《高等数学 理工科用 第２版 教学课件 ppt 作者 方晓华 - 副本8-习题课》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学 理工科用 第２版 教学课件 ppt 作者 方晓华 - 副本8-习题课（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 8 章 级数 习题课,一、主要内容小结,二、典型习题分析,三、自 测 题,常数项级数,函数项级数,一 般 项 级 数,正 项 级 数,幂级数,三角级数,收 敛 半 径 R,泰勒展开式,数或函数,函数,数,任 意 项 级 数,傅氏展开式,傅氏级数,泰勒级数,满足狄 氏条件,一、主要内容,1、常数项级数,级数的部分和,定义,级数的收敛与发散,性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.,性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性.,级数收敛的必要条件:,收敛级数的基本性质,推论：如果 则级数 发散,常数项级数审敛法,正项级数定义：级
2、数 其中,2、正项级数及其审敛法,审敛法,(1) 比较审敛法,定义： 正 、负项相间的级数称为交错级数.,3、交错级数及其审敛法,定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,4、任意项级数及其审敛法,5、函数项级数,(1) 定义,(2) 收敛点与收敛域,(3) 和函数,(1) 定义,6、幂级数,定义: 幂级数的收敛点的集合称为收敛域,幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,7、幂级数收敛域与收敛区间,a.代数运算性质:,加减法,(其中,8、幂级数的运算,b、乘法,(其中,则在 (R , R) 内和函数 S(x) 可导，,但在收敛区间端 点处的收敛性可能改变.,c. 逐项求导数,若幂级数,且有
3、,所得幂级数的收敛半径仍为 R ，,所得幂级数的收敛半径仍为 R ，但在收敛区间端 点处的收敛性可能改变.,则和函数 S(x)在（R , R ) 可积，,并且有 :,和函数 S(x),d. 逐项积分,9、幂级数展开式,(1) 定义,(2) 展开方法,a.直接法(泰勒级数法),步骤:,b.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.,(3) 常见函数展开式,(4) 应用,a.近似计算,b.欧拉公式,(1) 三角函数系,三角函数系,10、傅里叶级数,(2) 傅里叶级数,定义,三角级数,其中,称为傅里叶级数.,(3) 狄利克雷
4、(Dirichlet)充分条件(收敛定理),(4) 正弦级数与余弦级数,奇延拓:,(5) 周期的延拓,偶延拓:,二、典型例题,例1 判断级数 的敛散性,解,根据级数收敛的必要条件，,原级数收敛,解,根据比较判别法原级数收敛,例2 判断级数 的敛散性,例3 判断级数 是否收敛?如果收敛 是条件收敛还是绝对收敛？,解,即原级数非绝对收敛,由莱布尼茨定理：,所以此交错级数收敛，,故原级数是条件收敛,例4 将 展开成幂 级数,解,例 5 将 在 内展开成 为周期 的正弦级数，并在 写出其和函 数并画出其图形。,解,和函数的图形为,1. 判定下列级数的敛散性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？,（2）,
5、（3）,（1）,2. 利用级数收敛的定义，判断下列级数的敛散性：,（2）,（1）,模 拟 题,3. 利用级数理论证明,（,与,均为常数，且 ),4. 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间：,（2）,（1）,5. 求级数,在收敛域（-1，1）内的和函数，,并求,的值。,6. 计算,的近似值，误差不超过,7. 将,展开成,的幂级数。,9. 设周期为4的函数在一个周期内的表达式为,求,的傅立叶级数。,8. 将函数 展成余弦级数。,模拟题答案 1.（1）发散 （2）绝对收敛 （3）条件收敛 2.（1）收敛. 提示：,（2）发散. 提示：,3. 提示：因,故级数,收敛。,由收敛级数的必要条件可知,此题说明：
6、有时可以用级数的收敛性来证明一个数列的极 限为零。,4. （1）收敛半径 , 收敛区间,（2）收敛半径 ，收敛区间,当 时，级数收敛于,7.,，,提示：,8.,，,9.,，,。,本章的目的与要求,（1）理解数项级数收敛、发散、和的概念，掌握级数的主要性质及级数收敛的必要条件； （2）熟练掌握几何级数和级数的敛散性及其应用； （3）会用正项级数的比较判别法，会用正项级数的比值判别法； （4）会用交错级数的莱布尼兹判别法； （5）了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念 ；,本章的目的与要求,（6）了解幂级数及其收敛半径的概念，熟练掌握求收敛半径的方法，会求收敛区间； （7）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求幂级数在收敛区间上的和函数； （8）了解函数展开成为泰勒级数的充分必要条件； （9）掌握一些简单的函数展成幂级数的方法； (10) 知道幂级数在近似计算上的简单应用。 ；,本章的目的与要求,(11) 了解傅立叶公式与级数的概念； （12）知道狄利克雷定理的条件和结论，会将周期函数展成傅立叶级数； （13）了解奇、偶延拓的方法。,本章的重点与难点,难点：无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念与关系；幂级数的和函数及初等函数的幂级数展开式 。,重点：正项级数收敛与发散的概念和审敛法；幂级数的收敛半径、收敛区间（指开区间）。,
