《离散数学配套习题 作者 陈志奎 离散数学-第7章习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散数学配套习题 作者 陈志奎 离散数学-第7章习题（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第7章习题：1. 指出下述各代数系统哪些是半群，哪些是拟群，并说明理由。（1） Z;-。（2） C;。（3） Sps;。（4） Mm,nQ;+。（5） Zn;，为同余类的加法运算。2. 判断下列集合关于指定的运算是否构成半群，独异点和群。（1） a是正实数，G=annZ，运算是普通乘法。（2） Q+为正有理数，运算是普通乘法。（3） Q+为正有理数，运算是普通加法。（4） 一元实系数多项式的集合关于多项式的乘法。（5） 一元实系数多项式的集合关于多项式的加法。3. 指出下列代数系统中哪些是群，哪些是可交换群，并说明理由。（1） Z;，其中定义如下：任意a,bZ,ab=a+b-2。（2） 1的n
2、次根（包含复根与实根），关于乘法的运算。（3） R*;*，其中*定义如下：任意a,bR, a*b=a2b2, R*=R-0。（4） Fx;+，其中Fx=a0+anxnaiR, i=1,n;nN，+为多项式加法运算。（5） a+b2a,bQ;+。4. S=a,b,c, *是S上的二元运算，且x ,yS, x*y=x.（1） 证明S关于*运算构成半群。（2） 试通过增加最少的元素使得S扩张成一个独异点。5. 给定半群S, *, aS, 对于S中的任意元x和y, 定义二元运算如下：xy=x*a*y试证：R, 是半群。6. 给定代数结构R, *，其中R是实数集合，对R中任意元a和b，*定义如下：a*b
3、=a+b+ab试证：R, *是独异点。7. 已知G, 为不可交换群，证明必存在a,bG, ab, ae, be, 但ab=ba。8. 设S=0,1,2,3, 为模4乘法，即：x ,yS, xy=xy mod 4问S, 构成什么代数系统半群，独异点，群？并说明理由。9. 给定群G, *, 且H=xa, xGx*a=a*x, 试证H, *是G, *的子群。10. 设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N(a)表示G中与a可交换的元素构成的集合，即：Na=xxGxa=ax证明N(a)是G的子群。11. 设G=a，G=n，证明：它的任意子群是循环群。12. 设G=a是15阶循环群：（1） 求出G的所
4、有生成元。（2） 求出G的所有子群。13. 下面集合关于数的加法+，与乘法是否成环？（1） a+b5a,bZ（2） a+b2+c3a,b,cZ（3） 非负整数集D14. 下列系统是否是环，并说明理由。（1） n阶方阵，关于矩阵的加法与乘法。（2） 区间-1,1上所有实连续函数，关于函数的加法与乘法。（3） R; +, ，R为实数集，+为实数加法，定义为a,bR, ab=ab。15. 给定环R; +, 且a,b,c,dR. 试证：（1） a+bc+d=ac+bc+ad+bd.（2） 若ab=ba=0, 则(a+b)n=an+bn.16. 设a和b是含幺环R中的两个可逆元，证明：（1） -a也是可逆元，且-a-1=-a-1.（2） ab也是可逆元，且(ab)-1=b-1a-1.17. 设R是环，令：C=xxRaR(xa=ax)C称作R的中心，证明C是R的子环。18. 给定域R, +, ，且SR，S定义为：S=a+b2a,bQ其中R，Q分别为实数集合和有理数集合。试证：S, +, 为R, +, 的子域。
