金融计算基础及债券价值分析讲义

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1、第三章 金融计算基础及债券价值分析,本章主要内容,3.1 金融计算基础 未来值的计算 现值的计算 贴现率的确定 投资收益的衡量 3.2 债券价值分析 债券的价格和价值 债券的报价 收益率曲线和利率期限结构理论 债券价格风险的衡量,3.1.1 货币的时间价值,货币是有时间价值的。时间价值的是分析任何金融工具都要用到的基础概念之一。 资金的未来值（FV）是指当一笔资金按一定利率进行投资，其到期时的价值，一般以复利计算。 在一定的利率水平下，为了在未来得到一定金额的货币量，现在所要投入的货币量就是货币的现值，一般以复利计算。,3.1 金融计算基础,未来值的计算（一）,一般的计算公式 其中：FV=未来

2、值 PV=期初本金 N=投资期限 r=利率 付息频率每年不止一次时的计算公式：,未来值的计算（二）,连续复利下的未来值： 连续复利下，付息周期无限短，付息频率无限大 年金的未来值 当投资者不是一次将所有资金全部进行投资，而是分期进行等额投资时，就称为年金(Annuity)，从第一期期末开始进行第一笔投资时称为普通年金（Ordinary Annuity），普通年金是最常见的年金。,未来值的计算（三）,普通年金的未来值 或,未来值的计算（四）,到期年金的未来值 当每次现金流都是在期初发生时，这种年金被称为到期年金(Annuity Due)，到期年金和普通年金的唯一区别就是每次现金流的发生都比普通年

3、金早一期，因而每期年金的再投资期限也多一期，因此只要在计算普通年金时多乘一次（1+r）就可以得到到期年金的未来值：,现值的计算（一）,基本的现值计算公式： 当存续期间现金流发生不止一次时，现值为,现值的计算（二）,普通年金的现值 到期年金的现值计算、 根据普通年金和到期年金的关系可得：,贴现率的确定,股票价值的分析方法大都是建立在现金流贴现（Discounted Cash Flow，简称DCF）基础之上的。贴现率的确定在分析股票价值时是至关重要的。 确定股票贴现率或要求回报率的方法有三种：通过资产定价模型来计算、债券收益加上风险溢价及风险加成法（build-up method）。,贴现率的确定

4、资产定价模型,资产定价模型主要是指资本资产定价模型（CAPM）及套利定价模型（APT）。 CAPM的形式如下： 其中： ri=第i种资产的预期收益率 rf=无风险收益率 = ，为第i种资产对市场组合收益率的敏感程度 =市场组合的预期收益率 （关于资产定价模型的相关知识详见第六章),贴现率的确定资产定价模型,我们可以用短期政府债券或长期国债的收益率来作为无风险收益率，因为股票是不偿还的，因此也可以看作是久期很长的债券，根据久期匹配的原则，长期国债的收益率更适合作为计算股票预期收益率时的无风险收益率，因此计算贴现率的CAPM式可写为： 贴现率=无风险利率+该股票对市场组合的敏感系数* 预计股票市场

5、对长期国债市场的溢价,贴现率的确定资产定价模型,通常计算市场风险溢价的方法有两种: 第一种是使用股票市场对国债市场风险溢价的历史平均数，既可以使用算术平均也可以使用几何平均来计算过去市场风险溢价的平均数,但这种用历史数据平均得出的溢价很可能很不准确,有必要对这个数值进行必要的调整； 另一种方法则是基于对公司的预测数据。预测数据有着较大的主观性，因此一般不建议使用预测法来计算市场风险溢价，除非市场刚刚建立，历史数据太少。预测法主要适用于那些新型市场。,贴现率的确定债券收益率加风险溢价,对于有发行可交易长期债券的公司，我们还可以使用债券收益率加风险溢价的方法来计算股票贴现率： 股权成本（贴现率）=

6、公司发行的长期债券的 到期收益率+风险溢价 风险溢价的确定没有一个精确的计算方法，而更多的是一个经验估算。在美国市场上，这一溢价一般为3%-4%。,贴现率的确定风险加成法,对于非上市公司来说，它们的公开数据很少，我们无法计算它们的 或因素敏感系数，也就无法用CAPM或APT模型来计算它的贴现率。此时，我们可以用风险加成法来确定它们的贴现率： 股权成本（贴现率）=无风险收益率+风险溢价 与CAPM和APT不同的是，这里的风险溢价是一个主观的估计数字，因此使用这种方法一般需要有丰富的经验。,3.1.2 投资收益的衡量,收益率是选择投资目标的依据之一 最一般的收益率指标是净现值和内部收益率 净现值（

7、Net Present Value）是一项投资所有现金流入的现值和所有现金流出的现值的差额: 其中：Ct=各期的现金流入 Pt=各期的现金流出,投资收益的衡量内部收益率,内部收益率也称为内部报酬率，它是使一项投资所获得的现金流的现值等于投资成本现值的贴现率： 一般要使用试错的方法来计算内部收益率r： IRR=内部收益率 rH=试错时选择的较高的贴现率 rL=试错时选择的较低的贴现率 NPVH=选择较高贴现率时所得的净现值 NPVL=选择较低贴现率时所得的净现值,投资收益的衡量债券收益的衡量,主要债券收益衡量指标及其含义:,债券收益的衡量当期收益率、到期收益率,当期收益率是债券年利息同其当前市场

8、价格之比： 到期收益率也被称为保证的到期收益率（Promised Yield to Maturity）,它比较完整地反映了当投资者持有债券到到期时所获得的收益水平。到期收益率的计算与内部收益率相似。但要注意期限问题。,债券收益的衡量到期收益率,到期收益率的近似简便计算公式： =债券面值 =当前债券价格 =购买债券到债权赎回的日期（年） =每年利息额,债券收益的衡量三种收益率的比较,息票利率、当期收益率和到期收益率的关系：,债券收益的衡量赎回、回售及持有期收益率,赎回收益率（Yield to Call）、回售收益率（Yield to Put）和持有期收益率（Horizon Yield）： 其中：

9、 =赎回价格或回售价格或出售价格 近似简便计算公式：,3.1.3 投资收益的衡量股票收益的衡量,股票的未来现金流很难精确预测，且没有确定的期限，因此股票投资的收益率就很难套用债券投资收益的计算方法。股票收益率的一般公式：,3.2.1 债券价值分析债券价格的计算,债券价格应等于债券未来所有现金流的现值之和： 或 当债券清算日距离下次付息日不满一年时： 其中：d=清算日距离下次付息日的天数/365,3.2 债券价值分析,3.2.2 债券价值分析债券的报价,应付利息是指当投资者卖出债券的日期离下次付息日不到一个付息周期时，上次付息日和结算日之间那段时间内投资者应得的利息。利用债券价格公式计算得到的价

10、格被称为净价（Clean Price）,净价加上应付利息就是投资者应得的债券的价值，被称为全价(Full Price): 全价=净价+应计利息 其中应计利息为： 其中：D=结算日离上次付息日的天数 C=年利息,3.2.3 债券价值分析收益率曲线,现实生活中，不同期限投资其收益率往往是不同的，期限越长收益率越高，若考虑不同期限的收益率各不相同，则债券价格公式应写为： 通过构建收益率曲线来估算任何期限的收益率。收益率曲线是反映某一时点上到期收益率同剩余到期时间函数关系的曲线。,3.2.3 债券价值分析收益率曲线,假定收益率和期限存在着某种函数关系，然后通过市场现有债券的数据来推导出两者之间的函数关

11、系，根据这一函数关系，我们就可以画出收益率曲线，从而可以计算任何期限的收益率。收益率曲线可以用来描述同类债券的利率期限结构，如右图：,3.2.3 债券价值分析利率期限结构理论,预期理论 预期理论认为，收益率曲线的形状取决于市场对未来利率的预 期，且特别指出即期长期利率等于此期间所有即期及预期短期利率的几何平均数，用公式表示就是： rn=期限为n年的长期利率 r(i,1)=i年后的1年期利率 据此可以推导出n年后的1年期利率的计算方法：,3.2.3 债券价值分析利率期限结构理论,流动性偏好理论 为了避免长期证券更高的价格波动，投资者宁愿牺牲一部分的收益率来持有短期证券，因此若要吸引投资者持有长期

12、证券，就要提供更高的收益率。 流动性偏好理论认为长期即期利率并不简单的等于预期未来短期利率的几何平均值，而是在预期未来短期利率时要加上一个流动性升水，这可以用公式表示为：,3.2.3债券价值分析利率期限结构理论,市场分割理论 市场分割理论也被称为“居所偏好利率”，这一理论认为机构投资者对期限有不同的需求。他们一般都将证券选择限制在一定的期限范围之内，也就是说有的投资者专门从事长期投资，有的则专门进行短期投资。收益率曲线的形状取决于所有机构投资者的投资策略。 机构投资者的投资策略受到税收、债务结构及他们客户要求的收益水平的影响。,3.2.4 债券价值分析债券价格风险的衡量,债券价格的凸性 保持面

13、值和息票率不变，债券价格同收益率是负相关的，且价格-收益率曲线凸向原点，这种性质被成为债券的凸性（Convexity）。如右图：,r,P,3.2.4 债券价值分析债券价格风险的衡量,根据债券价格公式，可以将债券的价格看成到期收益率、面值和票面利率的函数。根据数学中的知识，可以知道而价格对的偏导数表示收益率变动带来的价格的变化速度： 到期收益率变动很小时有： 被称为价格风险,3.2.4 债券价值分析债券价格风险的衡量,将价格公式在r处泰勒展开，可得： 即 只有在 很小时，才能省略泰勒公式中的二阶项,3.2.4 债券价值分析债券价格风险的衡量,定义到期收益率变化一个基点所引起的债券价格的变化的绝对

14、值为债券的基点价值（Price Value of a Basic Point, PVBP），即： 其中 根据前面债券价格风险的公式及前页的证明，可得： PVBP越大，意味着债券的价格风险越高。,3.2.4 债券价值分析债券价格风险的衡量,久期是麦考利（Macaulay）1938年提出的一个衡量债券价格风险的重要指标，对于债券价格公式，对债券价格公式 关于到期收益率求偏导可得：,3.2.4 债券价值分析债券价格风险的衡量,其中： 即为债券的麦考利久期。 久期实际上是用每次现金流的现值和债券价格之比为权数对债券存续期中现金流发生的时间进行的一次加权平均，也就是债券加权的剩余到期时间。,3.2.4

15、债券价值分析债券价格风险的衡量,根据久期的公式可得： 去掉常数 ，定义修正的久期： 从而可得：,3.2.4 债券价值分析债券价格风险的衡量,价格风险或久期来计算价格的变动，其实是用直线代替了原来债券价格曲线，在到期收益率变动非常小的时候，计算的结果是和实际结果非常相近的，但一旦收益率变动较大，计算的结果就会同实际结果有较大的误差，我们将实际价格和通过久期算得的价格之间的差额（线段BC）称为凸度（Convexity）。凸度其实就是公式中的泰勒展开二阶项,3.2.4 债券价值分析债券价格风险的衡量,凸度的计算 加入凸度之后，债券价格的变动率公式变为：,练习1,1、 债券C期限5年,息票利率7%,若售价等于面值1000元,其收益率将为多少？若分别将其收益率提高1%和降低1%,试比较二者价格变动的差异。,练习2,练习3,