《2019年数学新同步湘教版必修2第3章 3．4 生活中的优化问题举例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年数学新同步湘教版必修2第3章 3．4 生活中的优化问题举例（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、34生活中的优化问题举例读教材填要点1优化问题投入一定的成本如何获取最大的利润？制作满足一定要求的器皿如何使用料最省？完成一项任务如何使工效最高？这类问题都叫作优化问题2解决优化问题的基本思路小问题大思维将8分成两个非负数之和，使其立方和最小，应该怎么分？提示：设一个数为x，则另一个数为8x，则其立方和yx3(8x)383192x24x2，且0x8，y48x192.令y0，即48x1920，得x4.当0x4时y0，当40，当x4时，y最小即分成的这两个数应为4,4.用料最省、费用最低问题 如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16
2、 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价自主解答(1)设长为x m，则宽为 m据题意解得x16，y40024816 000800x16 000，(2)y8000，解得x18.当x(0,18)时，函数y为减函数；当x(18，)时，函数y为增函数又x16.当x16时，ymin45 000.当且仅当长为16 m、宽为12.5 m时，总造价y最低为45 00
3、0元.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f(x)0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值1.已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8vv0)若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v12(千米/时)时，船每小时航行所需的燃料费为720元为了使全程燃料费最省，船的实际航行速度应为多少？解：设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k0)，则y1kv2.当
4、v12时，y1720，720k122，得k5.设全程燃料费为y元，由题意，得yy1，y.令y0，解得v0(舍去)或v16.当v016时，v(8,16)，y0，即y为减函数；v(16，v0，y0，即y为增函数，故v16(千米/时)时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省；当v016时，v(8，v0，y0，即y在(8，v0上为减函数，故当vv0时，ymin，此时全程燃料费最省综上可得，若v016，则当v16(千米/时)时，全程燃料费最省，为32 000元；若v016，则当vv0时，全程燃料费最省，为元.利润最大、效率最高问题 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格
5、p(元/吨)之间的关系式为：p24 200x2，且生产x吨的成本为：R50 000200x(元)问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？自主解答依题意，每月生产x吨时的利润为：f(x)x(50 000200x)x324 000x50 000(x0)由f(x)x224 000，令f(x)0，解得x1200，x2200(舍去)因为f(x)在0，)内有意义，则有且只有当x200时f(x)0，且它就是最大值点，最大值为f(200)200324 00020050 0003 150 000.故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.实际生活中利润最大，效率最高，流量、
6、流速最大等问题都需要利用导数求解相应函数的最大值，此时根据f(x)0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点)，函数满足左增右减，此时唯一的极大值就是所求函数的最大值2.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加已知年利润(每辆车的出厂价每辆车的投入成本)年销售量(1)若年销售量增加的比例为0.4x，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式；(2)若年销售量关于x的函数
7、为y3 240，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？解：(1)由题意得：本年度每辆车的投入成本为10(1x)；出厂价为13(10.7x)，年销售量为5 000(10.4x)因此本年度的年利润p13(10.7x)10(1x)5 000(10.4x)(30.9x)5 000(10.4x)1 800x21 500x15 000(0x1)(2)本年度的年利润为f(x)(30.9x)3 2403 240(0.9x34.8x24.5x5)，则f(x)3 240(2.7x29.6x4.5)972(9x5)(x3)令f(x)0，解得x或x3(舍去)当0x时，f(x)0，当x1时f(x)0，所以
8、x时，f(x)有最大值f 20 000.所以当x时，本年度的年利润最大，最大年利润为20 000万元.面积、容积的最值问题 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值自主解答设包装盒的高为h(cm)
9、，底面边长为a(cm)由已知得ax，h(30x)，0x30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800，所以当x15时，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x).由V0得x0(舍)或x20.当x(0,20)时，V0；当x(20,30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时.即包装盒的高与底面边长的比值为.一般地，通过函数的极值来求得函数的最值如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f(x)0，则只需要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较3.已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱
10、的容积V最大时，圆柱的高h的值为_解析：设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底2r2，S圆柱侧2rh，圆柱的表面积S2r22rh.h，又圆柱的体积Vr2h(S2r2)，V(r)，令V(r)0得S6r2，h2r，因为V(r)只有一个极值点，故当h2r时圆柱的容积最大又r，h2.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为.答案：4.如图，已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽解：设AD2x(0x2)，则A(x,0)，ABy4x2，所以矩形面积为S2x(4x2)(0x2)，即S8x2x3，S86x2，令S0，解得x或x(舍去)当0x时，S0；当
11、x2时，S0，所以，当x时，S取得最大值，此时S最大值.即矩形的长和宽分别为，时，矩形的面积最大.如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记|CD|2x，梯形的面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数解析式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值巧思可通过建立恰当的直角坐标系，列出面积S关于x的函数解析式，然后利用导数的知识，借助函数的单调性，即可求得面积S的最大值妙解(1)依题意，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则点C(x，y)满足方程x21，且x0，
12、y0，y2(0x1)S(2x2)22(x1) (0x1)(2)令f(x)S24(x1)2(1x2)(0x1)，则f(x)8(x1)2(12x)令f(x)0，解得x或x1(舍去)当0x0，f(x)为增函数；当x1时，f(x)0，f(x)为减函数f 是f(x)在区间(0,1)上的极大值，也是最大值，且f ，此时S.故当x时，S取得最大值.1某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0x390)的关系是R(x)400x,0x390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A150B200C250 D300解析：由题意可得总利润P(x)300x20 000,0x390，则P(x)300，由P(x)0，得x300.当0x0；当300x390时，P(x)400时，P0恒成立，易知当x300时，总利润最大答案：D4用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面一边比高长出0.5 m，则当高为_m时，容器的容积最大解析：设高为x米，则Vx(x0.5)2x32.2x21.6x，x(0,1.6)，V6x24.4x1.6，令V0，
