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1、爱森斯坦判别法是目前为止用来判断 内一个多项式可约与否的最好结果。Zx爱森斯坦判别法 设给定 次本原多项式n01()(1) nfxaax如果存在一个素数 ，使 ，但 ，则 在p|,.)i20|,|npa()fx内不可约。Zx证明：用反证法。设 在 内可约，即()fxZ，()()fgxh其中 01(),.Zmlgxbbxhcc这里 。为方便计，下面式子中多项式 的系数0deg()()xf (),()fghx的下标大于其对应多项式的次数时，均认为等于零。,iiabc因为 ，而 ，故 。nml|npa|,|mlbpc另一方面， ，而 ，故 或 ；不妨设 ，此时因 ，0|00|0| 0|pb20|pa
2、故 。0|pc设 ，但 。此时 ，而|(,.1)ibr|()rpb |ra0110rrrracbc括号中各项均含有因子 ，故 。但 ， 为素数，矛盾。由此，|r 0|,|rp ()fx在 内不可约。Zx爱森斯坦判别法是目前为止用来判断 Zx内一个多项式可约与否的最好结果。艾 森 斯 坦 判 别 法 是 代 数 的 定 理 ， 给 出 了 判 定 整 系 数 多 项 式 不 能 分 解 为 整系 数 多 项 式 乘 积 的 充 分 条 件 。 由 高 斯 定 理 ， 这 判 别 法 也 是 多 项 式 在 有 理 数 域不 可 约 的 充 分 条 件 。 艾 森 斯 坦 判 别 法 是 说 ：
3、给 出 下 面 的 整 系 数 多 项 式 如 果 存 在 素 数 p， 使 得 p 不 整 除 an ， 但 整 除 其 他 ai ； p2 不 整 除 a0 ， 那 么 f(x) 是 不可 约 的 。 编 辑 本 段 编 辑 例 子给 了 多 项 式 g(x) = 3x4 + 15x2 + 10， 试 确 定 它 能 否 分 解 为 有 理 系 数多 项 式 之 积 。 试 用 艾 森 斯 坦 判 别 法 。 素 数 2 和 3 都 不 适 合 ， 考 虑 素 数 p = 5。 5 整 除x 的 系 数 15 和 常 数 项 10， 但 不 整 除 首 项 3。 而 且 52 = 25 不
4、 整 除 10。 所 以g(x)在 有 理 数 域 不 可 约 。 有 时 候 不 能 直 接 用 判 别 法 ， 或 者 可 以 代 入 y = x + a 后 再 使 用 。 例 如 考 虑 h(x) = x2 + x + 2。 这 多 项 式 不 能 直 接 用 判 别 法 ， 因 为 没 有素 数 整 除 x 的 系 数 1。 但 把 h(x)代 入 为 h(x + 3) = x2 + 7x + 14， 可 立刻 看 出 素 数 7 整 除 x 的 系 数 和 常 数 项 ， 但 72 = 49 不 整 除 常 数 项 。 所 以 有时 通 过 代 入 便 可 以 用 到 判 别 法
5、。 艾 森 斯 坦 判 别 法 得 出 的 一 个 著 名 结 果 如 下 ： 对 素 数 p， 以 下 多 项 式 在 有 理 数 域 不 可 约 。 。 要 使 用 艾 森 斯 坦 判 别 法 ， 先 作 代 换 x = y + 1。 新 的 常 数 项 是 p，除 首 项 是 1 外 ， 其 他 项 的 系 数 是 二 项 式 系 数 ， k 大 于 0， 所 以 可 以 被 p 除 尽 。编 辑 本 段 编 辑 初 等 证 明对 多 项 式 f(x)取 模 p， 也 就 是 把 它 的 系 数 映 射 到 域 上 。 这 样 它 便 化 为 ，其 中 c 为 非 零 常 数 。 因 为
6、 在 域 上 的 多 项 式 有 唯 一 分 解 ， f 在 模 p 上 会 分 解为 单 项 式 。 如 果 f 是 在 有 理 数 上 可 约 的 ， 那 么 会 有 多 项 式 g, h 使 得 f = g h。 从上 可 知 g 和 h 取 模 p 分 别 为 和 ， 满 足 c = d e。 因 为 g 和 h 模 p 的 常 数 项为 零 ， 这 表 示 g 和 h 的 常 数 项 均 可 被 p 整 除 ， 所 以 f 的 常 数 项 a0 可 以 被p2 整 除 ， 与 f 系 数 的 假 设 矛 盾 。 因 此 得 证试以 Q、R、C 为系数域，论述多项式的因式分解和多项式的
7、根的关系。 首先，多项式因式分解是由其根决定的。Q 为有理数域，有理系数多项式均等价于一整系数多项式； R 为实数域，实系数多项式一般不等价于整系数多项式，因为系数一般含无理数；C 为复数域，复系数多项式系数一般含虚数，因此解一般为虚数。根据根的数域：同一多项式进行因式分解或求根，解的个数 CRQ，因为：n次多项式复数域上求解必有 n 个复根（无重根）；实数域上求解一般小于 n，且可能存在重根，解的取值范围为有理数或无理数；有理数域上求解一般也小于 n，且也可能存在重根，解的取值范围是有理数。若一个多项式 y=a0+a1x+a2x2+anxn,它的 C 上复根为 x1,x2,xn,则y=an(
8、x-x1)(x-x2)(x-xn),若是 Q 或 R 上，则将 x1,x2,xn 中不属于该数域的项乘起来。例如，y=x2-1 ，Q 或 R 或 C 上因式分解为(x+1)(x-1);y=x2-2,Q 上因式分解为原式，R 或 C 上因式分解为(x-2)(x+2)；y=x2+2,Q 或 R 上因式分解为原式，C 上因式分解为 (x-2i)(x+2i)。求证：3 次和 3 次以上的实系数多项式都可以进行因式分解.任何 n 次多项式都有 n 个复根( 可以重复)2.实系数多项式虚根成对(互为共轭)于是，对于高于三次的实系数多项式 P，至少存在 a+bi 和 a-bi 两个复根，于是 P 同时被 x
9、-a+bi 和 x-a-bi 整除，也就是被(x-a)2+b2 整除。请问怎样可以根据一个多项式的系数来确定其是否能被因式分解作为代数基本定理（可到百科查一下）的简单推论，一个数域上的多项式总可以在复数范围内分解成一次因式的乘积。例如：x2 + p x + q = (x - r1) (x - r2)其中 r1，r2 是方程 x2 + p x + q = 0 的两根，r1 = ( - p + (p2 - 4q) ) / 2，r2 = ( - p - (p2 - 4q) ) / 2。不过因为对于 4 次以上的代数方程没有一般的根式求根公式（有根，但不会算），所以这个方法的实际用处也比较有限。作为上
10、面结论的一个特殊情况，我们可以证明一个实数为系数的多项式总可以分解为以实数为系数的若干一次因式和二次因式的乘积。（把共轭的复根产生的一次因式相乘）如果求的是整数系数多项式分解为整数系数多项式（或改为有理数系数），这个问题就成为数学上相当复杂的问题了。事实上，对这个问题并没有一般的方法，只是对一些特殊的情况有一些技巧或判定定理。对简单的计算而言，常用的技巧是猜根法，即对多项式根猜测，猜出一个根 r就可以分解出一个一次因式(x - r)，用多项式除法就可以把多项式的次数降一。理论化一些，还有著名的古典结论“爱森斯坦（Eisenstein）判别法”，利用它可以证明一部分整数系数多项式不可分解。这个定
11、理可以自己查阅高等代数或抽象代数书籍。【摘 要】本文积极探索因式分解的可行性，在学习 Eisenstein 判别法过程中，经过思考，给出了与Eisenstein 判别法等价的整系数多项式整除问题的一种新的判别方法，并给出了整系数多项式在更宽的条件下的判别的推广。 【关键词】整除 Eisenstein 判别法 多项式 目前为止，判断有理数域上多项式是否整除的最好方法是爱森斯坦判别法。Eisenstein 判别法是判断不可约的充分条件，而非必要条件。如果一个整系数多项式不满足 Eisenstein 判别法条件，则它可能是可约的，也可能是不可约的。有些整系数多项式 f(x)不能直接用 Eisenst
12、ein 判别法来判断其是否可约，此时可考虑用适当的代换使 f(x+a)=g(x)满足 Eisenstein 判别法条件，从而来判定原多项式不可约。 推论 1：设给定 n 次本原多项式 如果存在一个素数 p，使得 则 f(x)在 Zx内不可约。 证明：用反证法。设 f(x)在 Z(x)内可约，即， 其中 这里.为方便计,下面式子中多项式 的系数 的下标大于其对应多项式的次数时，均认为等于零。 因为 a0=b0c0，而 ，故 . 另一方面，p|an ，而 an=bmcl，故 p|bm 或 p|cl；不妨设 p|bm，因,故.假设 b0,b1,bm 中第一个不能被 p 整除的数为 bk，比较 f(x
13、)两端 xk 的系数，得 上式中 ak,b0,b1,bk-1 都能被 p 整除，则 p|(bkc0).而，所以 p|bk .矛盾。实系数代数方程的根成对出现；推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根整除、因式、重因式、最大公因式、不可约多项式的定义；带余除法；用辗转相除法求二多项式的最大公因子。一元多项式环的理想、主理想的定义；命题 域上的一元多项式环是主理想整环；推论 域上的一元多项式环是唯一分解整环；理想的交与和的定义；命题 域 上的一元多项式环 中二理想 与 的和等于由 与KxK)(xf)(g)(xf的最大公因子生成的理想.)(xg推论 设 与 是域 上的一元多项式环 中二多项式
14、， 与 的)(xfgx)(xfg最大公因子为 ，则存在 、 ，使得 。d)(xuvK)(vud第十周：（第九章 1）用形式微商判断多项式是否有重因式。模多项式 同余的定义； )(xm中国剩余定理；Lagrenge 插值公式；Jordan-Chevally 分解定理。（第九章 2）复数域、实数域上多项式的因式分解。第十一周：（第九章 1）本原多项式的定义；高斯引理；推论 整系数本元多项式在 Z 中不可约当且仅当在 Q 中不可约.xx推论 唯一分解整环上的多项式环仍是唯一分解整环；爱森斯坦判别法；有理整数环上的一元多项式的因子分解。（第九章 3）复系数多项式的根的绝对值的上界；有理数域上的多项式的
15、可约性及有理根（本原多项式的定义、高斯引理、爱森斯坦判别法、整系数多项式的有理根） 。1掌握数域上的一元多项式的概念、运算及带余除法。2正确理解多项式整除概念和性质，掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质）。3掌握不可约多项式的概念和多项式因式分解的问题。4掌握多项式的导数及重因式的概念。5掌握多项式根的概念及多项式的函数观点。6掌握复数域、实数域、有理数域上的不可约多项式的特点。7熟练掌握有理系数域上多项式的有理根的求法数学多项式的不可约 判别法 那如果要证明一个多项式是不可约的,但它不满足条件,这时候该怎么办呢?是不是可以把 x 换成 x+一个整数,去构造 爱森斯坦 定
16、理的条件?如果是,那该如何证明? 很多多项式虽然不可约，但他们不符合爱森斯坦定理的条件。就比如 x2+1，不可约，但不存在质数 p 使得 p 整除 1。 那如果要证明一个多项式是不可约的，但它不满足条件，这时候该怎么办呢？是不是可以把 x 换成 x+一个整数，去构造爱森斯坦定理的条件？如果是，那该如何证证明： F（X）=x(p-1)+x(p-2)+x+1 是有理数域上的既约多项式，其中 p 是一个质数由已知可得 （x-1）F（x）= xp -1 令 y= x-1 则 y f(y+1)= (y+1)p -1 再令 F(y+1) =g(y) 可得 g(y)= y(p-1) + p * y(p-2) +p 由爱森斯坦判别法 可知得证概 述 】本文积
