，BPQBAC，通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标，可判定P点在抛物线的对称轴上，若P、H1重合，此时有H1OQ=POQ。若作P点关于OQ的对称点P，OP与NP的交点H2，亦可得到H2OQ=POQ，而题目要求的是HOQPOQ，那么H1点以下、H2点以上的H点都是符合要求的。6. （2012浙江台州12分）某汽车在刹车后行驶的距离s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系得部分数据如下表：时间t（秒）00.20.40
14、.60.81.01.2行驶距离s（米）02.85.27.28.81010.8（1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；（2）选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数解析式；（3）刹车后汽车行驶了多长距离才停止？当t分别为t1，t2（t1t2）时，对应s的值分别为s1，s2，请比较与的大小，并解释比较结果的实际意义【答案】解：（1）描点图所示： （2）由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式为：s=at2btc，抛物线经过点（0，0），c=0。又由点（0.2，2.8），（1，10）可得：，解得：。经检验，其余各点均在s=5t2+15t上。二次函数的解析式为：。（3）汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。 ，当t=时，滑行距离最大，为。因此，刹车后汽车行驶了米才停止。 ，。t1t2，。其实际意义是刹车后到t2时间内的平
