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1、,大学物理学第二、五篇,波动与光学,前 言,光学 与力学一样是物理学中发展最早的一部分。,光的物理本性 微粒说（牛顿） 波动说（惠更斯）,牛顿提出光线是“发光的物质上散发出的极其微小的微粒”,“光线有时候不是像鳗鱼一样运动吗？”,牛顿环,1801年（19世纪），托马斯杨的著名的双孔干涉试验,菲涅耳等人的实验和理论工作圆满的解释了光的干涉、衍射及偏振现象,传播光的介质是什么？,19世纪中叶，光的电磁理论建立,19世纪末，迈克耳孙莫雷的零结果实验 1905年，爱因斯坦的狭义相对论的建立,光是电磁波 可以独立存在的物质，传播无需介质。,光既具有波动性，又具有粒子性。,光的物理本性,第六章 振 动 (
2、Vibration),前言,广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近随时间作周期性变化。,物体在一定位置附近所作的来回往复的运动 机械振动,例如：电路中的电流、电压或电场中的电场强度和磁场中的磁感应强度随时间作周期性变化 电磁振动或电磁振荡等。,例如：一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动。,简谐运动是研究所有复杂振动的基础。,基本要求：,1. 掌握简谐运动的特点和振动函数中各物理量( 特别是相位 ) 的意义；,本章主要内容：介绍简谐运动和无阻尼情况下的动力学方程；然后介绍用相量图法分析简谐振动；最后说明振动合成的规律。,2. 掌握用相量图法来分析、解决有关问题；,3
3、. 掌握简谐运动过程中的能量变化；,4. 理解同方向、同频率振动合成的规律;,重点：简谐运动以及相应的模型 弹簧振子,难点：振动相位的理解和计算,6.1 6.2 简谐运动的描述,一. 简谐运动,定义：物体运动时，如果离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦函数(或正弦函数)的规律随时间变化。,二. 描述简谐运动的特征量,1. 振幅 A：物体离开平衡位置的最大距离,2. 角频率：,振动周期 T,(限定运动的范围),由于余弦函数的周期为 ，故,3. 相位,(2) 是 t = 0 时刻的相位 振动的初相,由对时间原点的选择所决定,(1) 是 t 时刻的相位,在说明简谐运动时，常直接用相位表示质点的某一运
4、动状态。,或,1. 若选物体到达正向极大位移的时刻为时间原点，即 t = 0 时，,2. 若选物体到达负向极大位移的时刻为时间原点，即 t = 0 时，,三. 简谐运动的描述方法,取,四. 简谐运动的动力学方程,1. 已知物体作简谐运动,结论：一个作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合外力与它对平衡位置的位移成正比而反向。 恢复力,2. 若已知一个质点沿 x 轴方向运动，它所受的合外力与它对于平衡位置的位移成正比而反向，即,由微分方程的理论证明：,结论：质点一定作简谐运动。,综上所述,角频率由振动系统本身的性质（包括力的性质和物体的质量）所决定振动系统的固有角频率。,讨 论一,例：以水平弹簧振子
5、为例,分析：弹簧的弹性力是恢复力( )，故物体作简谐运动，且,讨 论二,初始条件,当三个特征量都知道了，该简谐运动就完全确定了。,振幅的平方：,初始机械能 E0,结论：简谐运动的振幅决定于振动的总能量。,讨 论三,简谐运动的三个特征量,振动角频率： 决定于振动系统本身的性质,振动振幅： 决定于振动的能量,振动的初相： 决定于对时间零点的选择,小结,只要满足方程,不管 x 是什么物理量，它的变化就一定是简谐运动的形式，其角频率就等于 x 的系数的平方根。,思考：地球，M、R 已知，中间开一遂道；小球 m，从离表面 h 处掉入隧道，问，小球是否作简谐振动？,是简谐振动,例 如图，质量为10克的子弹
6、以1000 m/s的速度射入木块并嵌在木块中，使弹簧压缩从而作简谐振动，若木块质量为4.99kg，弹簧的倔强系数 ，求振动函数。,初相：,分析：固有频率,振动函数：,动量守恒,振幅：,振幅：,方法二,五.简谐运动的实例,合力沿圆弧切线方向的分力：,当角位移很小时，,O,l,单 摆,准弹性力,单摆,摆球的切向加速度：,对比简谐运动的动力学方程：在角位移很小的情况下，单摆的振动是简谐运动。,分析： 是摆球的最大角位移，是描述摆球位置的物理量。在小角度摆动时，单摆的运动为简谐运动，其振动函数为,角频率,而单摆的角速度,目的：理解简谐振动的初相及角频率概念。,例：一质量为M、长为 L 的均匀细杆，上端
7、挂在无摩擦的水平固定轴上，杆下端用一轻弹簧连在墙上，弹簧的劲度系数为 k。当杆竖直静止时弹簧处于水平原长状态。求杆作微小振动的周期。,转动方程为：,分析：令 为杆和竖直线之间的夹角，弹性力为,由于 很小时， ，所以,可知杆作角谐振动，且,6.3 旋转矢量与振动的相,一. 匀速圆周运动,1. 质点的径矢 A 在 x 轴上的投影坐标,当 时,在任意 t 时,投影坐标的公式与简谐运动函数相同,（径矢旋转一周所需的时间）,2. 圆周运动的速度与加速度,在 t 时刻,二. 相量图法,借助于匀速圆周运动来研究简谐运动。,1. 相量图法,径矢 振幅矢量 (旋转矢量 ),参考圆,（旋转矢量旋转一周所需的时间）
8、,用旋转矢量图画简谐运动的 图,2. 振动的相（位）,在相量图中，t 时刻的相位即为该时刻振幅矢量与 x 轴的夹角。, 一定的相位对应于振幅矢量的一个确定的指向，而这个振幅矢量能够给出简谐运动的一个唯一确定的运动状态。,(1),结论：相为零表示质点在正的极大位移处且速度为零，加速度为负的极大值。,(2),结论：相为 表示质点在负的极大位移处且速度为零，加速度为正的极大值。,(3),结论：相为 ，表示质点在正越过平衡点，并以最大速度向 x 轴的负向运动，加速度为零。,(4),结论：相为 ，表示质点在正越过平衡点，并以最大速度向 x 轴的正向运动，加速度为零。,1. 若物体处于正的极大位移处，则在
9、相量图中，振幅矢量与x轴的夹角为零，即与x轴正向重合。,2. 若物体处于负的极大位移处，则在相量图中，振幅矢量与x轴的夹角为 ，即与x轴负向重合。,3. 若物体处于平衡位置，则在相量图中，振幅矢量与x轴垂直。,4. 一般情况下，物体处于任一位置处，在相量图中，振幅矢量均对应两个位置。,如何根据振动曲线判断振动的初相？,(1) 对同一简谐运动，相差(不同时刻)可以给出两运动状态间变化所需的时间。,同频率的简谐振动,(2) 对于两个同频率的简谐运动，相差表示它们间步调上的差异。（解决振动合成问题）,同时到达各自的同方向的极端位置，并且同时越过原点而且向同方向运动。,分析：,步调相同同相,(1) 若
10、 ，即,(2) 若 ，,同时到达各自的相反方向的极端位置，并且同时越过原点但向相反方向运动。,步调相反反相,超前和落后,(3) 当 为其他值时，二者不同相。,若 , 则 x2 比 x1 较早达到同方向的极大值，称 x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后)。,注意：领先、落后以 的相位角来判断,分析：由简谐振动的表达式可得：,振幅矢量图,练习：某简谐振动如图所示，求振动方程；,例2：质量为 10g 的物体沿 x 轴作简谐振动，振幅 A = 10cm，周期 T = 4.0s，t = 0 时位移 x0 = 5.0cm，且物体朝 x 方向运动，求,t = 1.0s 时物体的位移； t = 0
11、 之后何时物体第一次到达 x = 5.0cm 处； 第二次和第一次经过 x = 5.0cm 处的时间间隔。,分析：据已知可画出 t = 0 时振幅矢量图,A = 10cm,t = 0 时 x0 = 5.0cm ； 且朝 x 方向运动,(1) t = 1.0s 时物体的位移,(2) 画出相量图,第一次到达,(3) 由相量图可知,另，解析法：,6.4 简谐运动的能量,弹簧振子的总机械能为,又,结论：弹簧振子的总能量不随时间改变，即机械能守恒。,推论：对于简谐运动而言，其总能量和振幅的平方成正比。,(1) 弹簧振子的能量变化,振子不可能越过势垒到达势能更大的区域,从量子的角度看，存在势垒穿透 ( 隧
12、道效应 )。,(2) 弹簧振子的势能和动能对时间的平均,注意：该结论同样适用于其他的简谐运动。,结论：弹簧振子的势能和动能的平均值相等而且等于总机械能的一半。,例1 质量为 的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为 ，求：,解: (1),(2),(3),由,例2 一劲度系数 k = 312N/m 的轻质弹簧，一端固定，另一端连结一质量 M = 0.3kg 的物体，放在光滑的水平面上，上面放一质量 m = 0.2kg 的物体，两物体间的最大静摩擦系数 ，求两物体间无相对滑动时，系统振动的最大能量。,分析：两物体间无相对滑动，即具有相同的速度和加速度，可以看做一质量为 ( M + m ) 的弹簧
13、振子。,振子的角频率,对 m 来说，它作简谐振动所需的回复力是由两物体间的静摩擦力来提供的，其最大静摩擦力应对应着最大加速度，即,所以系统作简谐振动的最大振幅为,思考： 如图，已知一振动系统的 ；求： (1) m 在 处掉到上， (2) m 在 处掉到上， 弹簧振子的,6.5 同一直线上的简谐运动的合成,在实际问题和具体过程中，振动往往是由好几个振动合成的。,一. 同一直线上同频率的简谐运动的合成,设质点同时参与两个在同一直线上进行的简谐运动，它们在 t 时刻的位移分别为：,合振动的位移x应等于上述两个位移的代数和，即,1. 同一直线上 2 个同频率的简谐运动的合成,采用相量图法求合振动的表达
14、式,即两个分振动的相位差保持不变。,因而由 A1 和 A2 构成的平行四边形的形状始终保持不变，并以角速度整体地作逆时针旋转，故其合矢量 A 的长度不变，并且也作同样的旋转。,相同，两个振幅矢量转速相同。,故夹角,结论：两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动。,合振动的表达式：,频率与原来两个振动的频率相同,(1) 当 时，,两个分振动同相,合振幅达最大值,(2) 当 时，,两个分振动反相,合振幅达到最小值,振动加强,振动减弱,(1) 相位差,(2) 相位差,(3) 一般情况, 为其它值时,实现减震,特别的，当 时， ，即振动合成的结果将使质点处于静止状态。,例1：一物体同时参与两个同方向的简谐运动：,求此物体的振动方程。,分析：由相量图可知,讨论题：,求 三个简谐振动的合振动。,分析：采用相量图法，如图所示,先求 x：,即：可知 x 与 x1 反相。,x 的振幅：,先求 x：,例2：一长度为 l、劲度系数为 k 的均匀轻弹簧分割成长度分别为 l1和 l2的两部分，且 l1 = n l2，n为整数。求相应的劲度系数 k1 和 k2 。,分析：将完整的弹簧视为两段弹簧串联而成，根据弹簧串联的性质：,又：,讨论：当 l1 = l2 时，,2. 同一直线上的 n 个同频率的简谐运动的合成,采用相量图，以避免复杂的三角函数运算。,M,又，,(1) 若
