《2019年数学新同步湘教版必修2第2章 2．2.2 第一课时 双曲线的简单几何性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年数学新同步湘教版必修2第2章 2．2.2 第一课时 双曲线的简单几何性质（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、22.2双曲线的简单几何性质第一课时双曲线的简单几何性质读教材填要点双曲线的简单几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质焦点(c,0)(0，c)焦距2c2c范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：x轴和y轴，中心：(0,0)顶点(a,0)(0，a)轴长实轴长2a，虚轴长2b离心率e(1，)渐近线yxyx小问题大思维1你能求出双曲线1的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程吗？提示：由题意得a24，b23，解得a2，b，则c.因此，实轴长2a4，虚轴长2b2.离心率e.渐近线方程为yx.2如何用a，b表示双曲线的离心率？提示： e.3双曲线的离心率与开口大小有关系吗？怎样反
2、映这种关系？提示：e ，当e越大时，双曲线开口越大，当e越小接近于1时，双曲线开口越小4双曲线1与1的渐近线有什么关系？提示：双曲线1与1的渐近线相同由双曲线的标准方程研究其几何性质 求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程自主解答将9y24x236变形为1，即1，a3，b2，c.因此顶点为A1(3,0)，A2(3,0)，焦点坐标F1(，0)，F2(，0)，实轴长是2a6，虚轴长是2b4，离心率e，渐近线方程yxx.若将“36”改换为“36”呢？解：把方程9y24x236化为标准形式为1，a2，b3，c.顶点为(0，2)，(0,2)，焦点坐标为(0，)，
3、(0，)，实轴长是2a4，虚轴长是2b6，离心率e.渐近线方程为yx.已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2a2b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质1已知双曲线1与1，下列说法正确的是()A两个双曲线有公共顶点B两个双曲线有公共焦点C两个双曲线有公共渐近线D两个双曲线的离心率相等解析：双曲线1的焦点和顶点都在x轴上，而双曲线1的焦点和顶点都在y轴上，因此可排除选项A、B；双曲线1的离心率e1，而双曲线1的离心率e2，因此可排除选项D；易得C正确答案：C2(2017北京高考)若双曲线x21的离心率为，则实数m_
4、.解析：由双曲线的标准方程可知a21，b2m，所以e，解得m2.答案：2由双曲线的几何性质求标准方程 求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)自主解答(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c13，又，所以a5，b12，故其标准方程为1.(2)所求双曲线与双曲线x22y22有公共渐近线，设所求双曲线方程为x22y2.又双曲线过点M(2，2)，则222(2)2，即4.所求双曲线方程为1.(1)待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤是：根据焦点所在的位置设双曲线的标准方程；由已知条件求出待定系数a，b；将求
5、得的系数a，b代入所设方程，即得所求双曲线的标准方程(2)如果已知双曲线的渐近线方程为yx，那么此双曲线方程可设为(0)3根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)已知双曲线的渐近线方程为yx，焦距为10；(2)已知双曲线与曲线1共焦点，与曲线1共渐近线解：(1)当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为1(a0，b0)由渐近线方程为yx，得，2c10.又c2a2b2，得a220，b25，双曲线的标准方程为1；当焦点在y轴上时，可得双曲线的方程为1，所求双曲线的方程为1或1.(2)由1得双曲线的焦点为(0，5)又双曲线1的渐近线为yx，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则：解得b29，a216.
6、所求双曲线方程为1.求双曲线的离心率 过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_自主解答如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y(xc)因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得1，化简得yb或yb(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，b)，代入直线方程得b(2ac)，化简可得离心率e2.答案2求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解，若已知a，b，可利用e 求解(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之
7、间的关系，可通过b2c2a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e，转化为关于e的n次方程求解注意求离心率的范围时，常结合已知条件构建关于a，b，c的不等关系4(1)已知双曲线1(a0，b0)若2，求双曲线的离心率；(2)设点P在双曲线1(a0，b0)的右支上，双曲线两焦点F1，F2，|PF1|4|PF2|，求双曲线离心率的取值范围解：(1)c，e .(2)由双曲线定义得：|PF1|PF2|2a，与已知|PF1|4|PF2|联立解得：|PF1|a，|PF2|a.由|PF1|PF2|F1F2 |得：aa2c，解得10，b0)，依题意，得解得所求双曲线方程为1.法二：由渐近线方程3xy0，
8、可设所求双曲线方程为y2(0)(*)将点P(2，1)的坐标代入(*)，得35，所求的双曲线方程为1.1双曲线1的渐近线方程是()AyxByxCyxDyx解析：由0，得y2x2，即yx.答案：A2双曲线1的离心率是()A.B.C.D.解析：a225，b216，c2a2b241，e.答案：C3已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为()A.1B.1C.1D.1解析：e，F2(5,0)，c5，a4，b2c2a29，双曲线C的标准方程为1.答案：C4已知双曲线x21(b0)的一条渐近线的方程为y2x，则b_.解析：双曲线x21(b0)的渐近线方程为ybx，比较系数得b
9、2.答案：25已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为_解析：画图可得相似直角三角形，因此有OAAOFF，3，即e3.答案：36求中心在原点，两顶点间距离为6，渐近线为y3x的双曲线的标准方程解：因为两顶点间的距离为6，即2a6，a3.当焦点在x轴上时，则有3，b9.双曲线方程为1.当焦点在y轴上时，则有3，b1.双曲线方程为x21.一、选择题1若双曲线1(a0)的离心率为2，则a等于()A2B.C.D1解析：很明显，双曲线的焦点在x轴上，则离心率e2，解得a1.答案：D2(2017全国卷)若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(，)B(，2)
10、C(1，)D(1,2)解析：由题意得双曲线的离心率e.即e21.a1，01，112，1e.答案：C3已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为()A.1B.1C.y21Dx21解析：由双曲线的渐近线yx与圆(x2)2y23相切可知，又解得故所求双曲线的方程为x21.答案：D4设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析：设双曲线方程为1(a，b0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB.又渐近线的斜率为，所以由直线垂
11、直关系得1，即b2ac，又c2a2b2，故c2a2ac，两边同除以a2，得方程e2e10，解得e(舍负值)答案：D二、填空题5已知双曲线y21(a0)的一条渐近线为xy0，则a_.解析：双曲线y21的渐近线为y，已知一条渐近线为xy0，即yx，因为a0，所以，所以a.答案：6已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_解析：法一：双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为x24y2(0)双曲线过点(4，)，164()24，双曲线的标准方程为y21.法二：渐近线yx过点(4,2)，而0，b0)由已知条件可得解得双曲线的标准方程为y21.答案：y217已知双曲线1(a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(，0)，离心率是.故在双曲线中c，e，故a2，b2c2a23，故所求双曲线的方程是1.答案：1.8已知双曲线1的离心率e(，2)，则m的取值范围是_解析：由双曲线方程知a2，
