统计学之变量分布特征的描述

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1、信息技术教研中心,1,本资料来源,信息技术教研中心,2,第章 变量分布特征的描述,教师姓名： 杨凡 Email: 手机：15908161946 QQ：546529654,信息技术教研中心,3,第章 变量分布特征的描述,重点节:第一节 第一节 集中趋势的描述 第二节 离中趋势的描述 第三节 分布形状的描述,信息技术教研中心,4,学习内容及要求,理解变量分布三大特征及平均指标、离散指标的意义； 熟练掌握各种平均指标的计算方法及其相互之间的关系； 熟练掌握各种离散指标的计算方法； 掌握偏度和峰度系数的计算方法。,信息技术教研中心,5,集中趋势亦称为趋中性，是指变量分布以某一数值 为中心的倾向。作为中

2、心的数值就称为中心值，它反映 变量分布中心点的位置所在。 变量分布的集中趋势要用平均指标来反映。平均指标 是将变量的各变量值差异抽象化、以反映变量值一般水平 或平均水平的指标，也就是反映变量分布中心值或代表值 的指标。 平均指标的具体表现称为平均数，平均数因计算方法 不同可分为数值平均数和位置平均数两类。,第一节 集中趋势的描述 重点：数值平均数 一、集中趋势与平均指标,信息技术教研中心,6,是同质总体某标志值的一般水平 . (与强度相对数有别_两总体,性质不同,总量比总量） 反映总体各单位变量分布的集中趋势. （与变异指标有别 _ 反映离中趋势） (与序时平均数有别_用时间数列计算) 对某类

3、现象作综合分析和评价时，若两者的总量 差异过大,则可用平均数去对比。如： 甲企业总产值800000元，职工1000人； 乙企业总产值8000元，职工8人。 两个企业相比 因 总产值差异太大， (8000008000), 甲乙 故 用劳动生产率比较, (8001000). 甲乙,返回,信息技术教研中心,7,作用：,1、反映总体各单位变量分布的一般水平。 （比如：“农民家庭收入”高低） 2、比较同类现象在不同单位、地区、及总体各部分的差别。 （比如：用“劳动生产率”或“亩产量”来比较评价不同工业 企业或乡村的生产情况。） 3、分析现象之间的相互依存关系。 （比如：劳动生产率与单位产品价格之间的关系

4、； 施肥量与亩产量之间的关系。） ,信息技术教研中心,8,平均指标按其计算方法不同可分为： 数值平均数和位置平均数两类。 数值平均数：算术平均数、几何平均数。 位置平均数：中位数、众数。 二、数值平均数 （一） 算术平均数（亦称均值） 算术平均数是变量的所有取值的总和 除以变量个数的结果。,信息技术教研中心,9,例：平均人数=总人数 / 企业数 劳动生产率=产品产量 / 职工人数 平均工资=工资总额 / 职工人数 单位产品成本=总成本 / 总产量 单耗=原材料消耗总量 / 产品产量,返回,信息技术教研中心,10,1.简单算术平均数_标志未分组时,例 : 根据10个男篮队员的身高，计算平均身高,

5、信息技术教研中心,11,2、加权算术平均数_标志已分组,数量标志已分组 ， 就形成了,单项式 组距式,单项式变量数列（表3-1） 组距式变量数列（表3-3）,各组单位数（权数）所占比重的大小，直接影响平均数的大小。 表3-1： 若将各组人数排列顺序倒置，则分布频率相反，平均数也发生相应变化（变小）。,10 8 6 4 2,300 310 320 330 340 350 出口额,人数,信息技术教研中心,12,信息技术教研中心,13,权数（次数 . 一般多指总体单位数） 权衡轻重（影响平均数的大小） 权数的两种形式绝对数（次数）常用 f 表示； 相对数（比重）常用 表示. 计算公式如下:,*这种写

6、法在平均指标指数分析时有独特的意义作用。,信息技术教研中心,14,两种算法结果相同，都是325.36万元。,信息技术教研中心,15,组距式分组 各组标志是一个数值区间 表3-4 某高校教师平均年龄计算表,(*各组标志值X以该组的组中值为代表值),信息技术教研中心,16,根据组距数列计算加权算术平均数的方法的说明,假定条件：组内均匀分布或对称分布,组间分布可以不等。 X用各组的组中值（代表组平均水平） 开口组的组距以邻组组距为依据,从而计算确定出本 组组中值。所以，计算的结果是一个近似值。,信息技术教研中心,17,补充: 算术平均数的影响因素,算术平均数除受标志值出现次数(比重)的影响外(如前例

7、图示)， 还受极端值的影响. 图示: x,300 250 200 150 100 50 0,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f,即俗话所说的“一颗老鼠屎打坏一锅汤”,出现一个最大值,平均数会上移,一般正常分布下的平均数,出现一个最小值,平均数会下移,。,。,信息技术教研中心,18,3.算术平均数的数学性质 1) 各变量值与算术平均数的离差之和等于零，即：,（对于简单算术平均数） （对于加权算术平均数）,信息技术教研中心,19,各变量值与算术平均数的离差平方之和为最小值，即：,只有当 时，等号成立。,信息技术教研中心,20,4.算术平均数的优缺点 算术平均数具有以下几个优点： 一是可以

8、利用算术平均数来推算总体标志总量，因为算术平均数与变量值个数之乘积等于总体标志总量 二是由算术平均数的两个数学性质可知，算术平均数在数理上具有无偏性与有效性（方差最小性）的特点，这使得算术平均数在统计推断中得到了极为广泛的应用 三是算术平均数具有良好的代数运算功能，即分组算术平均数的算术平均数等于总体算术平均数。 算术平均数也有其局限性，主要表现在以下两个方面： 一是算术平均数易受特殊值（特大或特小值）的影响，当变量 存在少数几个甚至一个特别大或特别小的变量值时，就会导致 算术平均数迅速增大或迅速变小，从而影响对变量值一般水平 的代表性； 二是根据组距数列计算算术平均数时，由于组中值 具有假定

9、性而使得计算结果只是一个近似值，尤其是当组距数 列存在开口组时，算术平均数的准确性会更差。,信息技术教研中心,21,(二)调和平均数 调和平均数_标志值倒数的算术 平均数的倒数。故亦称倒数平均数。 根据资料是否分组,而分为简单 或加权调和平均数.加权调和平均数 使用特定形式的权数( m = xf ).,信息技术教研中心,22,（二）调和平均数 1.简单调和平均数 当各组的标志总量相等时，所计算的调和平均数称为简单调和平均数。设总体分为k个组，每个组的标志总量都为m，则总体标志总量为km。现仍以x表示各组变量值，以H表示调和平均数，则简单调和平均数的计算公式为：,信息技术教研中心,23,例题：某

10、副食商店在两个农贸 市场收购某种农副产品，其收 购单价如下，计算该种农副产 品的平均价格。,信息技术教研中心,24,2.加权调和平均数,当各组的标志总量不相等时，所计算的调和平均 数要以各组的标志总量为权数，其结果即为加权调和 平均数。若以 表示各组标志总量，则加权调和平均 数的计算公式为：,（可简记为 ）,信息技术教研中心,25,P46 例3-6： 不知道各市买的公斤数f的值，但是，可以间接求出。,信息技术教研中心,26,3、用相对数或平均数计算平均数 （用加权算术平均数求解） 例3-7： 某零售公司20家分店销售计划完成情况：,信息技术教研中心,27,用相对数或平均数计算平均数 （用加权调

11、和平均数求解） 例3-7： 某零售公司20家分店销售计划完成情况：,信息技术教研中心,28,信息技术教研中心,29,经验： 若要求平均工资、平均单位成本、平均计划完 成程度等指标时，所给资料与计算方法的关系为： 当已知权数f（分母）的直接数据资料，而无 标志总量时，采用算术平均数. (比如:已知人数, 产品数, 企业数、计划数) 当缺乏权数f（分母）的直接数据资料，而有 标志总量时，采用调和平均数。 (比如:已知工资总额,成本总额,利润额、实际数),信息技术教研中心,30,算术（调和）平均数一览表,信息技术教研中心,31,（三） 几何平均数 几何平均数通常用在总量等于各分 量乘积的情形。比如，

12、求某些平均比率， 平均速度等。,信息技术教研中心,32,例3-9： 某流水生产线前后衔接的五个车间(工序)产品 的合格率分别为96%、94%、95%、95% 、 96%，整个流水线产平均合格率(全厂平均合格率)？,五个车间(工序)的产品平均合格品率为95.2%. 思考：为什么要用几何平均数计算？,信息技术教研中心,33,例3-10 某企业10年销售收入的平均发展速度,又例：某金融机够以复利方式计息。近12年来的 年利率有4年为3%、 2年为5% 、 2年为8%、 3年为10%、1年为15%，则12年的平均年利率？,信息技术教研中心,34,（四）算术平均数、调和平均数、 几何平均数 的数学关系,

13、从数学上看，三者都是幂平均数中的一种。 幂平均数的定义是： 当 t =1时，幂平均数就是算术平均数； 当 t = -1时，幂平均数就是调和平均数； 当 t 趋向欲0时，幂平均数的极限形式就是 几何平均数； 从数学意义上看，三者的数量大小的关系是： H G ,信息技术教研中心,35,三、位置平均数 1. 中位数（Median) _是根据变量值的位置来确定的平均数。将变量值按大小顺序排序，处于中间位置的变量值（或数据）即中位数，用 表示。由于中位数是位置代表值，所以不会受极端值的影响，具有较高的稳健性。 (下图中，斜线表示总体单位（组）的累计数； 横线表示某现象按标志值的大小排序。),50 %,返

14、回,sm,50%,me,me,标志值,累计次数,信息技术教研中心,36,中位数位置的确定,信息技术教研中心,37,(1)根据未分组的原始数据确定中位数 数据是基数项,原始数据: 33 28 38 35 50 排 序: 28 33 35 38 50 位 置: 1 2 3 4 5,信息技术教研中心,38, 数据是偶数项,原始数据: 79 72 66 87 95 100 排 序: 66 72 79 87 95 100 位 置: 1 2 3 4 5 6,信息技术教研中心,39, 根据变量分布数列确定中位数 (即在组距数列中确定中位数),涉及“定组”和“定值”两个步骤.即首先确定出中位数的 位置在哪一组

15、；再确定(用公式计算)中位数的值具体是多少。 “定组”所使用的次数是累计次数. 方法: 计算向上（下）累计次数；,确定中位数的位置： 总体单位数刚好包含f /2 的所在组即是中位数组 ； 确定中位数（用公式）：,信息技术教研中心,40,其中: L： 为中位数组的下限； U： 为中位数组的下限 f ：为总次数； Sm -1： 为中位数组前一组的向上累计次数； Sm+1： 为中位数组前一组的向上累计次数； fm： 为中位数组的次数； d： 为中位数组的组距。,该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布。,信息技术教研中心,41, 在单项式数列中确定中位数： 例3-13,确定中位数的位置： 总体单位数刚好包 含f /2 的所在组 （即中位数组） 150/2=75 确定中位数： 对应的那个（唯一的）标志值就是中位数。 me =25,信息技术教研中心,42,组距式数列计算中位数 例表2-3 某高校教师年龄分组表 （累计数）,确定中位数的位置：