第4章 几类常见的地图投影

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1、第四章 几类常见的地图投影,测绘学院 乔俊军 制作,第四章 几类常见的地图投影,4.1 圆锥投影 4.2 方位投影 4.3 圆柱投影 4.4 伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆 锥投影,4.1 圆锥投影,一、圆锥投影的一般公式及其分类 二、等角圆锥投影 三、等面积圆锥投影 四、等距离圆锥投影 五、圆锥投影变形分析及应用,一、圆锥投影的一般公式及其分类 1、圆锥投影的定义 假设一个圆锥面与地球面相切或相割，根据某种条件（等角、等面积、透视等）将地球上的经纬线投影到圆锥面上，然后沿圆锥面的一条母线（经线）切开展平，即得到圆锥投影。,4.1 圆锥投影,Conic Projection,4.1

2、圆锥投影,2、圆锥投影的分类 （1）按圆锥面与地球面的切割关系分： 切圆锥投影、割圆锥投影 （2）按圆锥面和地球面的位置关系分： 正轴圆锥投影、横轴圆锥投影、斜轴圆锥投影 （3）按投影的变形性质分： 等角圆锥投影、等积圆锥投影、任意圆锥投影,4.1 圆锥投影,3、圆锥投影的一般公式 以正轴圆锥投影为例 纬线投影后为同心圆圆弧，其半径是纬度 的函数，函数形式由投影性质和投影条件决定。 经线投影后为相交于一点的直线束，且夹角与经差成正比。,以某一经线的投影为X轴，以X轴和最南边纬线s的交点为原点，建立平面直角坐标系：,4.1 圆锥投影,设平面梯形ABCD是地球面上微分梯形ABCD的投影，根据经纬线

3、长度比定义有：,在正轴圆锥投影中，经纬线投影后仍保持互相垂直，所以经纬线方向就是主方向，即,4.1 圆锥投影,m=a，n=b，根据面积比和角度变形定义有：,现将圆锥投影的一般公式汇集如下：,在这组公式中，由于的函数形式未定，函数式中还有待定的圆锥系数，需要根据投影条件进一步确定。,4.1 圆锥投影,二、等角圆锥投影（Lambert Conformal Conic Projection） 根据等角条件= 0，即m=n，来确定= f（）的函数形式：,4.1 圆锥投影,4.1 圆锥投影,现将等角圆锥投影的一般公式汇集如下：,在这组公式中，仍然有常数和K 需要确定，但由于确定的方法比较多，所以各种不同

4、形式的等角圆锥投影也比较多。,4.1 圆锥投影,1、单标准纬线等角圆锥投影 设圆锥面切于地球0的一条纬线上，即 n0=1，则,4.1 圆锥投影,2、双标准纬线等角圆锥投影 设圆锥面割于地球1、 2的两条纬线上，即n1=n2=1。,相减得,4.1 圆锥投影,3、应用举例：百万分一地图等角圆锥投影 1962年国际制图会议规定：1100万地图按国际标准分幅，采用双标准纬线等角圆锥投影，自赤道起按纬差4分带，对每带单独进行投影。北纬84以北和南纬80以南的地区，则采用等角方位投影。,双标准纬线规定如下：,投影常数按下式计算：,4.1 圆锥投影,自1978年以后，我国1100万地图采用等角圆锥投影，分幅

5、与国际分幅一致，但标准纬线与国际上稍有差异，并规定根据边纬与中纬长度变形绝对值相等的条件确定投影常数，即：,4.1 圆锥投影,对于纬差4为一带的圆锥投影来说。2之值为910-8，它对投影计算和实用精度，都没有什么影响，故可略去。,两条标准纬线的近似式为：,4.1 圆锥投影,三、等面积圆锥投影（Albers Equivalent Conic Projection） 根据等面积条件P=1，即mn=1，来确定= f（）的函数形式：,为经差1弧度，纬差从0到纬度 的椭球面上的梯形面积。,4.1 圆锥投影,现将等面积圆锥投影的一般公式汇集如下：,在这组公式中，仍然有常数和 c 需要确定，但由于确定的方法

6、比较多，所以各种不同形式的等面积圆锥投影也较多。,4.1 圆锥投影,1、单标准纬线等面积圆锥投影 设圆锥面切于地球0的一条纬线上，即 n0=1。则,4.1 圆锥投影,2、双标准纬线等面积圆锥投影 设圆锥面割于地球1、 2的两条纬线上，即n1=n2=1。,相减得：,相除得：,4.1 圆锥投影,四、等距离圆锥投影 根据等距离条件，即m=1，来确定= f（）的函数形式：,s为赤道到某纬度 的经线弧长。,4.1 圆锥投影,现将等距离圆锥投影的一般公式汇集如下：,在这组公式中，仍然有常数和 c 需要确定，但由于确定的方法比较多，所以各种不同形式的等距离圆锥投影也较多。,4.1 圆锥投影,1、单标准纬线等

7、距离圆锥投影 设圆锥面切于地球0的一条纬线上，即 n0=1。则,4.1 圆锥投影,2、双标准纬线等距离圆锥投影 设圆锥面割于地球 1、 2 的两条纬线上，即n1=n2=1。,相减得：,相除得：,4.1 圆锥投影,五、圆锥投影变形分析及应用 1、由切割关系决定的变形特点 （1）圆锥投影的各种变形均是纬度 的函数，与经度无关，同一纬线上 的变形是相同的。 （2）在切圆锥投影中，标准纬线上的长度比n0=1，其余纬线上长度比均大于1，并向南、北方向增大。 （3）在割圆锥投影中，在双标准纬线处的长度比n1=n2=1，变形自标准纬线向内、向外增大，在双标准纬线之间，n1。,4.1 圆锥投影,2、由投影性质

8、决定的变形特点 （1）等角圆锥投影：经线长度比与纬线长度比相等（m=n），角度没有变形，但面积变形较大（P=m2） 。 （2）等面积圆锥投影：经线长度比与纬线长度比互为倒数（mn=1），面积没有变形，但角度变形较大。 （3）等距离圆锥投影： 变形介于等角投影与等 面积投影之间，经线长 度比保持为1（m=1）， 纬线长度比与面积比相 等（n=P）。,4.1 圆锥投影,3、圆锥投影的应用 地球上广大陆地位于中纬度地区，并且圆锥投影经纬线形状简单，最适于制作中纬度沿东西方向延伸的地图。 （1）等角圆锥投影：多用于方向保持正确的图种，如我国的百万分一地形图、中国全图、分省地图等。 （2）等面积圆锥投影

9、：多用于面积比保持正确的图种，如分布图、类型图、区划图等自然资源图与社会经济图。 （3）等距离圆锥投影：多用于各种变形要求适中的图种，如原苏联出版的苏联全图采用此投影。,4.1 圆锥投影,4、标准纬线的选择 （1）如果制图区域纬差不大，可采用单标准纬线圆锥投影。 单标准纬线的选择非常简单，只需要制图区域南北边纬线的纬度S，N取中数，并凑整即可。 （2）如果制图区域纬差较大，应采用双标准纬线圆锥投影。双标准纬线的选择可以使用下列近似公式求得。 应用该式推求标准纬线，基本符合 边纬与中纬长度变形绝对值相等的条件。,4.1 圆锥投影,4.2 方位投影,一、方位投影的一般公式及其分类 二、等角方位投影

10、 三、等面积方位投影 四、等距离方位投影 五、透视方位投影 六、方位投影变形分析与应用,一、方位投影的一般公式及其分类 1、方位投影的定义 假设一个平面与地球面相切或相割，根据某种条件（如等角、等面积、透视等）将地球上的经纬线投影到该平面上，即得到方位投影。,4.2 方位投影,Azimuthal Projection,4.2 方位投影,2、方位投影的分类 （1）按平面与地球面的切割关系分： 切方位投影、割方位投影 （2）按平面和地球面的位置关系分： 正轴方位投影、横轴方位投影、斜轴方位投影 （3）按投影的变形性质分： 等角方位投影、等积方位投影、任意方位投影,4.2 方位投影,（4）按投影的透

11、视关系分,外心透视方位投影 正射透视方位投影,球心透视方位投影 内心透视方位投影 球面透视方位投影,4.2 方位投影,3、方位投影的一般公式 以正轴方位投影为例 纬线投影后为同心圆，其半径是纬度 的函数，函数形式由投影性质和投影条件决定。 经线投影后为同心圆的直径，两经线间的 夹角与相应经差相等。 为了扩大方位投影的应用，我们引进球面极坐标的概念，通过地理坐标与球面极坐标的换算，仍然利用正轴方位投影的公式，可以很方便地实现斜轴和横轴投影的计算以及经纬网的构成。,4.2 方位投影,为了计算方便，我们视球体为正球体， 这样我们便可以采用由球面三角推导出的 地理坐标（，）与球面极坐标（Z，） 之间的

12、转换公式。 假定新极点坐标（0，0），计算斜 轴或横轴方位投影时，可分别采用以下两组公式计算球面极坐标：,正轴和横轴都是斜轴的特例,斜轴,横轴,4.2 方位投影,投影平面与地球面的位置关系如图所示，以Q为极点的等高圈和垂直圈分别代替纬圈和经圈。这时过A点等高圈的天顶距Z相当于90，过A点垂直圈的方位角相当于，有：,以通过Q点的经线的投影作X轴，过Q点与经线投影相垂直的直线作为Y轴，则平面直角坐标公式为：,4.2 方位投影,设平面梯形ABCD是地球面上微分梯形ABCD的投影，根据垂直圈和等高圈长度比的定义，有：,主方向，即1=a, 2=b，根据面积比和角度变形定义有：,由于本投影的垂直圈和等高圈

13、投影后仍保持互相垂直，所以垂直圈和等高圈方向就是,4.2 方位投影,现将方位投影的一般公式汇集如下：,在这组公式中，由于的函数形式未定，需要根据投影条件进一步确定。,4.2 方位投影,二、等角方位投影 根据等角条件=0，即1=2，来确定= f（Z）的函数形式：,在该公式中，仍然有常数K需要确定，下面我们讨论确定常数K的方法。,4.2 方位投影,为了确定常数K，我们设投影平面割于地球Zk的一条等高圈上，即2K=1，有：,4.2 方位投影,现将等角割方位投影的公式汇集如下：,4.2 方位投影,当ZK0时，即得到等角切方位投影的公式,对于正轴情况下，只需要用代替，用90 代替Z ，即得到正轴等角方位

14、投影公式。,4.2 方位投影,三、等面积方位投影 根据等面积条件 P=1，即12=1，来确定= f（Z）的函数形式：,4.2 方位投影,现将等面积方位投影的公式汇集如下：,对于正轴情况下，只需要用代替，用90 代替Z ，即得到正轴等面积方位投影公式。,4.2 方位投影,四、等距离方位投影 根据等距离条件，即1=1，来确定= f（Z）的函数形式：,4.2 方位投影,现将等距离方位投影的公式汇集如下：,对于正轴情况下，只需要用代替，用90 代替Z ，即得到正轴等距离方位投影公式。,4.2 方位投影,五、透视方位投影 透视方位投影是用透视原理来确定= f（Z）的函数形式，如图所示：,4.2 方位投影

15、,现将透视方位投影的公式汇集如下：,在这组公式中，由于视点 D 的位置还没有设定，需要根据视点D 的位置进一步确定透视关系。,4.2 方位投影,根据视点与球心的相对距离 D，透视方位投影可分为： 1、当 D= 时，正射投影。 2、当 RD 时，外心投影。 3、当 D=R 时，球面投影。 4、当 0DR 时，内心投影。 5、当 D=0 时，球心投影。,4.2 方位投影,根据投影面与地球的相对位置（0，0），透视方位投影可分为： 1、当0=90时，正轴投影。 2、当0=0时，横轴投影。 3、当0090时，斜轴 投影。,4.2 方位投影,六、方位投影变形分析与应用 1、由切割关系决定的变形特点 方位

16、投影的各种变形均是天顶距Z的函数，与方位角 无关。同一等高圈上的变形是相同的。 在切方位投影中，切点Q上没有变形，其变形随着远离Q点而增大。 在割方位投影中， 所割的等高圈上2=1， 其他变形自所割等高 圈向内、向外增大。,4.2 方位投影,2、由投影性质决定的变形特点 等角方位投影：垂直圈长度比与等高圈长度比相等（1=2），角度没有变形，但面积变形较大（P=12）。 等面积方位投影：等高圈长度比与垂直圈长度比互为倒数（12=1），面积没有变形，但角度变形较大。 等距离方位投影：变形介于等 角投影与等面积投影之间，垂直圈 长度比保持为1（1=1），等高圈 长度比与面积比相等（2=P）。,4.2