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1、,第一章 风险和收益的衡量,第一节 基础知识,数学期望 方差 标准差 协方差 相关系数,定义1 设X是离散型随机变量，它的概率分布是: PX=xk=pk , k=1,2,也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.,数学期望,多次射击后，平均得分分别是2.1与2.2,乙的技术较好。,例1,X甲,X乙,E（X甲）,E（X乙）,一批产品有一、二、三等品，等外品及废品5种，相应的概率分别为0.7，0.1，0.1，0.06及0.04。若其产值分别为6元，5.4元，5元，4元及0元。求产品的平均产值。,例2,X,X,E（X）,数学期望的性质,1. 设C是常数，则E(C)=C;,4. 设X
2、、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);,2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X);,3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);,注意:由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y独立,设X是连续型随机变量，其密度函数 为 f (x),如果,有限,定义X的数学期望为,也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.,连续型随机变量的数学期望,仅用数学期望反映事物特征行吗？,某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：,若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？,乙仪器测量结果,甲仪器测量结果,测量结
3、果的均值都是 a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .,方差,采用平方是为了保证一切 差值X-E(X)都起正面的作用,由于它与X具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用.,注：也可以记作D(X),若X的取值比较分散，则方差较大 .,若方差Var(X)=0,则r.v. X 以概率1取常数值 .,方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 .,若X的取值比较集中，则方差较小；,Var(X)=EX-E(X)2,X为离散型， PX
4、=xk=pk,由定义知，方差是随机变量X的函数 g(X)=X-E(X)2的数学期望 .,X为连续型， Xf(x),两批零件的长度有如下的分布,=0.5,方差的一个简化公式,Var(X)=E(X2)-E(X)2,展开,证：Var(X)=EX-E(X)2,=EX2-2XE(X)+E(X)2,=E(X2)-2E(X)2+E(X)2,=E(X2)-E(X)2,利用期望 性质,故方差为,方差的性质,(1)D(c)=0,D(c)=E(c-Ec)2,标准差,在实际问题中，由于数据单位的要求。,一般用：,=,Var(X),衡量离散程度,称之为标准差或根方差,协方差,协方差衡量两个随机变量如何共同变化，即它们之
5、间的互动性。 协方差可为正值、负值或零。 正的协方差表明，当一个随机变量出现大于平均值的值时，另一个随机变量的值也会大于均值。 负的协方差正相反，一个出现大于均值的值，与之相反，另一个则会出现小于均值的值。 协方差为零，表明把两者的结果简单配对并不能揭示出什么固定模式。,协方差,任意两个随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y), 定义为, Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y), Cov(X,Y)= Cov(Y,X),简单性质, Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,Cov(X,Y)
6、=E(XY) -E(X)E(Y),可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 .,计算协方差的一个简单公式,由协方差的定义及期望的性质，可得,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),即,协方差计算（离散型）,协方差习题,E（P甲）=0.2510+0.55+0.251=5.25,E（P乙）=0.256+0.55+0.254=5,Cov(R甲, R乙)=0.25(10-5.25)(6-5） +0.5(5-5.25)(5-5) +0.25(1-5.25)(4-5) =2.25,协方差的大小
7、在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.,相关系数,为随机变量X和Y的相关系数 .,定义: 设Var(X)0, Var(Y)0,在不致引起混淆时，记 为 .,关于XY的符号: XY 1. 当 XY 0 , 称X与Y为正相关. 当 XY = 0 , 称X与Y不相关 当 XY 0 , 称X与Y为负相关 当 XY =1,称X与Y完全正相关 当 XY =-1,称X与Y完全负相关 正相关表示两个随机变量有同时增加或同时减少的变化趋势. 负相关表示两个随机变量有相反的变化趋势.,接上例,Var（P甲） =0.25（10-5.25）2 +0.5（5-5.25）2 +0.25（
8、1-5.25）2 =10.19 甲=3.19,Var（P乙） =0.25（6-5）2 +0.5（5-5）2 +0.25（1-5）2 =0.5 乙=0.71,XY=2.25（3.19 0.71）=0.997,单一资产的风险与收益的衡量,历史收益与风险,预期未来收益与风险,收益率的计算,波音公司股票1983年12月31日和1984年12月31日的价格分别是29.13美元和37.75美元，1984年该股票每股股息是0.93美元。,第i种资产第t期的收益率,预期收益,风 险,金融学上的风险表示收益的不确定性。（注意：风险与损失的意义不同）。由统计学上知道，所谓不确定就是偏离正常值（均值）的程度，那么，
9、方差（标准差）是最好的工具。,预期风险,历史平均收益率,不是 无偏估计,历史风险,风险衡量,资产组合 收益和风险的计算,两种证券的组合,老王的组合,50%冷饮 50%伞,50%伞 50%国库券,E(r1）=8.8%, (r1）=9.35%,E(r2）=9.6%, (r2）=20.78%,E(r国库券）=3%, (r国库券）=0,50%伞、50%冷饮组合收益,E(rp)=50% 8.8%+ 50% 9.6%=9.2%,50%伞、50%冷饮组合风险,50%伞、50%冷饮组合风险,50%伞、50%冷饮组合风险,Cov(r1,r2)= - 0.00989,50%伞、50%国库券组合,E(rp)=50% 9.6 +50% 3%= 6.3%,各种组合比较,N种资产的预期收益,其中,N种资产的风险,如何推导？,
