《2019年数学新同步湘教版必修2第1章 1．1.1 命题的概念和例子》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年数学新同步湘教版必修2第1章 1．1.1 命题的概念和例子（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11命题及其关系11.1命题的概念和例子读教材填要点1命题的概念可以判断成立或不成立的语句叫作命题2命题的分类(1)真命题：成立的命题叫作真命题(2)假命题：不成立的命题叫作假命题(3)猜想：暂时不知道真假的命题可以叫作猜想小问题大思维1如果一个语句是命题，它必须具备什么条件？提示：如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成立2数学中的定义、公理、定理、公式等是否是命题？是真命题还是假命题？提示：数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题命题的概念 判断下列语句是否是命题，并说明理由(1)求证是无理数；(2)若xR，则x24x50；(3)一个数的算术平方根一
2、定是负数；(4)梯形是不是平面图形呢？自主解答(1)是祈使句，不是命题；(2)可以判断其是否成立，故为命题；(3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；(4)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“可以判断成立或不成立”这个条件，如果满足这个条件，该语句就是命题，否则就不是1判断下列语句是否为命题，并说明理由(1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形；(2)空集是任何非空集合的真子集；(3)对顶角相等吗？(4)x3.解：(1)能判断其是否成立，是命题；(2)能判断其是否成立，是命题；(3)是疑问句，不是命
3、题； (4)不能判断其是否成立，不是命题真假命题的判断 判断下列命题的真假，并说明理由(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若x3或x7，则(x3)(x7)0；(3)正方形既是矩形又是菱形；(4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数自主解答(1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结论，故为假命题(2)是真命题，x3或x7能得到(x3)(x7)0.(3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形(4)是真命题，令a2k11，b2k21(k1，k2Z)，则ab2(2k1k2k1k2)1，显然2k1k2k1k2是一个整数，故ab是奇数若将本例(4)中的“奇数”改为“
4、无理数”，判断该命题的真假解：当a，b时，a，b都是无理数，但 ()5是有理数，故该命题为假命题判断命题真假的策略(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可2判断下列命题的真假，并说明理由(1)形如ab的数是无理数；(2)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(3)奇函数的图象关于原点对称；(4)能被2整除的数一定能被4整除解：(1)假命题，反例：a是有理数且b0，则ab是有理数(2)假命题若数列an为等比数列，且a11，q2，则该数列为递减数列(3)真命题根
5、据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称(4)假命题反例：如2,6能被2整除，但不能被4整除命题的综合问题 试探究命题“方程ax2bx10有实数解”为真命题时，a，b满足的条件自主解答方程ax2bx10有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：当a0时，方程ax2bx10为bx10，只有当b0时，方程有实数解x；当a0时，方程ax2bx10为一元二次方程，方程有实数解的条件为b24a0.综上知，当a0，b0或a0，b24a0时，方程ax2bx10有实数解(1)并不是任何语句都是命题要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断其成立或不成立一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是
6、命题(2)一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一3下面的命题中是真命题的是()Aysin2x的最小正周期为2B若方程ax2bxc0(a0)的两根同号，则0C如果MN，那么MNMD在ABC中，若0，则B为锐角解析：选Bysin2x，T，故A为假命题；当MN时，MNN，故C为假命题；在三角形ABC中，当0时，向量与的夹角为锐角，B应为钝角，故D为假命题故选B. 解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路若命题“如果5x1a，那么x1”是真命题，求实数a的取值范围巧思“如果5x1a，那么x1”是真命题，则不等式5x1a的解集是x1的子集妙解由5x1a，得x(1a)命题“如果5x
7、1a那么x1”是真命题，(1，)1，即a4.即a的取值范围是4，)1“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思”这是唐代诗人王维的相思，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是()A红豆生南国B春来发几枝C愿君多采撷D此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.答案：A2下列命题中的真命题是()A互余的两个角不相等B相等的两个角是同位角C若a2b2，则|a|b|D三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角解析：由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的答
8、案：C3给出命题“方程x2ax10没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A4B2C0D3解析：方程无实根时，应满足a240.故a0时适合条件答案：C4设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：(ab)c(ca)b；|a|b|3x为真命题，求x的取值范围解：x223x，x23x20.解得x2或x0的解集D作ABCEFG解析：A选项是疑问句，不是命题，C、D选项中的语句显然不是答案：B2已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()M中的元素都不是P的元素；M中有不属于P的元素；M中有属于P的元素；M中的元素不都是P的元素A1B
9、2C3D4解析：错误；正确答案：B3下列命题中，为真命题的是()A对角线相等的四边形是矩形B若一个球的半径变为原来的2倍，则其体积变为原来的8倍C若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等D直线xy10与圆x2y21相切解析：等腰梯形对角形相等，不是矩形，故A中命题是假命题；由球的体积公式可知B中命题为真命题；C中命题为假命题，如“3,3,3”和“2,3,4”的平均数相等，但标准差显然不相等；圆x2y21的圆心(0,0)到直线xy10的距离dx，则x1；函数yx3是指数函数其中假命题的个数为()A1B2C3D4解析：中，显然lm或l与m重合，所以是假命题；由基本不等式，知是真命题；中，由x2
10、x，得x1，所以是假命题；中，函数yx3是幂函数，不是指数函数，所以是假命题故选C.答案：C二、填空题5下列语句：mx22x10是一元二次方程吗？抛物线yax22x1与x轴至少有一个交点；互相包含的两个集合相等；若m0，ab0，则.其中真命题的序号为_解析：不是命题；错，可能没交点；正确，若AB，BA，则AB；显然正确，可以证明答案：6给出下列命题：方程x2x10有两个实根；对于实数x，若x20，则x20；若p0，则p2p；正方形不是菱形其中真命题是_，假命题是_解析：假，因0；真；假，p时，p2p；假，正方形是菱形，也是矩形答案：7函数f(x)的定义域为A，若当x1，x2A且f(x1)f(x
11、2)时，总有x1x2，则称f(x)为单函数例如，函数f(x)2x1(xR)是单函数下列命题：函数f(x)x2(xR)是单函数；指数函数f(x)2x(xR)是单函数；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中的真命题是_(填序号)解析：由xx，未必有x1x2，故为假命题；对于f(x)2x，当f(x1)f(x2)时一定有x1x2，故为真命题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若f(x1)f(x2)，则x1x2”，故为真命题故真命题是.答案：8若命题“ax22ax30不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_解析：ax22ax30不成立，ax22ax30恒成立当a0时，30恒成立；当a0时，则有解得3a0.综上，3a0.答案：3,0三、解答题9判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由(1)一个数不是合数就是质数(2)大角所对的边大于小角所对的边(3)xy是有理数，则x，y也都是有理数(4)求证xR，方程x2x10无实根解：(1)是假命题，1不是合数，也不是质数(2)是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中(3)是假命题，如x，y.(4)祈使句，不是命题10判断命题：“若ab2，则直线xy0与圆(xa)2(yb)22相切”的真假解：由已知ab2，圆心(a，b)到直线xy0的距离dr，
