《2019年数学新同步湘教版必修2第2章 2．3.2 第一课时 抛物线的简单几何性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年数学新同步湘教版必修2第2章 2．3.2 第一课时 抛物线的简单几何性质（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、23.2抛物线的简单几何性质第一课时抛物线的简单几何性质读教材填要点抛物线的几何性质类型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py (p0)图象性质焦点FFFF准线xxyy范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e1开口方向向右向左向上向下小问题大思维1抛物线y22px(p0)有几条对称轴？是否是中心对称图形？提示：有一条对称轴，即x轴，不是中心对称图形2抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫作焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫作焦点弦，若P(x0，y0)是抛物线上任意一点，焦点弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据上
2、述定义，你能完成以下表格吗？标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦半径|PF|PF|_|PF|_|PF|_|PF|_焦点弦|AB|AB|_|AB|_|AB|_|AB|_提示：标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦半径|PF|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0焦点弦|AB|AB|x1x2p|AB|px1x2|AB|y1y2p|AB|py1y2抛物线方程及其几何性质 已知顶点在原点，以x轴为对称轴，且过焦点垂直于x轴的弦AB的长为8，求出抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程自主解答当焦点在x轴
3、的正半轴上时，设方程为y22px(p0)当x时，yp，由|AB|2p8，得p4.故抛物线方程为y28x，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x2.当焦点在x轴的负半轴上时，设方程y22px(p0)由对称性知抛物线方程为y28x，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x2.用待定系数法求抛物线的标准方程，其主要步骤为：1已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程解：由题意，抛物线方程为y22px(p0)，焦点F，直线l：x，A，B两点坐标为，.|AB|2|p|.OAB的面积为4，2|p|4.p2.抛物线方程为y24
4、x.抛物线几何性质的应用 已知A，B是抛物线y22px(p0)上两点，O为坐标原点，若|OA|OB|，且AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程自主解答|OA|OB|，设A，B坐标分别为A(x0，y0)，B(x0，y0)AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，kFAkOB1，即1，yx02px0(x00，p0)x0p.直线AB的方程为xp.若将“AOB的垂心恰是此抛物线的焦点”改为“OAOB”，求|AB|的值解：由题意知，AOB为等腰直角三角形，且A，B两点关于x轴对称如图，设A(x0，y0)，则kOA1且y2px0，x0y02p，|AB|2y04p.抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时
5、具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含条件本题的关键是根据抛物线的对称性可知线段AB垂直于x轴故求直线AB的方程时求出A的横坐标即可2已知A，B是抛物线y22px(p0)上两点，O为坐标原点，若OAOB，且OA的方程为y2x，|AB|5，求抛物线的方程解：OAOB，AOB为直角三角形OA所在直线为y2x，OB所在直线方程为yx.由得A点坐标.由得B点坐标为(8p，4p)|AB|5， 5.p0，解得p，所求抛物线方程为y2x.抛物线中过焦点的弦长问题 过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，求AB的中点M到抛物线准线的距离自主解答抛
6、物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中点M的横坐标为，因此点M到抛物线准线的距离为1.抛物线y22px(p0)的过焦点的弦长|AB|x1x2p，其中x1，x2分别是点A，B横坐标的绝对值；抛物线x22py(p0)的过焦点的弦长|AB|y1y2p，其中y1，y2分别是点A，B纵坐标的绝对值3已知直线l：y4x6与抛物线y26x交于A，B两点，求|AB|.解：设点A，B的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)联立消去y得8x227x180，则x1，x2是方程的两根，x1x2.y4x64过抛物线的
7、焦点，|AB|x1x233.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2y24相交于A，B两点，|AB|2，求抛物线方程巧思抛物线与圆相交，根据已知可设抛物线方程为y2ax(a0)，由圆和抛物线的对称性，可判断A与B关于x轴对称，结合|AB|2可得A，B坐标，从而求出方程妙解由已知抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上故可设抛物线方程为y2ax(a0)设抛物线与圆x2y24的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)抛物线y2ax(a0)与圆x2y24都关于x轴对称，点A与B关于x轴对称|y1|y2|且|y1|y2|2.|
8、y1|y2|.代入圆x2y24得x234，解得x1，A(1，)或A(1，)代入抛物线方程，得()2a，a3.所求抛物线方程是y23x或y23x.1顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是()Ay2xBy23xCy26xDy26x解析：抛物线的焦点为，p3，且抛物线开口向右，抛物线的标准方程为y26x.答案：C2抛物线y28x上的点P到焦点的距离的最小值是()A2B4C6D8解析：设抛物线上的点P的坐标为(x0，y0)，则P点到焦点的距离d|x0|，故dmin2.答案：A3边长为1的等边三角形OAB，O为原点，ABx轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程为()Ay2xBy2xCy2xDy2x解析：
9、由题意可知，抛物线的对称轴为x轴，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y22px(p0)，且A为x轴上方的点，则易求A，p.p.抛物线方程为y2x.同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为y2x.答案：C4已知AB是抛物线2x2y的焦点弦，若|AB|4，则AB的中点的纵坐标为_解析：设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A，Q，B.由题意得|AA|BB|AB|4，|PQ|2.又|PQ|y0，所以y02，解得y0.答案：5抛物线y2x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_解析：设所求点(x0，y0)，则xy2，又yx0，x0.y0.答案：6已知过抛物线y24x的
10、焦点F的弦长为36，求弦所在的直线的方程解：抛物线y24x的焦点为F(1,0)，过焦点F，垂直于x轴的弦长为436.弦所在直线斜率存在，由题意可设弦所在的直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点设直线方程为yk(x1)由消去y，整理得k2x2(2k24)xk20，x1x2.|AB|AF|BF|x1x222.又|AB|36，236.k.故所求直线的方程为yx1或yx1.一、选择题1设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A(6，)B6，)C(3，)D3，)解析：抛物线的焦点到顶点的距离为3，3，即p6.又抛物线上的点到准线的距离的最小
11、值为，抛物线上的点到准线的距离的取值范围为3，)答案：D2过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦是AB，抛物线的准线交x轴于点M，则AMB是()A锐角B直角C钝角D锐角或钝角解析：由题意可得|AB|2p.又焦点到准线距离|FM|p，F为AB中点，|FM|AB|.AMB为直角三角形且AMB90.答案：B3已知抛物线y24x的焦点为F，准线l交x轴于R，过抛物线上点P(4，4)作PQl于Q，则梯形PQRF的面积是()A18B16C14D12解析：由题意知PQRF为一直角梯形，其中PQRF，且|PQ|415，|RF|2，SPQRF414.答案：C4设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线
12、C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2)B0,2C(2，)D2，)解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即4，根据已知只要|FM|4即可根据抛物线定义，|FM|y02，由y024，解得y02，故y0的取值范围是(2，)答案：C二、填空题5以原点为顶点，x轴为对称轴且焦点在2x4y30上的抛物线方程是_解析：由题意知，抛物线的焦点为F，抛物线方程是y26x.答案：y26x6若抛物线y2mx与椭圆1有一个共同的焦点，则m_.解析：椭圆的焦点为(2,0)当抛物线焦点为(2,0)时，m8，当抛物线焦点为(2,0)时，m8.答案：87对于抛物线y24x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|a|，则a的取值范围是_解析：设点Q的坐标为.由|PQ|a|，得|PQ|2a2，即y2a2，整理，得y(y168a)0.y0，y168a0.即a2恒成立而2的最小值为2，a2.答案：(，28已知顶点与原点O重合，准线为直线x的抛物线上有两点A(x1，y1)和B
